В математике , то классы Понтрягина , названные в честь Понтрягина , некоторые характеристические классы вещественных векторных расслоений. Классы Понтрягина лежат в группах когомологий со степенями, кратными четырем.
Определение
Для вещественного векторного расслоения E над M его k -й класс Понтрягина определяется как
где:
- обозначает -й класс Черна из усложнению из E ,
- это - группа когомологий M с целыми коэффициентами.
Рациональный класс Понтрягина определяется как изображение в , то -группа когомологий M с рациональными коэффициентами.
Характеристики
Общий класс Понтрягина
является (по модулю 2-кручения) мультипликативным по отношению к сумме Уитни векторных расслоений, т. е.
для двух векторных расслоений E и F над М . В терминах индивидуальных классов Понтрягина p k ,
и так далее.
Исчезновение классов Понтрягина и Штифеля – Уитни векторного расслоения не гарантирует тривиальности векторного расслоения. Например, с точностью до изоморфизма векторных расслоений существует единственное нетривиальное векторное расслоение ранга 10над 9-сферой . (Функция сцепления длявозникает из гомотопической группы .) Классы Понтрягина и классы Штифеля-Уитни все исчезают: классы Понтрягина не существуют в степени 9, а класс Штифеля-Уитни w 9 из E 10 исчезает по формуле Ву w 9 = w 1 w 8 + Sq 1 ( w 8 ). Кроме того, это векторное расслоение стабильно нетривиально, то есть сумма Уитни из Й 10 с любым тривиальным расслоением остается нетривиальными. ( Хэтчер 2009 , стр.76)
Для 2k -мерного векторного расслоения E имеем
где е ( Е ) обозначает класс Эйлера из Е , иобозначает чашечное произведение классов когомологий.
Классы Понтрягина и кривизна
Как было показано Шиинг-Шеном Черном и Андре Вейлем около 1948 г., рациональные классы Понтрягина
можно представить в виде дифференциальных форм, полиномиально зависящих от формы кривизны векторного расслоения. Эта теория Черна – Вейля выявила важную связь между алгебраической топологией и глобальной дифференциальной геометрией.
Для векторного расслоения Е над п - мерным дифференцируемым многообразием М , снабженной связью , общий класс Понтрягина выражаются как
где Ω обозначает форму кривизны , а H * dR ( M ) обозначает группы когомологий де Рама . [ необходима цитата ]
Классы Понтрягина многообразия
В классы Понтрягина гладкого многообразия определяются как классы Понтрягина его касательного расслоения .
Новиков доказал в 1966 г., что если два компактных ориентированных гладких многообразия гомеоморфны, то их рациональные классы Понтрягина p k ( M , Q ) в H 4 k ( M , Q ) совпадают.
Если размерность не меньше пяти, существует не более конечного числа различных гладких многообразий с заданными гомотопическим типом и классами Понтрягина.
Классы Понтрягина из классов Черна
Классы Понтрягина комплексного векторного расслоения полностью определяется своими классами Черна. Это следует из того, что, формула суммы Уитни и свойства классов Черна ее комплексно сопряженного расслоения. Это, а также . Тогда с учетом соотношения
например, мы можем применить эту формулу, чтобы найти классы Понтрягина векторного расслоения на кривой и поверхности. Для кривой имеем
так что все классы Понтрягина комплексных векторных расслоений тривиальны. На поверхности мы имеем
показывая . В линейных пакетах это еще больше упрощается, поскольку по габаритным причинам.
Классы Понтрягина на поверхности квартики K3.
Напомним, что многочлен четвертой степени, множество нулей которого в гладкое подмногообразие является поверхностью типа K3. Если использовать нормальную последовательность
мы можем найти
показывая а также . С соответствует четырем точкам, в силу леммы Безу второе число Черна имеет вид . С в этом случае мы имеем
. Это число можно использовать для вычисления третьей стабильной гомотопической группы сфер. [2]
Числа Понтрягина
Числа Понтрягина - это некоторые топологические инварианты гладкого многообразия . Каждое число Понтрягина многообразия M обращается в нуль, если размерность M не делится на 4. Оно определяется в терминах классов Понтрягина многообразия M следующим образом:
Учитывая гладкую -мерное многообразие M и набор натуральных чисел
- такой, что ,
число Понтрягина определяется
где обозначает K -го класса Понтрягина и [ М ] в фундаментальный класс из М .
Характеристики
- Числа Понтрягина являются инвариантами ориентированных кобордизмов ; и вместе с числами Штифеля-Уитни они определяют класс ориентированных кобордизмов ориентированного многообразия.
- Числа Понтрягина замкнутых римановых многообразий (а также классы Понтрягина) могут быть вычислены как интегралы некоторых полиномов от тензора кривизны риманова многообразия.
- Такие инварианты, как подпись и-род может быть выражен через числа Понтрягина. О теореме, описывающей линейную комбинацию чисел Понтрягина, дающих сигнатуру, см. Теорему Хирцебруха о сигнатуре .
Обобщения
Существует также кватернионный класс Понтрягина для векторных расслоений с кватернионной структурой.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Маклин, Марк. "Классы Понтрягина" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 08.11.2016.
- ^ "Обзор вычислений гомотопических групп сфер и кобордизмов" (PDF) . п. 16. Архивировано (PDF) из оригинала 22 января 2016 года.
- Милнор Джон В .; Сташеф, Джеймс Д. (1974). Характерные классы . Анналы математических исследований . Принстон, Нью-Джерси; Токио: Princeton University Press / University of Tokyo Press. ISBN 0-691-08122-0. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Хэтчер, Аллен (2009). "Векторные расслоения и K-теория" (2,1 изд.). Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь )
Внешние ссылки
- "Класс Понтрягина" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]