Ограничение диапазона - это ограничение представления сигнала в частотной области или спектральной плотности до нуля выше определенной конечной частоты .
Сигнал с ограниченной полосой пропускания - это сигнал , преобразование Фурье или спектральная плотность которого имеет ограниченную поддержку .
Сигнал с ограниченной полосой частот может быть случайным ( стохастическим ) или неслучайным ( детерминированным ).
В общем, бесконечно многие термины необходимы в непрерывном ряде Фурье представления сигнала, но если конечное число членов ряда Фурье может быть вычислено из этого сигнала, этот сигнал считаются ограниченной полосой.
Выборка сигналов с ограниченной полосой пропускания
Сигнал с ограниченной полосой частот может быть полностью восстановлен из его выборок при условии, что частота дискретизации в два раза превышает максимальную частоту в сигнале с ограниченной полосой частот. Эта минимальная частота дискретизации называется частотой Найквиста . Этот результат, обычно приписываемый Найквисту и Шеннону , известен как теорема выборки Найквиста – Шеннона .
Примером простого детерминированного сигнала с ограниченной полосой пропускания является синусоида вида. Если этот сигнал дискретизируется со скоростью так что у нас есть образцы , для всех целых чисел , мы можем восстановить полностью из этих образцов. Точно так же суммы синусоид с разными частотами и фазами также ограничены полосой до самой высокой из их частот.
Сигнал, преобразование Фурье которого показано на рисунке, также имеет ограниченную полосу пропускания. Предполагать - сигнал, преобразование Фурье которого имеет вид , величина которого указана на рисунке. Наивысшая частотная составляющая в является . В результате коэффициент Найквиста равен
или вдвое больше самой высокой частотной составляющей сигнала, как показано на рисунке. Согласно теореме выборки можно восстановить полностью и точно используя образцы
- для всех целых чисел а также
так долго как
Восстановление сигнала по его выборкам может быть выполнено с использованием формулы интерполяции Уиттекера – Шеннона .
Bandlimited vs timelimited
Сигнал с ограничением полосы частот также не может быть ограничен по времени. Точнее, функция и ее преобразование Фурье не могут иметь конечный носитель, если он не равен тождественно нулю. Этот факт можно доказать с помощью комплексного анализа и свойств преобразования Фурье.
Доказательство. Предположим, что существует сигнал f (t), который имеет конечную поддержку в обеих областях и не является тождественно нулевым. Давайте сэмплируем его быстрее, чем частота Найквиста , и вычислим соответствующее преобразование Фурье. и дискретное преобразование Фурье . Согласно свойствам DTFT,, где - частота, используемая для дискретизации. Если f ограничен полосой пропускания, равен нулю за пределами определенного интервала, поэтому при достаточно большом , будет равна нулю в некоторых интервалах тоже, так как отдельные опоры из в сумме не будет перекрываться. Согласно определению DTFT, представляет собой сумму тригонометрических функций, и поскольку f (t) ограничена по времени, эта сумма будет конечной, поэтому будет фактически тригонометрическим полиномом . Все тригонометрические полиномы голоморфны на всей комплексной плоскости , и в комплексном анализе есть простая теорема, согласно которой все нули непостоянной голоморфной функции изолированы . Но это противоречит нашему ранее обнаруженному выводу, чтоимеет интервалы, полные нулей, поскольку точки в таких интервалах не изолированы. Таким образом, единственным сигналом с ограничением по времени и полосе пропускания является постоянный ноль.
Одним из важных следствий этого результата является то, что невозможно сгенерировать действительно ограниченный по полосе сигнал в любой реальной ситуации, потому что для передачи ограниченного по полосе сигнала потребуется бесконечное время. Все сигналы реального мира по необходимости ограничены по времени , что означает, что они не могут быть ограничены по полосе. Тем не менее концепция сигнала с ограниченной полосой частот является полезной идеализацией для теоретических и аналитических целей. Кроме того, можно аппроксимировать сигнал с ограниченной полосой частот до любого желаемого уровня точности.
Подобное соотношение между длительностью во времени и полосой пропускания по частоте также составляет математическую основу принципа неопределенности в квантовой механике . В этой настройке "ширина" функций во временной и частотной областях оценивается с помощью меры, подобной дисперсии . Количественно принцип неопределенности накладывает следующее условие на любую реальную форму волны:
где
- является (соответствующим образом выбранной) мерой ширины полосы (в герцах), и
- - (соответственно выбранная) мера продолжительности времени (в секундах).
В анализе частотно-временной , эти пределы известны как предел Габора , и интерпретируются как ограничение на одновременное разрешение частотно-временного можно достичь.
Рекомендации
- Уильям МакКи. Зиберт (1986). Цепи, сигналы и системы . Кембридж, Массачусетс: MIT Press.