Мировое многообразие

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технических деталей. ( Май 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В теории гравитации , мир многообразие наделенное некоторые Лоренцевых псевдориманово метрикой и связанной с ним пространственно-временной структурой является пространственно-временным . Теория гравитации сформулирована как классическая теория поля на натуральных расслоениях над мировым многообразием.

Топология [ править ]

Мировое многообразие - это четырехмерное ориентируемое вещественное гладкое многообразие . Предполагаются , чтобы быть Хаусдорфова и вторым счетным топологическим пространством . Следовательно, это локально компактное пространство, которое представляет собой объединение счетного числа компактных подмножеств, сепарабельного пространства , паракомпакта и вполне регулярного пространства . Будучи паракомпактным, мировое многообразие допускает разбиение единицы гладкими функциями. Паракомпактность - важнейшая характеристика мирового многообразия. Это необходимо и достаточно для того, чтобы мировое многообразие допускало риманову метрикуи необходим для существования псевдоримановой метрики. Мировое многообразие считается связным и, следовательно, линейно связным .

Риманова структура [ править ]

Касательное расслоение мирового многообразия и связанные с ним главным расслоением реперов линейных касательных кадров обладает общей линейной группой структурной группы . Мировое многообразие называется параллелизируемым, если касательное расслоение и, соответственно, расслоение реперов тривиальны, т. Е. Существует глобальное сечение ( поле реперов ) из . Существенно, что касательное и ассоциированное расслоения над мировым многообразием допускают атлас расслоений конечного числа карт тривиализации.${\ displaystyle TX}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle FX}$${\ displaystyle TX}$ ${\ Displaystyle GL ^ {+} (4, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle TX}$${\ displaystyle FX}$${\ displaystyle FX}$

Касательные и реперные расслоения над мировым многообразием - это естественные расслоения, характеризуемые общековариантными преобразованиями . Эти преобразования представляют собой калибровочные симметрии теории гравитации на мировом многообразии.

В силу известной теоремы о редукции структурной группы структурная группа расслоения реперов над мировым многообразием всегда сводится к его максимальной компактной подгруппе . Соответствующее глобальное сечение фактор-расслоения является римановой метрикой на . Таким образом, мировое многообразие всегда допускает риманова метрика , которая делает в метрическую топологическое пространство .${\ Displaystyle GL ^ {+} (4, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle FX}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle SO (4)}$${\ Displaystyle FX / SO (4)}$${\ displaystyle g ^ {R}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Лоренцева структура [ править ]

В соответствии с геометрическим принципом эквивалентности мировое многообразие обладает лоренцевой структурой , т. Е. Структурная группа расслоения реперов должна быть сведена к группе Лоренца . Соответствующее глобальное сечение фактор-расслоения является псевдоримановой метрикой сигнатуры на . Оно рассматривается как гравитационное поле в общей теории относительности и как классическое поле Хиггса в калибровочной теории гравитации .${\ displaystyle FX}$ ${\ Displaystyle SO (1,3)}$${\ Displaystyle FX / SO (1,3)}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle (+, ---)}$${\ displaystyle X}$

Нет необходимости в лоренцевой структуре. Поэтому предполагается, что мировое многообразие удовлетворяет определенному топологическому условию. Это либо некомпактное топологическое пространство, либо компакт с нулевой эйлеровой характеристикой . Обычно также требуется, чтобы мировое многообразие допускало спинорную структуру , чтобы описать фермионные поля Дирака в теории гравитации. Есть дополнительное топологическое препятствие к существованию этой структуры. В частности, некомпактное мировое многообразие должно быть распараллеливаемым.

Пространственно-временная структура [ править ]

Если структурная группа расслоения реперов сводится к группе Лоренца, последняя всегда сводится к своей максимальной компактной подгруппе . Таким образом, существует коммутативная диаграмма${\ displaystyle FX}$${\ Displaystyle SO (3)}$

${\ Displaystyle GL (4, \ mathbb {R}) \ к SO (4)}$

${\displaystyle \downarrow \qquad \qquad \qquad \quad \downarrow }$

${\displaystyle SO(1,3)\to SO(3)}$

редукции структурных групп расслоения реперов в теории гравитации. Эта редукционная диаграмма приводит к следующему.${\displaystyle FX}$

(i) В теории гравитации на мировом многообразии всегда можно выбрать атлас связки реперов (характеризуемой локальными полями реперов ) с -значными функциями перехода. Эти функции перехода сохраняют подобный времени компонент локальных полей кадра, который, следовательно, определяется глобально. Это никуда не исчезающее векторное поле . Соответственно, двойное времяподобное ковекторное поле также определено глобально, и оно дает пространственное распределение на таком, что . Тогда касательное расслоение мирового многообразия допускает пространственно-временное разложение , где - одномерное расслоение, натянутое на времяподобное векторное поле${\displaystyle X}$${\displaystyle FX}$${\displaystyle \{h^{\lambda }\}}$${\displaystyle SO(3)}$${\displaystyle h_{0}=h_{0}^{\mu }\partial _{\mu }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle h^{0}=h_{\lambda }^{0}dx^{\lambda }}$${\displaystyle {\mathfrak {F}}\subset TX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle h^{0}\rfloor {\mathfrak {F}}=0}$${\displaystyle TX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle TX={\mathfrak {F}}\oplus T^{0}X}$${\displaystyle T^{0}X}$${\displaystyle h_{0}}$. Это разложение называется -совместимой пространственно-временной структурой . Он делает мир многообразным пространство-время .${\displaystyle g}$

(ii) Учитывая вышеупомянутую диаграмму редукции структурных групп, пусть и - соответствующие псевдоримановы и римановы метрики на . Они образуют тройку, подчиняющуюся соотношению${\displaystyle g}$${\displaystyle g^{R}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (g,g^{R},h^{0})}$

${\displaystyle g=2h^{0}\otimes h^{0}-g^{R}}$.

Наоборот, пусть мировое многообразие допускает нигде не исчезающую одноформу (или, что то же самое, нигде не исчезающее векторное поле). Тогда любая риманова метрика на дает псевдориманову метрику${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle g^{R}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle g={\frac {2}{g^{R}(\sigma ,\sigma )}}\sigma \otimes \sigma -g^{R}}$.

Отсюда следует, что мировое многообразие допускает псевдориманову метрику тогда и только тогда, когда существует нигде не исчезающее векторное (или ковекторное) поле на .${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Отметим, что -совместимая риманова метрика в тройке определяет -совместимую функцию расстояния на мировом многообразии . Такая функция вводит в метрическое пространство, локально евклидова топология которого эквивалентна топологии многообразия на . Учитывая гравитационное поле , -совместимые римановы метрики и соответствующие функции расстояния различны для разных пространственных распределений и . Отсюда следует, что физические наблюдатели, связанные с этими различными пространственными распределениями, воспринимают мировое многообразие как разные римановы пространства. Известные релятивистские изменения размеров движущихся тел иллюстрируют это явление.${\displaystyle g}$${\displaystyle g^{R}}$${\displaystyle (g,g^{R},h^{0})}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$${\displaystyle X}$

Тем не менее, один попытки вывести мировую топологию непосредственно из пространственно-временной структуры (в топологии путей , топологии Александров ). Если пространство-время удовлетворяет условию сильной причинности , такие топологии совпадают с известной топологией многообразия мирового многообразия. Однако в общем случае они довольно необычны.

Условия причинно-следственной связи [ править ]

Пространственно-временная структура называется интегрируемой, если пространственное распределение инволютивно. В этом случае его интегральные многообразия составляют пространственное слоение мирового многообразия, слои которого являются пространственными трехмерными подпространствами. Пространственное слоение называется причинным, если никакая кривая, трансверсальная его листам, не пересекает каждый лист более одного раза. Это условие эквивалентно устойчивой причинности в Стивена Хокинга . Слоение пространства-времени причинно тогда и только тогда, когда оно является слоением поверхностей уровня некоторой гладкой вещественной функции , дифференциал которой нигде не обращается в нуль. Такое слоение является расслоенным многообразием . Однако это не случай компактного мирового многообразия, которое не может быть расслоенным многообразием над${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Устойчивая причинность не дает простейшей причинной структуры. Если расслоенное многообразие является расслоением, оно тривиально, т. Е. Мировое многообразие является глобально гиперболическим многообразием . Поскольку любое ориентированное трехмерное многообразие распараллеливается, глобально гиперболическое мировое многообразие распараллеливается.${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} \times M}$

См. Также [ править ]

• Пространство-время
• Математика общей теории относительности
• Теория калибровочной гравитации

Ссылки [ править ]

• С. В. Хокинг , Г. Ф. Р. Эллис , Крупномасштабная структура пространства-времени (Cambridge Univ. Press, Кембридж, 1973) ISBN  0-521-20016-4
• CTG Додсон, Категории, Связки и Топология пространства-времени (Shiva Publ. Ltd., Орпингтон, Великобритания, 1980) ISBN 0-906812-01-1 

Внешние ссылки [ править ]

• Сарданашвили Г. (2011). «Классическая калибровочная теория гравитации». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 8 (8): 1869–1895. arXiv : 1110.1176 . Bibcode : 2011IJGMM..08.1869S . DOI : 10.1142 / S0219887811005993 . S2CID  119711561 .