Асферическое пространство

В топологии , разделе математики, асферическое пространство - это топологическое пространство, в котором все гомотопические группы равны 0, когда .${\ Displaystyle \ pi _ {п} (Х)}$${\ displaystyle n> 1}$

Если работать с комплексами CW , можно переформулировать это условие: асферический комплекс CW - это комплекс CW, универсальное покрытие которого стягиваемо . Действительно, стягиваемость универсального покрытия по теореме Уайтхеда то же самое , что его асферичность. И это применение точной последовательности расслоения, согласно которой высшие гомотопические группы пространства и его универсальное покрытие совпадают. (По тому же аргументу, если E - пространство линейной связности и любая накрывающая карта , то E асферично тогда и только тогда, когда B асферическое.)${\displaystyle p\colon E\to B}$

Каждая асферическая пространство Х является, по определению, существует пространство Эйленберга-Маклейна типа , где является фундаментальной группой из X . Также непосредственно из определения асферическое пространство является классифицирующим пространством для своей фундаментальной группы (которая считается топологической группой, когда наделена дискретной топологией ).${\displaystyle K(G,1)}$${\displaystyle G=\pi _{1}(X)}$

Примеры [ править ]

• Используя второе из приведенных выше определений, легко увидеть, что все ориентируемые компактные поверхности рода больше 0 являются асферическими (поскольку они имеют либо евклидову плоскость, либо гиперболическую плоскость в качестве универсального покрытия).
• Отсюда следует, что все неориентируемые поверхности, кроме действительной проективной плоскости , также являются асферическими, так как они могут быть покрыты ориентируемой поверхностью рода 1 или выше.
• Точно так же произведение любого количества кругов асферично. Как и любое полное плоское риманово многообразие.
• Любое трехмерное гиперболическое многообразие по определению покрывается трехмерным гиперболическим пространством H ³ , следовательно, асферическим. Как и любое n -многообразие, универсальное накрывающее пространство которого является гиперболическим n -пространством H ⁿ .
• Пусть Х  =  О / К быть риманов симметричного пространства отрицательного типа, и Γ является решетка в G , которая действует свободно на X . Тогда локально симметричное пространство асферично.${\displaystyle \Gamma \backslash G/K}$
• Построение Брюа – Титса простой алгебраической группы над полем с дискретным нормированием асферично.
• Дополнение узла в S ³ асферично по теореме о сфере
• Метрические пространства неположительной кривизны по Александру Д. Александрову (локально пространства CAT (0) ) асферичны. В случае римановых многообразий , это следует из теоремы Картана-Адамара , которая обобщена геодезических метрических пространств по М. Громова и Вернер Ballmann. Этот класс асферических пространств включает все приведенные ранее примеры.
• Любое нильмногообразие асферично.

Симплектически асферические многообразия [ править ]

В контексте симплектических многообразий значение слова «асферический» немного иное. В частности, мы говорим, что симплектическое многообразие (M, ω) симплектически асферично тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \int _{S^{2}}f^{*}\omega =\langle c_{1}(TM),f_{*}[S^{2}]\rangle =0}$

для каждого непрерывного отображения

${\displaystyle f\colon S^{2}\to M,}$

где обозначает первый класс Черна из с почти комплексной структурой , который совместим с со.${\displaystyle c_{1}(TM)}$

По теореме Стокса мы видим, что симплектические многообразия, которые являются асферическими, также являются симплектически асферическими многообразиями. Однако существуют симплектически асферические многообразия, которые не являются асферическими пространствами. ^[1]

Некоторые ссылки ^[2] опускают требование на c ₁ в своем определении «симплектически асферического». Однако симплектические многообразия, удовлетворяющие только этому более слабому условию, чаще называют «слабо точными».

См. Также [ править ]

• Ациклическое пространство
• Основной коллектор
• Гипотеза Уайтхеда

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Bridson, Martin R .; Хефлигер, Андре , Метрические пространства неположительной кривизны . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 319. Springer-Verlag, Berlin, 1999. xxii + 643 стр.  ISBN 3-540-64324-9 MR 1744486 

Внешние ссылки [ править ]

• Асферические многообразия на Атласе многообразий.