Телепараллелизм (также называемый телепараллелизмом ) был попыткой Альберта Эйнштейна [1] основать единую теорию электромагнетизма и гравитации на математической структуре удаленного параллелизма, также называемого абсолютным или телепараллелизмом. В этой теории пространство-время характеризуется линейной связностью без кривизны в сочетании с полем метрического тензора , которые определены в терминах динамического тетрадного поля.
Телепараллельные пространства-времени
Важна новая идея, для Эйнштейна, было введением в тетрадах поля, т.е. множество {Х 1 , Х 2 , Х 3 , Х 4 } из четырех векторных полей , определенное на все из М такое , что для каждого р ∈ M в множество {Х 1 ( р ), Х 2 ( р ), Х 3 ( р ), Х 4 ( р )} является основой из Т р М , где Т р М обозначает слой над р из касательного вектора расслоения ТМ . Следовательно, четырехмерное многообразие пространства - времени M должно быть параллелизуемым многообразием . Поле тетрад было введено, чтобы позволить дистанционное сравнение направления касательных векторов в разных точках многообразия, отсюда и название отдаленный параллелизм. Его попытка не удалась, потому что в его упрощенном уравнении поля не было решения Шварцшильда.
Фактически, можно определить связь распараллеливания (также называемую связностью Вейтценбека ) {X i } как линейную связность ∇ на M, такую что [2]
где v ∈ T p M и f i - (глобальные) функции на M ; Таким образом , е я X я является глобальным векторное поле на M . Другими словами, все коэффициенты связности Вайтценбека ∇ по отношению к {X i } тождественно равны нулю, что неявно определяется следующим образом:
следовательно
для коэффициентов связности (также называемых коэффициентами Вайтценбека) в этом глобальном базисе. Здесь ω k - дуальный глобальный базис (или кофрейм), определяемый формулой ω i (X j ) = δя
j.
Это то, что обычно происходит в R n , в любом аффинном пространстве или группе Ли (например, «искривленная» сфера S 3, но «плоское» многообразие Вейтценбека).
Используя закон преобразования связи, или , что эквивалентно ∇ свойств, мы имеем следующий результат.
Предложение . В естественном базисе, ассоциированном с локальными координатами ( U , x μ ) , т. Е. В голономной системе отсчета ∂ μ , (локальные) коэффициенты связности связности Вайтценбека определяются как:
где X i = hμ
я∂ μ для i , μ = 1, 2,… n - локальные выражения глобального объекта, то есть данной тетрады.
Соединение Вейценбока имеет нуль кривизны , но - в общем - не обращается в нуль кручение .
Учитывая поле кадра {X i } , можно также определить метрику, представив поле кадра как ортонормированное векторное поле. То можно было бы получить псевдориманово метрический тензор поля г из сигнатуры (3,1) по
где
Соответствующее базовое пространство-время в этом случае называется пространством-временем Вайтценбека . [3]
Стоит отметить, что эти «параллельные векторные поля» порождают метрический тензор как побочный продукт.
Новая теория телепараллельной гравитации
Новая телепараллельная теория гравитации (или новая общая теория относительности ) - это теория гравитации в пространстве-времени Вайтценбека, которая приписывает гравитацию тензору кручения, сформированному из параллельных векторных полей.
В новой теории телепараллельной гравитации основные положения следующие:
- В основе пространства-времени лежит пространство-время Вейтценбека, фундаментальная структура которого - четверка параллельных векторных полей. Эти параллельные векторные поля порождают метрический тензор как побочный продукт. Все физические законы выражаются уравнениями, которые являются ковариантными или инвариантными относительно группы общих преобразований координат.
- Принцип эквивалентности действует только в классической физике.
- Уравнения гравитационного поля выводятся из принципа действия.
- Уравнения поля представляют собой уравнения в частных производных по полевым переменным не выше второго порядка.
В 1961 году Кристиан Мёллер [4] возродил идею Эйнштейна, а Пеллегрини и Плебанский [5] нашли лагранжевую формулировку абсолютного параллелизма .
Тетрада Мёллера теория гравитации
В 1961 году Мёллер [4] [6] показал, что тетрадное описание гравитационных полей позволяет более рационально рассматривать комплекс энергии-импульса, чем в теории, основанной только на метрическом тензоре . Преимущество использования тетрад в качестве гравитационных переменных было связано с тем, что это позволяло строить выражения для комплекса энергия-импульс, который имел более удовлетворительные свойства преобразования, чем в чисто метрической формулировке. Недавно было показано, что полная энергия вещества и гравитации пропорциональна скаляру Риччи трехмерного пространства с точностью до линейного порядка возмущения. [7]
Новый перевод телепараллельной калибровочной теории гравитации
Независимо в 1967 году Хаяси и Накано [8] возродили идею Эйнштейна, а Пеллегрини и Плебански [5] начали формулировать калибровочную теорию группы трансляций пространства-времени. Хаяси указал на связь между калибровочной теорией группы трансляций пространства-времени и абсолютным параллелизмом. Первая формулировка пучка волокон была предоставлена Чо. [9] Эта модель была позже изучена Швейцером и др., [10] Ничем и Хелом, Мейером, а более поздние достижения можно найти у Альдрованди и Перейры, Гронвальда, Итина, Малуф и да Роча Нето, Мюнх, Обухов и Перейра. , а также Шукинг и Суровиц.
В настоящее время люди изучают телепараллелизм исключительно как теорию гравитации [11], не пытаясь объединить ее с электромагнетизмом. В этой теории гравитационное поле оказывается полностью представленным поступательным калибровочным потенциалом B a μ , как и должно быть в калибровочной теории для группы трансляций.
Если этот выбор сделан, то есть больше нет Лоренца калибровочной симметрии , поскольку внутреннее пространство Минковского волокна -более каждой точке пространства - времени коллектора -belongs к расслоении с абелевом R 4 в качестве структурной группы . Тем не менее, трансляционная калибровочная симметрия может быть введена таким образом: вместо того, чтобы рассматривать тетрады как фундаментальные, мы вместо этого вводим фундаментальную трансляционную калибровочную симметрию R 4 (которая аффинно действует на внутренние слои пространства Минковского, так что этот слой снова становится локальным) с связь B и «координатное поле» x, принимающее значения в слое пространства Минковского.
Точнее, пусть π : M → M является Минковским расслоение над пространственно - временным многообразием M . Для каждой точки p ∈ M слой M p является аффинным пространством . В волоконной карте ( V , ψ ) координаты обычно обозначаются как ψ = ( x μ , x a ) , где x μ - координаты на пространственно-временном многообразии M , а x a - координаты в слое M p .
Используя обозначение абстрактного индекса , пусть a , b , c ,… относятся к M p, а μ , ν ,… относятся к касательному расслоению TM . В любой конкретной калибровке значение x a в точке p дается сечением
Ковариантная производная
определена относительно формы связности B , 1-формы, принимающей значения в алгебре Ли трансляционной абелевой группы R 4 . Здесь, д есть внешняя производная от к - го компоненты из х , который является скалярным полем (так что это не чисто абстрактное обозначение индекса). При калибровочном преобразовании полем трансляций α a ,
а также
и так, производная ковариант х с = £ , в ( р ) является калибровочной инвариантно . Это отождествляется с трансляционной (ко-) тетрадой
которая является одной формой, которая принимает значения в алгебре Ли трансляционной абелевой группы R 4 , поэтому она калибровочно инвариантна. [12] Но что это значит? x a = ξ a ( p ) - это локальное сечение (чисто трансляционного) аффинного внутреннего расслоения M → M , еще одной важной структуры в дополнение к трансляционному калибровочному полю B a μ . Геометрически это поле определяет происхождение аффинных пространств; он известен как радиус-вектор Картана . В рамках теоретико-калибровочной теории одноформная
возникает как нелинейное поступательное калибровочное поле с ξ a, интерпретируемое как поле Голдстоуна, описывающее спонтанное нарушение трансляционной симметрии.
Грубая аналогия: представьте M p как экран компьютера, а внутреннее смещение как положение указателя мыши. Думайте о изогнутом коврике для мыши как о пространстве-времени, а положение мыши - как о положении. Сохраняя ориентацию мыши фиксированной, если мы перемещаем мышь вокруг изогнутого коврика для мыши, положение указателя мыши (внутреннее смещение) также изменяется, и это изменение зависит от пути; т.е. это зависит не только от начальной и конечной позиции мыши. Изменение внутреннего смещения при перемещении мыши по замкнутой траектории на коврике для мыши является кручением.
Еще одна грубая аналогия: представьте кристалл с линейными дефектами ( краевые дислокации и винтовые дислокации, но не дисклинации ). Параллельный перенос точки M по пути определяется путем подсчета количества пересеченных (вверх / вниз, вперед / назад и влево / вправо) кристаллических связей. Вектор Бюргерс соответствует кручению. Отклонения соответствуют кривизне, поэтому они не учитываются.
Кручение, т. Е. Напряженность поступательного поля телепараллельной гравитации (или поступательная «кривизна»),
калибровочно инвариантно.
Конечно, мы всегда можем выбрать калибровку, в которой x a везде равен нулю (хотя проблема; M p является аффинным пространством, а также слоем, и поэтому мы должны определить начало координат на основе точки за точкой, но это всегда может можно делать произвольно), и это возвращает нас к теории, в которой тетрада является фундаментальной.
Телепараллелизм относится к любой теории гравитации, основанной на этой структуре. Есть особый выбор действия, который делает его в точности эквивалентным [9] общей теории относительности, но есть и другие варианты действия, не эквивалентные ОТО. В некоторых из этих теорий нет эквивалентности между инертной и гравитационной массами . [13]
В отличие от ОТО гравитация возникает не из-за кривизны пространства-времени. Это из-за кручения.
Негравитационные контексты
Существует близкая аналогия геометрии пространства-времени со структурой дефектов в кристалле. [14] [15] Дислокации представлены кручением, дисклинации - кривизной. Эти дефекты не независимы друг от друга. Дислокация эквивалентна паре дисклинация-антидисклинация, дисклинация эквивалентна веренице дислокаций. Это основная причина, по которой теорию Эйнштейна, основанную исключительно на кривизне, можно переписать как телепараллельную теорию, основанную только на кручении. Более того, существует бесконечно много способов переписать теорию Эйнштейна, в зависимости от того, какую часть кривизны нужно повторно выразить в терминах кручения, а телепараллельная теория является лишь одной из их конкретных версий. [16]
Дальнейшее применение телепараллелизма происходит в квантовой теории поля, а именно в двумерных нелинейных сигма-моделях с целевым пространством на простых геометрических многообразиях, поведение перенормировки которых контролируется потоком Риччи , который включает кручение . Это кручение изменяет тензор Риччи и, следовательно, приводит к инфракрасной неподвижной точке для связи из-за телепараллельности («геометростазиса»). [17]
Смотрите также
- Классические теории гравитации
- Теория калибровочной гравитации
Рекомендации
- ^ Эйнштейн, Альберт (1928). "Риман-геометрия мит Aufrechterhaltung des Begriffes des Fernparallelismus". Preussische Akademie der Wissenschaften, Phys.-math. Klasse, Sitzungsberichte . 1928 : 217–221.
- ^ Бишоп, РЛ; Гольдберг, С.И. (1968). Тензорный анализ на многообразиях . п. 223 .
- ^ «К истории единой теории поля» .
- ^ а б Мёллер, Кристиан (1961). «Законы сохранения и абсолютный параллелизм в общей теории относительности». Мат. Fys. Дэн. Vid. Сельск . 1 (10): 1–50.
- ^ а б Pellegrini, C .; Плебанский, Дж. (1963). «Тетрадные поля и гравитационные поля». Мат. Fys. SKR. Дэн. Vid. Сельск . 2 (4): 1–39.
- ^ Мёллер, Кристиан (1961). «Дальнейшие замечания о локализации энергии в общей теории относительности». Аня. Phys . 12 (1): 118–133. Bibcode : 1961AnPhy..12..118M . DOI : 10.1016 / 0003-4916 (61) 90148-8 .
- ^ Абеди, Хабиб; Салти, Мустафа (31.07.2015). "Множественное поле модифицированной гравитации и локализованной энергии в телепараллельной структуре". Общая теория относительности и гравитации . 47 (8): 93. Bibcode : 2015GReGr..47 ... 93A . DOI : 10.1007 / s10714-015-1935-Z . ISSN 0001-7701 .
- ^ Hayashi, K .; Накано, Т. (1967). «Расширенная трансляционная инвариантность и связанные калибровочные поля» . Прог. Теор. Phys . 38 (2): 491–507. Bibcode : 1967PThPh..38..491H . DOI : 10,1143 / ptp.38.491 .
- ^ а б Чо, Ю.-М. (1976). «Лагранжиан Эйнштейна как трансляционный лагранжиан Янга – Миллса». Physical Review D . 14 (10): 2521. Bibcode : 1976PhRvD..14.2521C . DOI : 10.1103 / physrevd.14.2521 .
- ^ Schweizer, M .; Straumann, N .; Випф, А. (1980). «Постньютоновская генерация гравитационных волн в теории гравитации с кручением». Gen. Rel. Грав . 12 (11): 951–961. Bibcode : 1980GReGr..12..951S . DOI : 10.1007 / bf00757366 .
- ^ Arcos, HI; Перейра, Дж. Г. (январь 2005 г.). «Торсионная гравитация: переоценка». Int. J. Mod. Phys. D . 13 (10): 2193–2240. arXiv : gr-qc / 0501017 . Bibcode : 2004IJMPD..13.2193A . DOI : 10.1142 / S0218271804006462 .
- ^ Hehl, FW; McCrea, JD; Мильке, EW; Нееман Ю. (1995). «Метрическо-аффинная калибровочная теория гравитации: уравнения поля, тождества Нётер, мировые спиноры и нарушение дилатационной инвариантности». Phys. Rep . 258 (1): 1–171. arXiv : gr-qc / 9402012 . Bibcode : 1995PhR ... 258 .... 1H . DOI : 10.1016 / 0370-1573 (94) 00111-F .
- ^ Combi, L .; Ромеро, GE (2018). «Действительно ли телепараллельная гравитация эквивалентна общей теории относительности?». Annalen der Physik . 530 (1): 1700175. arXiv : 1708.04569 . Bibcode : 2018AnP ... 53000175C . DOI : 10.1002 / andp.201700175 . ЛВП : 11336/36421 .
- ^ Кляйнерт, Хаген (1989). Калибровочные поля в конденсированных средах Том II . С. 743–1440.
- ^ Кляйнерт, Хаген (2008). Многозначные поля в конденсированной среде, электромагнетизме и гравитации (PDF) . С. 1–496.
- ^ Кляйнерт, Хаген (2010). «Новая калибровочная симметрия в гравитации и растущая роль кручения» (PDF) . Электрон. J. Theor. Phys . 24 : 287–298. arXiv : 1005,1460 . Bibcode : 2011pchm.conf..174K . DOI : 10.1142 / 9789814335614_0016 . ISBN 978-981-4335-60-7.
- ^ Braaten, E .; Кертрайт, TL; Захос, СК (1985). «Кручение и геометростаз в нелинейных сигма-моделях». Ядерная физика Б . 260 (3-4): 630. Bibcode : 1985NuPhB.260..630B . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (85) 90053-7 .
дальнейшее чтение
- Бишоп, РЛ ; Гольдберг, С.И. (1968). Тензорный анализ на многообразиях (первое издание Dover 1980 г.). Макмиллан. ISBN 978-0-486-64039-6.
- Weitzenböck, R. (1923). Инвариантная теория . Гронинген: Нордхофф.
- Aldrovandi, R .; Перейра, Дж. Г. (2012). Телепараллельная гравитация: введение . Спрингер: Дордрехт. ISBN 978-94-007-5142-2.
Внешние ссылки
- Телепараллельная гравитация в nLab
- Телепараллельные структуры и теории гравитации Луки Бомбелли
- Избранные статьи о телепараллелизме , переведенные и отредактированные Д.Х. Дельфенихом