Тессеракт | Усеченный тессеракт | Исправленный тессеракт | Обрезанный тессеракт |
Диаграммы Шлегеля с центром в [4,3] (ячейки видны в [3,3]) | |||
16 ячеек | Усеченная 16-ячеечная | Выпрямленный 16-элементный ( 24-элементный ) | Обрезанный тессеракт |
Диаграммы Шлегеля с центром в [3,3] (ячейки видны в [4,3]) |
В геометрии , A усеченного тессеракт является равномерным 4-многогранник формируется как усечения регулярного тессеракта .
Есть три усечения, включая усечение битов и усечение, которое создает усеченные 16 ячеек .
Усеченный тессеракт
Усеченный тессеракт | ||
---|---|---|
Диаграмма Шлегеля ( видны ячейки тетраэдра ) | ||
Тип | Равномерный 4-многогранник | |
Символ Шлефли | т {4,3,3} | |
Диаграммы Кокстера | ||
Клетки | 24 | 8 3.8.8 16 3.3.3 |
Лица | 88 | 64 {3} 24 {8} |
Края | 128 | |
Вершины | 64 | |
Фигура вершины | () v {3} | |
Двойной | Тетракис 16-ти клеточный | |
Группа симметрии | B 4 , [4,3,3], заказ 384 | |
Характеристики | выпуклый | |
Единый индекс | 12 13 14 |
Усечен тессеракт ограничена 24 клеток : 8 усеченных кубов и 16 тетраэдров .
Альтернативные имена
- Усеченный тессеракт ( Норман В. Джонсон )
- Усеченный тессеракт (аббревиатура tat) (Джордж Ольшевский и Джонатан Бауэрс) [1]
Строительство
Усеченный тессеракт может быть построен путем усечения вершин тессеракта вдлины кромки. В каждой усеченной вершине образуется правильный тетраэдр.
В декартовы координатах вершин усеченного тессеракта , имеющая длину ребра 2 задаются все перестановками:
Прогнозы
В первой параллельной проекции усеченного куба усеченного тессеракта в трехмерное пространство изображение расположено следующим образом:
- Конверт проекции - это куб .
- Две из ячеек усеченного куба проецируются на усеченный куб, вписанный в кубическую оболочку.
- Остальные 6 усеченных кубиков выступают на квадратные грани конверта.
- 8 тетраэдрических объемов между огибающей и треугольными гранями центрального усеченного куба - это изображения 16 тетраэдров, пары ячеек для каждого изображения.
Изображений
Самолет Кокстера | В 4 | B 3 / D 4 / A 2 | B 2 / D 3 |
---|---|---|---|
График | |||
Двугранная симметрия | [8] | [6] | [4] |
Самолет Кокстера | П 4 | А 3 | |
График | |||
Двугранная симметрия | [12/3] | [4] |
Многогранная сетка | Усеченный тессеракт, проецируемый на 3-сферу со стереографической проекцией в 3-мерное пространство. |
Связанные многогранники
Усечен тессеракт , является третьим в последовательности усеченных гиперкубов :
Изображение | ... | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Имя | Восьмиугольник | Усеченный куб | Усеченный тессеракт | Усеченный 5-куб | Усеченный 6-куб | Усеченный 7-куб | Усеченный 8-куб | |
Диаграмма Кокстера | ||||||||
Фигура вершины | () v () | () v {} | () v {3} | () v {3,3} | () v {3,3,3} | () v {3,3,3,3} | () v {3,3,3,3,3} |
Обрезанный тессеракт
Обрезанный тессеракт | ||
---|---|---|
Две диаграммы Шлегеля , сосредоточенные на усеченных тетраэдрических или усеченных октаэдрических ячейках, со скрытыми альтернативными типами ячеек. | ||
Тип | Равномерный 4-многогранник | |
Символ Шлефли | 2т {4,3,3} 2т {3,3 1,1 } ч 2,3 {4,3,3} | |
Диаграммы Кокстера | знак равно | |
Клетки | 24 | 8 4.6.6 16 3.6.6 |
Лица | 120 | 32 {3} 24 {4} 64 {6} |
Края | 192 | |
Вершины | 96 | |
Фигура вершины | Дигональный дисфеноид | |
Группа симметрии | B 4 , [3,3,4], заказ 384 D 4 , [3 1,1,1 ], заказ 192 | |
Характеристики | выпуклый , вершинно-транзитивный | |
Единый индекс | 15 16 17 |
Bitruncated тессеракт , bitruncated 16-клетки , или tesseractihexadecachoron построена по bitruncation операции , приложенных к тессеракту . Его также можно назвать руническим тессерактом с половиной вершин многогранного тессеракта с строительство.
Альтернативные имена
- Bitruncated tesseract / Runcicantic tesseract ( Norman W. Johnson )
- Обрезанный битами тессеракт (аббревиатура tah) (Джордж Ольшевский и Джонатан Бауэрс) [2]
Строительство
Тессеракт усекается путем усечения его ячеек за пределы их середины, превращая восемь кубов в восемь усеченных октаэдров . У них все еще общие квадратные грани, но шестиугольные грани образуют усеченные тетраэдры, которые разделяют свои треугольные грани друг с другом.
В декартовы координатах вершин в bitruncated тессеракта , имеющую длину ребра 2 задаются все перестановками:
Состав
Усеченные октаэдры соединены друг с другом своими квадратными гранями, а с усеченными тетраэдрами - их шестиугольными гранями. Усеченные тетраэдры соединены между собой треугольными гранями.
Прогнозы
Самолет Кокстера | В 4 | B 3 / D 4 / A 2 | B 2 / D 3 |
---|---|---|---|
График | |||
Двугранная симметрия | [8] | [6] | [4] |
Самолет Кокстера | П 4 | А 3 | |
График | |||
Двугранная симметрия | [12/3] | [4] |
Стереографические проекции
Проекция тессеракта в виде усеченного октаэдра в трехмерное пространство имеет усеченную кубическую оболочку. Две из усеченных октаэдрических ячеек выступают на усеченный октаэдр, вписанный в эту оболочку, причем квадратные грани касаются центров октаэдрических граней. 6 октаэдрических граней являются изображениями оставшихся 6 усеченных октаэдрических ячеек. Оставшийся промежуток между вписанным усеченным октаэдром и оболочкой заполнен 8 уплощенными усеченными тетраэдрами, каждый из которых является изображением пары усеченных тетраэдрических ячеек.
Раскрашен прозрачно розовыми треугольниками, синими квадратами и серыми шестиугольниками. |
Связанные многогранники
Bitruncated тессеракт занимает второе место в последовательности bitruncated гиперкубов :
Изображение | ... | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Имя | Обрезанный куб | Обрезанный тессеракт | Обрезанный бит 5-куб | Обрезанный битом 6-куб | Bitruncated 7-cube | Обрезанный битами 8-куб | |
Coxeter | |||||||
Фигура вершины | () v {} | {} v {} | {} v {3} | {} v {3,3} | {} v {3,3,3} | {} v {3,3,3,3} |
Усеченная 16-ячеечная
Усеченный кантик-тессеракт с 16 ячейками | ||
---|---|---|
Диаграмма Шлегеля ( видны октаэдрические ячейки) | ||
Тип | Равномерный 4-многогранник | |
Символ Шлефли | т {4,3,3} т {3,3 1,1 } ч 2 {4,3,3} | |
Диаграммы Кокстера | знак равно | |
Клетки | 24 | 8 3.3.3.3 16 3.6.6 |
Лица | 96 | 64 {3} 32 {6} |
Края | 120 | |
Вершины | 48 | |
Фигура вершины | квадратная пирамида | |
Двойной | Гексакис тессеракт | |
Группы Кокстера | B 4 [3,3,4], заказ 384 D 4 [3 1,1,1 ], заказ 192 | |
Характеристики | выпуклый | |
Единый индекс | 16 17 18 |
Усеченные 16-клетки , усеченный hexadecachoron , cantic тессеракт , которая ограничена 24 клеток : 8 регулярных октаэдров , и 16 усеченного тетраэдра . Он имеет половину вершин углового тессеракта с конструкцией.
Это связано с 24-ячейками , которые являются правильными 4-многогранниками, ограниченными 24 правильными октаэдрами , но не путать с ними .
Альтернативные имена
- Усеченный 16-элементный / Кантический тессеракт ( Norman W. Johnson )
- Усеченный гексадекахорон (аббревиатура thex) (Джордж Ольшевский и Джонатан Бауэрс) [3]
Строительство
Усеченные 16 ячеек могут быть построены из 16 ячеек путем усечения его вершин на 1/3 длины ребра. Это приводит к 16 усеченным тетраэдрическим ячейкам и вводит 8 октаэдров (фигуры вершин).
(Усечение 16 ячеек на 1/2 длины ребра приводит к 24 ячейкам, которые имеют большую степень симметрии, потому что усеченные ячейки становятся идентичными фигурам вершин.)
В декартовы координаты вершин усеченного 16-клеточной длины , имеющие ребра 2√2 задаются всех перестановок и комбинаций знаков:
- (0,0,1,2)
Альтернативная конструкция начинается с димитессеракта с координатами вершины (± 3, ± 3, ± 3, ± 3), имеющего четное число каждого знака, и усекает его, чтобы получить перестановки
- (1,1,3,3), с четным номером каждого знака.
Состав
Усеченные тетраэдры соединены друг с другом шестиугольными гранями. Октаэдры соединены с усеченными тетраэдрами своими треугольными гранями.
Прогнозы
В центре октаэдра
Октаэдр-первая параллельная проекция усеченной 16-ячейки в трехмерное пространство имеет следующую структуру:
- Огибающая проекции представляет собой усеченный октаэдр .
- 6 квадратных граней конверта представляют собой изображения 6 октаэдрических ячеек.
- В центре оболочки лежит октаэдр, соединенный с центром шести квадратных граней шестью гранями. Это изображение двух других октаэдрических ячеек.
- Оставшееся пространство между оболочкой и центральным октаэдром заполнено 8 усеченными тетраэдрами (искаженными проекцией). Это изображения 16 усеченных тетраэдрических ячеек, по паре ячеек на каждое изображение.
Такое расположение ячеек в проекции аналогично расположению граней в проекции усеченного октаэдра в 2-мерное пространство. Следовательно, усеченная 16-ячеечная ячейка может рассматриваться как 4-мерный аналог усеченного октаэдра.
С центром на усеченном тетраэдре
Первая параллельная проекция усеченного тетраэдра усеченной 16-ячейки в 3-мерное пространство имеет следующую структуру:
- Огибающая проекции представляет собой усеченный куб .
- Ближайший к четырехмерной точке обзора усеченный тетраэдр проецируется в центр оболочки, а его треугольные грани соединены с 4 октаэдрическими объемами, которые соединяют его с 4 треугольными гранями оболочки.
- Оставшееся пространство оболочки заполнено четырьмя другими усеченными тетраэдрами.
- Эти объемы представляют собой изображения ячеек, лежащих на ближней стороне усеченной 16-ячейки; другие ячейки проецируются на тот же макет, за исключением двойной конфигурации.
- Шесть восьмиугольных граней конверта проекции - это изображения оставшихся 6 усеченных тетраэдрических ячеек.
Изображений
Самолет Кокстера | В 4 | B 3 / D 4 / A 2 | B 2 / D 3 |
---|---|---|---|
График | |||
Двугранная симметрия | [8] | [6] | [4] |
Самолет Кокстера | П 4 | А 3 | |
График | |||
Двугранная симметрия | [12/3] | [4] |
Сеть | Стереографическая проекция (с центром на усеченном тетраэдре ) |
Связанные многогранники
Усеченный 16-элементный, как кантический 4-куб, связан с размерным семейством кантических n-кубов:
п | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия [1 + , 4,3 n-2 ] | [1 + , 4,3] = [3,3] | [1 + , 4,3 2 ] = [3,3 1,1 ] | [1 + , 4,3 3 ] = [3,3 2,1 ] | [1 + , 4,3 4 ] = [3,3 3,1 ] | [1 + , 4,3 5 ] = [3,3 4,1 ] | [1 + , 4,3 6 ] = [3,3 5,1 ] |
Кантическая фигура | ||||||
Coxeter | знак равно | знак равно | знак равно | знак равно | знак равно | знак равно |
Schläfli | ч 2 {4,3} | ч 2 {4,3 2 } | ч 2 {4,3 3 } | ч 2 {4,3 4 } | ч 2 {4,3 5 } | ч 2 {4,3 6 } |
Связанные однородные многогранники
Связанные однородные многогранники в симметрии демитессеракта
D 4 однородная полихора | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{3,3 1,1 } ч {4,3,3} | 2r {3,3 1,1 } ч 3 {4,3,3} | т {3,3 1,1 } ч 2 {4,3,3} | 2т {3,3 1,1 } ч 2,3 {4,3,3} | г {3,3 1,1 } {3 1,1,1 } = {3,4,3} | rr {3,3 1,1 } r {3 1,1,1 } = r {3,4,3} | tr {3,3 1,1 } t {3 1,1,1 } = t {3,4,3} | sr {3,3 1,1 } s {3 1,1,1 } = s {3,4,3} |
Связанные однородные многогранники в симметрии тессеракта
Многогранники симметрии B4 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Имя | тессеракт | исправленный тессеракт | усеченный тессеракт | скошенный тессеракт | беглый тессеракт | усеченный битовый тессеракт | усеченный тессеракт | runcitурезанный тессеракт | полностью усеченный тессеракт | ||
Диаграмма Кокстера | знак равно | знак равно | |||||||||
Символ Шлефли | {4,3,3} | т 1 {4,3,3} r {4,3,3} | т 0,1 {4,3,3} т {4,3,3} | т 0,2 {4,3,3} рр {4,3,3} | т 0,3 {4,3,3} | т 1,2 {4,3,3} 2 т {4,3,3} | t 0,1,2 {4,3,3} tr {4,3,3} | т 0,1,3 { 4,3,3 } | т 0,1,2,3 { 4,3,3 } | ||
Диаграмма Шлегеля | |||||||||||
В 4 | |||||||||||
Имя | 16 ячеек | выпрямленный 16-элементный | усеченный 16-элементный | скошенный 16-элементный | беглый 16-ти клеточный | усеченный битами 16 ячеек | усеченный 16-элементный | усеченный 16-элементный | усеченная 16-ячеечная | ||
Диаграмма Кокстера | знак равно | знак равно | знак равно | знак равно | знак равно | знак равно | |||||
Символ Шлефли | {3,3,4} | т 1 {3,3,4} r {3,3,4} | т 0,1 {3,3,4} т {3,3,4} | т 0,2 {3,3,4} рр {3,3,4} | т 0,3 {3,3,4} | т 1,2 {3,3,4} 2 т {3,3,4} | t 0,1,2 {3,3,4} tr {3,3,4} | т 0,1,3 {3,3,4} | т 0,1,2,3 {3,3,4} | ||
Диаграмма Шлегеля | |||||||||||
В 4 |
Заметки
- ^ Клитцинг, (o3o3o4o - tat)
- ^ Клитцинг, (o3x3x4o - tah)
- ^ Клитцинг, (x3x3o4o - thex)
Рекомендации
- Т. Госсет : О регулярных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Macmillan, 1900
- HSM Coxeter :
- Коксетер, Регулярные многогранники , (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 , стр. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерном пространстве (n≥5)
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973, p. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерном пространстве (n≥5)
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Hemicubes: 1 n1 )
- Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
- 2. Выпуклая однородная полихора на основе тессеракта (8-элементный) и гексадекахорон (16-элементный) - Модели 13, 16, 17 , Георгий Ольшевский.
- Клитцинг, Ричард. «Четырехмерные однородные многогранники (полихоры)» . o3o3o4o - tat, o3x3x4o - tah, x3x3o4o - thex
Внешние ссылки
- Бумажная модель усеченного тессеракта, созданная с помощью сетей, созданных программой Stella4D
Семья | А п | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Правильный многоугольник | Треугольник | Квадратный | п-угольник | Шестиугольник | Пентагон | |||||||
Равномерный многогранник | Тетраэдр | Октаэдр • Куб | Демикуб | Додекаэдр • Икосаэдр | ||||||||
Равномерный 4-многогранник | 5-элементный | 16 ячеек • Тессеракт | Demitesseract | 24-элементный | 120 ячеек • 600 ячеек | |||||||
Равномерный 5-многогранник | 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-куб. | 5-полукуб | |||||||||
Равномерный 6-многогранник | 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-куб. | 6-полукуб | 1 22 • 2 21 | ||||||||
Равномерный 7-многогранник | 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-куб | 7-полукруглый | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Равномерный 8-многогранник | 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-куб | 8-полукруглый | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
Равномерный 9-многогранник | 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-куб | 9-полукруглый | |||||||||
Равномерный 10-многогранник | 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-куб | 10-полукуб | |||||||||
Равномерное n - многогранник | n - симплекс | n - ортоплекс • n - куб | n - demicube | 1 к2 • 2 к1 • к 21 | n - пятиугольный многогранник | |||||||
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений |