В теории общей теории относительности , в стресс-псевдотензора энергии-импульса , такие как псевдотензора Ландау-Лифшица , является продолжением негравитационное тензора энергии-импульса , который включает в себя энергию-импульс силы тяжести. Он позволяет определить энергию-импульс системы гравитирующего вещества. В частности, он позволяет всей материи плюс гравитирующей энергии-импульсу образовывать сохраняющийся ток в рамках общей теории относительности , так что полная энергия-импульс пересекает гиперповерхность (3-мерную границу) любого компактного гиперобъема пространства-времени. (4-мерное подмногообразие) обращается в нуль.
Некоторые люди (такие как Эрвин Шрёдингер [ править ] ) возражали против этого вывода на то основании , что псевдотензоры неуместны объекты в общей теории относительности, но закон сохранения требует только использования 4- дивергенции в псевдотензоре , который, в этом случае тензор (который также обращается в нуль). Кроме того, большинство псевдотензоров - это участки струйных пучков , которые теперь распознаются [ кем? ] как вполне допустимые объекты в GR.
Псевдотензор Ландау – Лифшица
Использование псевдотензора Ландау-Лифшица , стресс-энергии-импульса псевдотензора для комбинированного вещества ( в том числе фотонов и нейтрино) плюс тяжести, [1] позволяет законы сохранения энергии-импульса , чтобы быть продлен в ОТО . Вычитание тензора напряжения-энергии-импульса материи из комбинированного псевдотензора приводит к гравитационному псевдотензору энергии-импульса.
Требования
Ландау и Лифшиц руководствовались четырьмя требованиями при поиске псевдотензора импульса гравитационной энергии:: [1]
- чтобы он был полностью построен на основе метрического тензора , чтобы иметь чисто геометрическое или гравитационное происхождение.
- чтобы он был симметричным по индексу, т. е. , (чтобы сохранить угловой момент )
- что при добавлении к тензору энергии-импульса вещества, его полная 4- дивергенция исчезает (это требуется для любого сохраняющегося тока ), так что мы имеем сохраняющееся выражение для полного напряжения-энергии-импульса.
- что он исчезает локально в инерциальной системе отсчета (которая требует, чтобы он содержал только первую, а не вторую или более высокие производные метрики). Это связано с тем, что принцип эквивалентности требует, чтобы гравитационное силовое поле, символы Кристоффеля , исчезли локально в некоторых системах отсчета. Если гравитационная энергия является функцией его силового поля, как это обычно бывает для других сил, тогда соответствующий гравитационный псевдотензор также должен исчезнуть локально.
Определение
Ландау и Лифшиц показали, что существует уникальная конструкция, удовлетворяющая этим требованиям, а именно:
где:
- G μν - тензор Эйнштейна (построенный по метрике)
- g μν - обратный метрическому тензору
- g = det ( g μν ) - определитель метрического тензора. g <0 , поэтому он выглядит как.
- являются частными производными , а не ковариантными производными .
- G - гравитационная постоянная Ньютона .
Проверка
Изучив 4 условия требований, мы видим, что первые 3 относительно легко продемонстрировать:
- Поскольку тензор Эйнштейна, , строится из метрики, поэтому
- Поскольку тензор Эйнштейна, , симметрична, поэтому поскольку дополнительные члены симметричны при осмотре.
- Псевдотензор Ландау – Лифшица построен так, что при добавлении к тензору энергии-импульса вещества, его полная 4- дивергенция обращается в нуль:. Это следует из сокращения тензора Эйнштейна,, с тензором энергии-импульса ,по уравнениям поля Эйнштейна ; оставшийся член алгебраически обращается в нуль из-за коммутативности частных производных, применяемых по антисимметричным индексам.
- Псевдотензор Ландау – Лифшица, по-видимому, включает в себя члены второй производной в метрике, но на самом деле явные члены второй производной в псевдотензоре сокращаются с неявными членами второй производной, содержащимися в тензоре Эйнштейна ,. Это более очевидно, когда псевдотензор напрямую выражается через метрический тензор или связность Леви-Чивита ; выживают только первые производные члены в метрике, и они исчезают, когда система отсчета локально инерционна в любой выбранной точке. В результате весь псевдотензор исчезает локально (опять же, в любой выбранной точке), что демонстрирует делокализацию гравитационной энергии-импульса. [1]
Космологическая постоянная
Когда псевдотензор Ландау-Лифшиц сформулировал это было принято считать , что космологическая постоянная ,, было ноль. В настоящее время мы не делаем этого предположения , и выражение требует добавления срок, дающий:
Это необходимо для согласования с уравнениями поля Эйнштейна .
Версии с метрическим и аффинным подключением
Ландау и Лифшиц также предоставляют два эквивалентных, но более длинных выражения для псевдотензора Ландау – Лифшица:
- Версия метрического тензора : [2]
- Версия аффинного соединения : [3]
Это определение энергии-импульса ковариантно применимо не только при преобразованиях Лоренца, но и при общих преобразованиях координат.
Псевдотензор Эйнштейна
Этот псевдотензор был первоначально разработан Альбертом Эйнштейном . [4] [5]
Поль Дирак показал [6], что смешанный псевдотензор Эйнштейна
удовлетворяет закону сохранения
Ясно, что этот псевдотензор для гравитационного напряжения-энергии построен исключительно на основе метрического тензора и его первых производных. Следовательно, он обращается в нуль в любом случае, когда система координат выбирается так, чтобы первые производные метрики обращались в нуль, потому что каждый член в псевдотензоре квадратичен по первым производным метрики. Однако он не симметричен и поэтому не подходит в качестве основы для определения углового момента.
Смотрите также
- Тензор Беля – Робинсона
- Гипотеза Куперстока о локализации энергии
- Гравитационная волна
Заметки
- ^ a b c Лев Давидович Ландау и Евгений Михайлович Лифшиц , Классическая теория полей , (1951), Pergamon Press, ISBN 7-5062-4256-7 глава 11, раздел # 96
- ^ Уравнение Ландау – Лифшица 96.9
- ^ Уравнение Ландау – Лифшица 96.8
- ^ Альберт Эйнштейн Das hamiltonisches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie (Принцип Гамильтона и общая теория относительности). Sitzungsber. преусс. Акад. Wiss. 1916, 2, 1111–1116.
- ^ Альберт Эйнштейн Der Energiesatz in der allgemeinen Relativitätstheorie. (Закон сохранения энергии в общей теории относительности). Sitzungsber. преусс. Акад. Wiss. 1918, 1, 448–459.
- ^ PAMDirac, Общая теория относительности (1975), Princeton University Press, краткое изложение основных принципов ОТО. ISBN 0-691-01146-X, страницы 61–63
Рекомендации
- Нелинейные возмущения и законы сохранения на искривленном фоне в ОТО и других метрических теориях А.Н. Петрова