В математике , то пересечение двух множеств A и B , обозначается A ∩ B , [1] [2] представляет собой множество , содержащее все элементы A , которые также принадлежат к B (или , что эквивалентно, все элементы B , которые также принадлежат A ). [3]
Обозначения и терминология
Пересечение пишется знаком «∩» между терминами; то есть в инфиксной записи . Например,
Пересечение более двух множеств (обобщенное пересечение) можно записать как [1]
что похоже на запись заглавной сигмы .
Для объяснения символов, используемых в этой статье, обратитесь к таблице математических символов .
Определение
Пересечение двух множеств A и B , обозначается A ∩ B , [1] [4] представляет собой совокупность всех объектов , которые являются членами обоих множеств A и B . В символах
То есть, х является элементом пересечения ∩ B , тогда и только тогда , когда х является как элемент А и элемент B . [4]
Например:
- Пересечение множеств {1, 2, 3} и {2, 3, 4} равно {2, 3}.
- Число 9 не находится на пересечении набора простых чисел {2, 3, 5, 7, 11, ...} и набора нечетных чисел {1, 3, 5, 7, 9, 11, .. .}, потому что 9 не простое число.
Пересечение - это ассоциативная операция; то есть, для любых множеств , B и C , один имеет A ∩ ( B ∩ C ) = ( ∩ B ) ∩ C . Пересечение также коммутативно ; для любого A и B , один имеет A ∩ B = B ∩ A. Таким образом, имеет смысл говорить о пересечении нескольких наборов. Пересечение A , B , C , и D , например, однозначно записывается ∩ B ∩ C ∩ D .
Внутри Вселенной U , можно определить дополнение A C от A называется множество всех элементов U не в A . Кроме того, пересечение A и B может быть записано как дополнение к объединению их дополнений, которое легко выводится из законов Де Моргана :
A ∩ B = ( A c ∪ B c ) c
Пересекающиеся и непересекающиеся множества
Будем говорить , что A пересекает (встречается) B в качестве элемента х , если х принадлежит A и B . Мы говорим, что A пересекает (встречает) B, если A пересекает B в некотором элементе. A пересекает B, если их пересечение населено .
Мы говорим , что А и В не пересекаются , если не пересекается с B . Проще говоря, у них нет общих элементов. A и B не пересекаются, если их пересечение пусто , обозначается.
Например, наборы {1, 2} и {3, 4} не пересекаются, в то время как набор четных чисел пересекает набор кратных 3 и кратных 6.
Произвольные перекрестки
Наиболее общее понятие - это пересечение произвольного непустого набора множеств. Если М является непустое множество, элементы которого сами наборы, то х является элементом пересечения с М тогда и только тогда , когда для каждого элемента А из М , х является элементом A . В символах:
Обозначения этого последнего понятия могут значительно различаться. Теоретики множеств иногда пишут «⋂ M », в то время как другие вместо этого пишут «∈ A ∈ M A ». Последнее обозначение может быть обобщено на «⋂ i ∈ I A i », которое относится к пересечению набора { A i : i ∈ I }. Здесь я непустое множество, и я это набор для каждого I в I .
В случае, когда набор индексов I является набором натуральных чисел , можно увидеть запись, аналогичную обозначению бесконечного произведения :
Если форматирование затруднено, можно также записать « A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ ...». Этот последний пример, пересечение счетного множества множеств, на самом деле очень распространен; например, см. статью об σ-алгебрах .
Нулевое пересечение
Обратите внимание, что в предыдущем разделе мы исключили случай, когда M было пустым множеством (∅). Причина в следующем: пересечение коллекции M определяется как множество (см. Обозначение конструктора множеств )
Если M пусто, то в M нет множеств A , поэтому возникает вопрос: «Какие x удовлетворяют указанному условию?» Ответ кажется всевозможным x . Когда M пусто, приведенное выше условие является примером пустой истины . Таким образом, пересечение пустого семейства должно быть универсальным множеством ( тождественным элементом для операции пересечения) [5], но в стандартной теории множеств ( ZFC ) универсального множества не существует.
В теории типа однако, х имеет предписанного типа, поэтому считается, что пересечение имеет тип (тип множеств, элементы которых находятся в ), и мы можем определить быть универсальным набором (множество, элементами которого являются в точности все термины типа ).
Смотрите также
- Алгебра множеств
- Мощность
- Дополнение
- График пересечения
- Итерированная бинарная операция
- Список установленных идентичностей и отношений
- Логическое соединение
- MinHash
- Наивная теория множеств
- Симметричная разница
- Союз
Рекомендации
- ^ a b c «Исчерпывающий список символов теории множеств» . Математическое хранилище . 2020-04-11 . Проверено 4 сентября 2020 .
- ^ «Пересечение множеств» . web.mnstate.edu . Проверено 4 сентября 2020 .
- ^ «Статистика: правила вероятности» . People.richland.edu . Проверено 8 мая 2012 .
- ^ а б «Операции над множеством | Союз | Пересечение | Дополнение | Разница | Взаимоисключающие | Разделы | Закон Де Моргана | Распределительный закон | Декартово произведение» . www.probabilitycourse.com . Проверено 4 сентября 2020 .
- ^ Меггинсон, Роберт Э. (1998), «Глава 1», Введение в теорию банаховых пространств , Тексты для выпускников по математике , 183 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xx + 596, ISBN 0-387-98431-3
дальнейшее чтение
- Девлин, KJ (1993). Радость множеств: основы современной теории множеств (второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
- Мункрес, Джеймс Р. (2000). «Теория множеств и логика». Топология (Второе изд.). Река Верхнее Седл: Зал Прентис. ISBN 0-13-181629-2.
- Розен, Кеннет (2007). «Основные структуры: множества, функции, последовательности и суммы». Дискретная математика и ее приложения (Шестое изд.). Бостон: Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-322972-0.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Пересечение» . MathWorld .