Фраза группа лиева типа обычно означает конечную группу, которая тесно связана с группой рациональных точек редуктивной линейной алгебраической группы со значениями в конечном поле. Термин «группа лиева типа» не имеет общепризнанного точного определения[1], но важный набор конечных простых групп лиева типа точное определение имеет и они составляют большинство групп в классификации простых конечных групп.
Название «группы лиева типа» отражает тесную связь с (бесконечными) группами Ли, поскольку компактную группу Ли[англ.] можно рассматривать как рациональные точки сокращённых линейных алгебраических групп над полем вещественных чисел.
Первым подходом к этому вопросу было определение и детальное изучение так называемых классических групп над конечным и другими полями Жорданом[2]. Эти группы изучали Леонард Диксон и Жан Дьёдонне. Эмиль Артин исследовал порядки таких групп с целью классификации совпадений.
Классическая группа, грубо говоря, является специальной линейной, ортогональной, симплектической или унитарной группой. Существует несколько незначительных вариаций этих групп, которые получаются взятием производных подгрупп или центральных факторгрупп, что даёт проективные линейные группы. Группы могут быть построены над конечными полями (или любыми другими полями) почти так же, как они строятся над вещественными числами. Они соответствуют сериям An, Bn, Cn, Dn,2An, 2Dn групп Шевалле и Штейнберга[3].
Группы Шевалле являются, в основном, группами Ли над конечными полями. Теория подробно рассматривалась в теории алгебраических групп и работах Шевалле[4] по теории алгебр Ли, посредством которых было выделено понятие групп Шевалле. Шевалле построил базис Шевалле[англ.] (подобно целочисленным формам, но над конечными полями) для всех комплексных простых алгебр Ли (или, скорее, их универсальных обёртывающих алгебр), которые могут быть использованы для определения соответствующих алгебраических групп над целыми числами. В частности, он мог брать точки со значениями в любом конечном поле. Для алгебр Ли An, Bn, Cn и Dn это даёт хорошо известные классические группы, но его построение также даёт группы, связанные с исключительными алгебрами Ли E6, E7, E8, F4 и G2. Диксоном уже была построена одна из групп типа G2 (иногда называемых группами Диксона) в 1905[5] и одна группа типа E6 в 1961[6].
Построение Шевалле не даёт все известные классические группы — остаются унитарные группы и нерасщепимые ортогональные группы[англ.]. Штейнберг[7] нашёл модификацию построения Шевалле, которая даёт эти группы и два новых семейства 3D4 и 2E6. Второе из этих семейств открыл почти в то же самое время, исходя из совершенно другой точки зрения, Титс[8]. Это построение обобщает обычное построение унитарной группы из общей линейной группы.