Упорядоченная геометрия

Упорядоченная геометрия - это форма геометрии, в которой присутствует понятие промежуточности (или «промежуточности»), но, как и проективная геометрия , отсутствует основное понятие измерения. Упорядоченная геометрия - это фундаментальная геометрия, образующая общую основу для аффинной , евклидовой , абсолютной и гиперболической геометрии (но не для проективной геометрии).

История [ править ]

Мориц Паш впервые определил геометрию без ссылки на измерения в 1882 году. Его аксиомы были улучшены Пеано (1889), Гильбертом (1899) и Вебленом (1904). ^[1]^{: 176} Евклид предвосхитил подход Паша в определении 4 «Элементов» : «прямая линия - это линия, которая равномерно проходит с точками на самой себе». ^[2]

Примитивные концепции [ править ]

Единственными примитивными понятиями в упорядоченной геометрии являются точки A , B , C , ... и тернарное отношение промежуточности [ ABC ], которое можно прочитать как « B находится между A и C ».

Определения [ править ]

Сегмент АВ представляет собой множество точек Р , такие , что [ APB ].

Интервал АВ есть отрезок АВ и его конечные точки A и B .

Луч / B (читается как «луча от А от B ») является множество точек Р , такие , что [ PAB ].

Линии АВ интервал АВ и двумя лучами / B и B / A . Точки на прямой AB называются коллинеарными .

Угол состоит из точки O (The вершина ) и двух неколлинеарных лучей из O (в сторонах ).

Треугольник задается тремя неколлинеарных точек (называемых вершинами ) и их трех сегментов АВ , BC и CA .

Если три точки A , B и C не коллинеарны, то плоскость ABC - это множество всех точек, коллинеарных парам точек на одной или двух сторонах треугольника ABC .

Если четыре точки A , B , C и D не компланарны, то пространство ( 3-пространство ) ABCD - это множество всех точек, коллинеарных парам точек, выбранных из любой из четырех граней (плоских областей) тетраэдра. ABCD .

Аксиомы упорядоченной геометрии [ править ]

Есть как минимум две точки.
Если A и B - разные точки, существует C такая, что [ABC].
Если [ ABC ], то A и C различны ( A ≠ C ).
Если [ ABC ], то [ CBA ], но не [ CAB ].
Если C и D - разные точки на прямой AB , то A находится на прямой CD .
Если АВ есть линия, есть точка C не на линии АВ .
( Аксиома Паша ) Если ABC - треугольник и [ BCD ] и [ CEA ], то существует точка F на прямой DE, для которой [ AFB ].
Аксиома размерности :
1. Для плоской упорядоченной геометрии все точки находятся в одной плоскости. Или же
2. Если ABC - плоскость, то существует точка D не на плоскости ABC .
Все точки находятся в одной плоскости, пространстве и т. Д. (В зависимости от того, в каком измерении выбирается работа).
(Аксиома Дедекинда) Для каждого разбиения всех точек на прямой на два непустых множества, таких, что ни одна из точек не лежит между двумя точками другого, существует точка одного множества, которая лежит между любой другой точкой этого множества и каждой точкой. точка другого набора.

Эти аксиомы тесно связаны с аксиомами порядка Гильберта . Подробный обзор аксиоматизаций упорядоченной геометрии см. В. ^[3]

Результаты [ править ]

Проблема Сильвестра о коллинеарных точках [ править ]

Теорема Сильвестра – Галлаи может быть доказана в рамках упорядоченной геометрии. ^[4]^[1]^{: 181,2}

Параллелизм [ править ]

Гаусс , Бойяи и Лобачевский разработали понятие параллелизма, которое может быть выражено в упорядоченной геометрии. ^[1]^{: 189,90}

Теорема (существование параллелизма): даны точка A и прямая r , не проходящая через A , существуют ровно два предельных луча из A в плоскости Ar, которые не пересекаются с r . Таким образом, через A проходит параллельная линия, которая не пересекает r .

Теорема (передаваемость параллелизма): параллельность луча и прямой сохраняется путем добавления или вычитания отрезка от начала луча.

Транзитивность параллельности не может быть доказана в упорядоченной геометрии. ^[5] Следовательно, «упорядоченная» концепция параллелизма не образует отношения эквивалентности на прямых.

См. Также [ править ]

Геометрия падения
Евклидова геометрия
- Аксиомы Гильберта
- Аксиомы Тарского
Аффинная геометрия
Абсолютная геометрия
Неевклидова геометрия
Программа Эрланген
Циклический порядок
Отношение разделения

Ссылки [ править ]

^ a b c Кокстер, HSM (1969). Введение в геометрию (2-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-18283-4. Zbl 0181.48101 .
^ Хит, Томас (1956) [1925]. Тринадцать книг элементов Евклида (Том 1) . Нью-Йорк: Dover Publications . С. 165 . ISBN 0-486-60088-2.
^ Pambuccian, Виктор (2011). «Аксиоматика упорядоченной геометрии: I. Упорядоченные пространства инцидентности». Expositiones Mathematicae . 29 : 24–66. DOI : 10.1016 / j.exmath.2010.09.004 .
^ Pambuccian, Виктор (2009). «Обратный анализ теоремы Сильвестра – Галлаи» . Журнал формальной логики Нотр-Дам . 50 (3): 245–260. DOI : 10.1215 / 00294527-2009-010 . Zbl 1202.03023 .
^ Буземан, Герберт (1955). Геометрия геодезии . Чистая и прикладная математика. 6 . Нью-Йорк: Academic Press . п. 139. ISBN 0-12-148350-9. Zbl 0112.37002 .

[Coxeter69-1] Кокстер, HSM (1969). Введение в геометрию (2-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-18283-4. Zbl 0181.48101 .

[2] Хит, Томас (1956) [1925]. Тринадцать книг элементов Евклида (Том 1) . Нью-Йорк: Dover Publications . С. 165 . ISBN 0-486-60088-2.

[3] Pambuccian, Виктор (2011). «Аксиоматика упорядоченной геометрии: I. Упорядоченные пространства инцидентности». Expositiones Mathematicae . 29 : 24–66. DOI : 10.1016 / j.exmath.2010.09.004 .

[4] Pambuccian, Виктор (2009). «Обратный анализ теоремы Сильвестра – Галлаи» . Журнал формальной логики Нотр-Дам . 50 (3): 245–260. DOI : 10.1215 / 00294527-2009-010 . Zbl 1202.03023 .

[5] Буземан, Герберт (1955). Геометрия геодезии . Чистая и прикладная математика. 6 . Нью-Йорк: Academic Press . п. 139. ISBN 0-12-148350-9. Zbl 0112.37002 .

[1]