В математике , А род мультипликативной последовательности является кольцевой гомоморфизм из кольца гладких компактных многообразий до эквивалентности , ограничивающую гладкое многообразие с краем (т.е. до подходящего кобордизме ) с другим кольцом, как правило, рациональных чисел , имеющий свойство, что они построены из последовательности многочленов в характеристических классах, которые возникают как коэффициенты в формальных степенных рядах с хорошими мультипликативными свойствами.
Кобордизм ( W ; M , N ).
Определение
род присваивает номер каждому многообразию X такое, что
(где - несвязное объединение);
;
если X - край многообразия с краем.
Коллекторы и коллекторы с краем могут потребовать дополнительной конструкции; например, они могут быть ориентированными, вращающимися, стабильно сложными и т. д. (см. список теорий кобордизмов для многих других примеров). Значение находится в каком-то кольце, часто в кольце рациональных чисел, хотя это могут быть и другие кольца, например или кольцо модульных форм.
Условия на можно перефразировать, сказав, что является кольцевым гомоморфизмом кольца кобордизмов многообразий (с дополнительной структурой) в другое кольцо.
Пример: если это подпись ориентированного многообразия X , то является родом от ориентированных многообразий до кольца целых чисел.
Род, связанный с формальным степенным рядом
Последовательность многочленов в переменных называется мультипликативным, если
подразумевает, что
Если - формальный степенной ряд по z с постоянным членом 1, мы можем определить мультипликативную последовательность
где являются классы Понтрягина из X . Степенный ряд Q называется характеристическим степенным рядом рода. Теорема Рене Тома , которая утверждает, что рациональные числа, тенсированные кольцом кобордизмов, являются алгеброй полиномов от образующих степени 4 k для натуральных чисел k , означает, что это дает взаимно однозначное соответствие между формальным степенным рядом Q с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом 1, и роды от ориентированных многообразий до рациональных чисел.
Род L
Род L - это род формального степенного ряда
где числа - числа Бернулли . Первые несколько значений:
Дело в том, что всегда является целым для гладкого многообразия. Джон Милнор привел пример 8-мерного PL-многообразия без гладкой структуры . Числа Понтрягина также могут быть определены для многообразий PL, и Милнор показал, что его многообразие PL имеет нецелое значение, и так было не сглаживать.
Нанесение на поверхности K3
Поскольку проективные K3 поверхности гладкие комплексные многообразия размерности два, их единственный нетривиальный класс Понтрягина является в . Его можно вычислить как -48, используя касательную последовательность и сравнения со сложными классами черна. С, у нас есть своя подпись. Это можно использовать для вычисления его формы пересечения как унимодулярной решетки, поскольку она имеет, и используя классификацию унимодулярных решеток. [2]
Род Тоддов
Род Тодда - это род формального степенного ряда
с участием как и раньше, числа Бернулли. Первые несколько значений:
Род Тоддов обладает тем особенным свойством, что присваивает значение 1 всем комплексным проективным пространствам (т.е. ), и этого достаточно, чтобы показать, что род Тодда согласуется с арифметическим родом для алгебраических многообразий, поскольку арифметический род также равен 1 для комплексных проективных пространств. Это наблюдение является следствием теоремы Хирцебруха – Римана – Роха и фактически является одним из ключевых достижений, которые привели к формулировке этой теоремы.
 род
Род Â - это род, связанный с характеристическим степенным рядом
(Существует также менее распространенный род Â, связанный с характеристическим рядом .) Первые несколько значений
Объединив этот результат об индексе с формулой Вейтценбока для лапласиана Дирака, Андре Лихнерович вывел, что если компактное спиновое многообразие допускает метрику с положительной скалярной кривизной, его род Â должен обращаться в нуль. Это создает препятствие для положительной скалярной кривизны только тогда, когда размерность кратна 4, но Найджел Хитчин позже обнаружил аналогичный-значное препятствие в размерах 1 или 2 mod 8. Эти результаты по существу резкие. Действительно, Михаил Громов , Х. Блейн Лоусон и Стефан Штольц позже доказали, что род В и Хитчин-значные аналоги являются единственными препятствиями к существованию метрик положительной скалярной кривизны на односвязных спиновых многообразиях размерности больше или равной 5.
Эллиптический род
Род называется эллиптическим, если степенной ряд удовлетворяет условию
для констант а также . (Как обычно, Q - характеристический степенной ряд рода.)
Одно явное выражение для f ( z ):
где
и зп является эллиптическая функция Якоби.
Примеры:
. Это L-род.
. Это род Â.
. Это обобщение L-рода.
Первые несколько значений таких родов:
Пример (Эллиптический род для кватернионной проективной плоскости):
Пример (Эллиптический род для октонионной проективной плоскости (плоскость Кэли)):
Род Виттена
Род Виттена - это род, связанный с характеристическим степенным рядом
Род Виттена 4k- мерного компактного ориентированного гладкого спинового многообразия с нулевым первым классом Понтрягина является модулярной формой веса 2k с целыми коэффициентами Фурье.
^ Мактаг, Карл (2014) «Вычисление L-полиномов Хирцебруха» .
^ Huybrechts, Даниэль. «14.1 Существование, единственность и вложения решеток». Лекции по поверхностям K3 (PDF) . п. 285.
Рекомендации
Фридрих Хирцебрух Топологические методы в алгебраической геометрииISBN 3-540-58663-6 Текст оригинальной немецкой версии: http://hirzebruch.mpim-bonn.mpg.de/120/6/NeueTopologischeMethoden_2.Aufl.pdf
Фридрих Хирцебрух, Томас Бергер, Многообразия Райнера Юнга и модульные формыISBN 3-528-06414-5
Милнор, Сташев, Характерные классы , ISBN 0-691-08122-0
А.Ф. Харшиладзе (2001) [1994], "Класс Понтрягина" , Энциклопедия математики , EMS Press
"Эллиптические роды" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]