В математике ряды Аппеля - это набор из четырех гипергеометрических рядов F 1 , F 2 , F 3 , F 4 двух переменных, которые были введены Полом Аппеллом ( 1880 ) и которые обобщают гипергеометрический ряд Гаусса 2 F 1 одной переменной. Аппель установил систему дифференциальных уравнений в частных производных , решениями которой являются эти функции , и нашел различные формулы редукции и выражения этих рядов в терминах гипергеометрических рядов одной переменной.
Ряд Аппеля F 1 определен для | х | <1, | y | <1 двойным рядом
где - это символ Почхаммера . Для других значений x и y функция F 1 может быть определена аналитическим продолжением . Можно показать [1], что
Аналогично функция F 2 определяется для | х | + | y | <1 по серии
и можно показать [2], что
Также функция F 3 для | х | <1, | y | <1 можно определить рядом
и функция F 4 при | х | ½ + | y | ½ <1 по ряду
Подобно гипергеометрическому ряду Гаусса 2 F 1 , двойной ряд Аппеля влечет за собой рекуррентные соотношения между смежными функциями. Например, базовый набор таких отношений для F 1 Аппеля определяется следующим образом:
Любое другое соотношение [3], допустимое для F 1, может быть получено из этих четырех.
Точно так же все рекуррентные соотношения для F 3 Аппеля следуют из этого набора из пяти:
Для F 1 Аппеля следующие производные являются результатом определения двойным рядом:
Из своего определения F 1 Аппеля удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений второго порядка :
Система дифференциальных уравнений в частных производных для F 2 имеет вид
У системы есть решение
Аналогично, для F 3 из определения следуют следующие производные:
А для F 3 получается следующая система дифференциальных уравнений:
Система дифференциальных уравнений в частных производных для F 4 имеет вид
У системы есть решение
Четыре функции, определенные двойным рядом Аппелла, могут быть представлены в терминах двойных интегралов, включающих только элементарные функции ( Градштейн и Рыжик 2015 , §9.184)ошибка harv: нет цели: CITEREFGradshteynRyzhik2015 ( помощь ). Однако Эмиль Пикар ( 1881 ) обнаружил, что F 1 Аппеля также может быть записан как одномерный интеграл типа Эйлера :
Это представление можно проверить с помощью разложения подынтегрального выражения Тейлора с последующим почленным интегрированием.
Интегральное представление Пикара означает, что неполные эллиптические интегралы F и E, а также полный эллиптический интеграл Π являются частными случаями F 1 Аппеля :