В математике , Борель-де - теория Siebenthal описывает замкнутые связные подгруппы в компактной группы Ли , которые имеют максимальный ранг , т.е. содержать максимальный тор . Она названа в честь Швейцарского математиков Борель и Жан де Зибенталя , который разработал теорию в 1949 г. Каждая такая подгруппа является единичная компонента из центратора его центра. Их можно описать рекурсивно в терминах связанной с ними корневой системы группы. Подгруппы, для которых соответствующее однородное пространство имеет инвариантную комплексную структуру, соответствуют параболическим подгруппам вкомплексификация компактной группы Ли, редуктивной алгебраической группы .
Связные подгруппы максимального ранга
Пусть G будет связная компактная группа Ли с максимальным тором Т . Хопфа показал , что централизатор тора S ⊆ T является связной замкнутой подгруппой , содержащей Т , так что, максимального ранга . В самом деле, если x принадлежит C G ( S ), существует максимальный тор, содержащий как S, так и x, и он содержится в C G ( S ). [1]
Борель и де Зибенталь доказали, что связные замкнутые подгруппы максимального ранга являются в точности компонентами единицы централизаторов своих центров. [2]
Их результат основан на факте из теории представлений. Веса неприводимого представления связной компактной полупростой группы K с старшим весом можно легко описать (без их кратности): они именно насыщение под группой Вейля из доминантных весов , полученной путем вычитания от суммы простых корней из λ. В частности, если неприводимое представление тривиально в центре K (конечной абелевой группе), 0 - вес. [3]
Чтобы доказать характеристику борелевеких и де Зибенталя, пусть Н замкнутая связная подгруппа в G , содержащая Т с центром Z . Компонента единицы L из C G (Z) содержит H . Если бы это было строго больше, ограничение присоединенного представления L до H будет тривиально на Z . Любое неприводимое слагаемое, ортогональна алгебре Ли H , обеспечит отличные от нуля веса нуль векторов для Т / Z ⊆ H / Z , что противоречит максимальности тора T / Z в L / Z . [4]
Максимальные связные подгруппы максимального ранга
Борель и де Зибенталь классифицировали максимальные замкнутые связные подгруппы максимального ранга связной компактной группы Ли.
К этому случаю сводится общая классификация связных замкнутых подгрупп максимального ранга, поскольку любая связная подгруппа максимального ранга содержится в конечной цепочке таких подгрупп, каждая из которых максимальна в следующей. Максимальные подгруппы - это компоненты идентичности любого элемента своего центра, не принадлежащего центру всей группы.
Задачу определения максимальных связных подгрупп максимального ранга можно далее свести к случаю, когда компактная группа Ли проста. Фактически алгебра Лисвязной компактной группы Ли G распадается как прямая сумма идеалов
где это центр и другие факторы просты. Если T - максимальный тор, его алгебра Ли имеет соответствующее расщепление
где является максимальным абелевым в . Если H - замкнутая связка группы G, содержащая T с алгеброй Ли, усложнение является прямой суммой комплексификации и ряд одномерных весовых пространств, каждое из которых заключается в комплексификации фактора . Таким образом, если
тогда
Если H максимальна, все, кроме одногосовпадает с а оставшийся - максимальный и максимального ранга. Для этого фактора замкнутая связная подгруппа соответствующей односвязной простой компактной группы Ли максимальна и имеет максимальный ранг. [5]
Пусть G связная односвязная компактная простая группа Ли с максимальным тором Т . Позволять- алгебра Ли группы G ичто из T . Пусть Δ - соответствующая система корней . Выберем набор положительных корней и соответствующие простые корни α 1 , ..., α n . Пусть α 0 старший корень в и писать
с m i ≥ 1. (Количество m i, равное 1, равно | Z | - 1, где Z - центр G. )
Вейль ниша определяется
Эли Картан показал, что это фундаментальная область для аффинной группы Вейля . Если G 1 = G / Z и T 1 = T / Z , то экспоненциальное отображение изв G 1 переводит 2π A на T 1 .
Альков Вейля A представляет собой симплекс с вершинами в
где α i ( X j ) = δ ij .
Основной результат Бореля и де Зибенталя состоит в следующем.
• C G 1 ( X i ) для m i = 1
Структура соответствующей подгруппы H 1 может быть описана в обоих случаях. Во втором случае она полупроста с системой простых корней, полученной заменой α i на −α 0 . В первом случае это прямое произведение группы окружностей, порожденной X i, и полупростой компактной группы с системой простых корней, полученной опусканием α i .
Этот результат можно перефразировать в терминах расширенной диаграммы Дынкина изкоторый добавляет дополнительный узел для наивысшего корня, а также метки m i . Максимальные подалгебрымаксимального ранга не являются полупростыми или полупростыми. Неполупростые получаются удалением двух узлов из расширенной диаграммы с коэффициентом один. Соответствующая диаграмма без надписей дает полупростую часть диаграммы Дынкина., а другая часть является одномерным фактором. Диаграммы Дынкина для полупростых получаются удалением одного узла с простым коэффициентом. Это приводит к следующим возможностям:
- A n : A p × A n - p - 1 × T (не полупростой)
- B n : D n или B p × D n - p (полупростой), B n - 1 × T (неполупростой)
- C n : C p × C n - p (SS), A n - 1 × T (NSS)
- D n : D p × D n - p (SS), D n - 1 × T , A n-1 × T (NSS)
- E 6 : A 1 × A 5 , A 2 × A 2 × A 2 (SS), D 5 × T (NSS)
- E 7 : A 1 × D 6 , A 2 × A 5 , A 7 (SS), E 6 × T (NSS)
- E 8 : D 8 , A 8 , A 4 × A 4 , E 6 × A 2 , E 7 × A 1 (SS)
- F 4 : B 4 , A 2 × A 2 , A 1 × C 3 (SS)
- G 2 : A 2 , A 1 × A 1 (SS)
Все соответствующие однородные пространства симметричны, поскольку подалгебра является алгеброй неподвижных точек внутреннего автоморфизма периода 2, за исключением G 2 / A 2 , F 4 / A 2 × A 2 , E 6 / A 2 × A 2 × A 2 , Е 7 / A 2 × A 5 , и все х 8 , кроме Й пространств 8 / D , 8 и х 8 / Е 7 × A 1 . Во всех этих исключительных случаях подалгебра является алгеброй неподвижных точек внутреннего автоморфизма периода 3, за исключением E 8 / A 4 × A 4, где автоморфизм имеет период 5.
Чтобы доказать теорему, заметим , что Н 1 является компонента единицы централизатора элемента ехр Т с Т в 2л А . Стабилизаторы увеличиваются при переходе от подсимплекса к ребру или вершине, поэтому T либо лежит на ребре, либо является вершиной. Если он лежит на ребре, то это ребро соединяет 0 с вершиной v i с m i = 1, что является первым случаем. Если T - вершина v i и m i имеет нетривиальный множитель m , то mT имеет больший стабилизатор, чем T , что противоречит максимальности. Так м я должен быть простым. Максимальность может быть проверена непосредственно, используя тот факт, что промежуточная подгруппа K имела бы такую же форму, так что ее центр был бы либо (a) T, либо (b) элементом простого порядка. Если центром H 1 является ' T , каждый простой корень с простым числом m i уже является корнем K , поэтому (b) невозможно; и если выполняется (a), α i - единственный корень, который можно опустить при m j = 1, поэтому K = H 1 . Если центр H 1 имеет простой порядок, α j является корнем K при m j = 1, так что (a) невозможно; если выполняется (b), то единственный возможный опущенный простой корень - это α i , так что K = H 1 . [6]
Замкнутые подсистемы корней
Подмножество Δ 1 ⊂ Δ называется замкнутой подсистемой, если всякий раз, когда α и β лежат в Δ 1, а α + β в Δ, то α + β лежит в Δ 1 . Две подсистемы А 1 и Δ 2 , называются эквивалентны , если σ (Δ 1 ) = Δ 2 для некоторого а в группе W = N G ( T ) / T , в группе Вейля . Таким образом, для закрытой подсистемы
является подалгеброй содержащий ; и наоборот, любая такая подалгебра порождает замкнутую подсистему. Борель и де Зибенталь классифицировали максимальные замкнутые подсистемы с точностью до эквивалентности. [7]
Этот результат является следствием теоремы Бореля – де Зибенталя для максимальных связных подгрупп максимального ранга. Это также можно доказать непосредственно в рамках теории корневых систем и групп отражений. [8]
Приложения к симметрическим пространствам компактного типа
Пусть G - связная компактная полупростая группа Ли, σ - автоморфизм группы G периода 2 и G σ - подгруппа неподвижных точек группы σ. Пусть K - замкнутая подгруппа группы G, лежащая между G σ и ее единицей . Компактное однородное пространство G / K называется симметрическим пространством компактного типа . Алгебра Ли допускает разложение
где , алгебра Ли K , является +1 собственным подпространством σ исобственное подпространство –1. Если не содержит простого слагаемого , пара (, Σ) называется ортогональной симметричной алгеброй Ли из компактного типа . [9]
Любой внутренний продукт на , инвариантная относительно присоединенного представления и σ, индуцирует риманову структуру на G / K , причем G действует изометриями. Под таким внутренним продуктом а также ортогональны. Тогда G / K - риманово симметрическое пространство компактного типа. [10]
Симметричное пространство или пара (, σ) называется неприводимым, если присоединенное действие(или, что то же самое, компонента единицы G σ или K ) неприводима на. Это эквивалентно максимальностикак подалгебра. [11]
На самом деле между промежуточными подалгебрами существует однозначное соответствие и K -инвариантные подпространства из дано
Любая ортогональная симметрическая алгебра (, σ) можно разложить как (ортогональную) прямую сумму неприводимых ортогональных симметрических алгебр. [12]
По факту можно записать в виде прямой суммы простых алгебр
которые переставляются автоморфизмом σ. Если σ выходит из алгебры инвариантен, его разложение собственного подпространства совпадает с его пересечениями с а также . Таким образом, ограничение σ нанеприводимо. Если σ меняет местами два простых слагаемых, соответствующая пара изоморфна диагональному включению K в K × K , причем K simple, поэтому она также неприводима. Инволюция σ просто меняет местами два множителя σ ( x , y ) = ( y , x ).
Это разложение ортогональной симметрической алгебры дает разложение прямого произведения соответствующего компактного симметрического пространства G / K, когда G односвязна. В этом случае подгруппа неподвижных точек G σ автоматически становится связной (это уже неверно, даже для внутренних инволюций, если G не односвязна). [13] Для односвязной G , симметричное пространство G / K является прямым произведением двух видов симметричных пространств G я / К я или Н × Н / Н . Неодносвязное симметрическое пространство компактного типа возникает как факторпространство односвязного пространства G / K по конечным абелевым группам. Фактически, если
позволять
и пусть Δ i - подгруппа в Γ i, фиксированная всеми автоморфизмами группы G i, сохраняющими K i (т. е. автоморфизмами ортогональной симметрической алгебры Ли). потом
конечная абелева группа , свободно действующая на G / K . Неодносвязные симметрические пространства возникают как фактор-группы по подгруппам в Δ. Подгруппу можно отождествить с фундаментальной группой , которая, таким образом, является конечной абелевой группой. [14]
Классификация компактных симметрических пространств или пар (, σ) сводится к случаю, когда G - связная простая компактная группа Ли. Есть две возможности: либо автоморфизм σ является внутренним, и в этом случае K имеет максимальный ранг и применима теория Бореля и де Зибенталя; или автоморфизм σ внешний, так что, поскольку σ сохраняет максимальный тор, ранг K меньше ранга G и σ соответствует автоморфизму диаграммы Дынкина по модулю внутренних автоморфизмов. Вольф (2010) непосредственно определяет все возможные σ в последнем случае: они соответствуют симметрическим пространствам SU ( n ) / SO ( n ), SO ( a + b ) / SO ( a ) × SO ( b ) ( a и b нечетный), E 6 / F 4 и E 6 / C 4 . [15]
Виктор Кац заметил, что все автоморфизмы конечного порядка простой алгебры Ли могут быть определены с помощью соответствующей аффинной алгебры Ли : этой классификации, которая приводит к альтернативному методу классификации пар (, σ) описан в работе Helgason (1978) .
Приложения к эрмитовым симметрическим пространствам компактного типа
Случай равного ранга с непростым K в точности соответствует эрмитовым симметрическим пространствам G / K компактного типа.
Фактически симметрическое пространство имеет почти комплексную структуру, сохраняющую риманову метрику тогда и только тогда, когда существует линейное отображение J с J 2 = - I накоторая сохраняет скалярное произведение и коммутирует с действием K . В этом случае J лежит ви ехр Jt образует группу однопараметрической в центре K . Это следует потому, что если A , B , C , D лежат в, то по инвариантности скалярного произведения на [16]
Заменяя A и B на JA и JB , следует, что
Определим линейное отображение δ на расширив J до 0 на. Последнее соотношение показывает, что δ является производным от. С полупросто, δ должно быть внутренним дифференцированием, так что
с Т ви А в. Принимая X в, то A = 0 и T лежит в центреа значит, K не полупрост. [17]
Если, с другой стороны, G / K неприводима с неполупростой K , компактная группа G должна быть простой и K максимального ранга. Из теоремы Бореля и де Зибенталя, инволюция σ является внутренним и K -централизатор тора S . Отсюда следует , что G / K односвязно и существует параболическая подгруппа Р в комплексификацией G C из G такие , что G / K = G С / Р . В частности, на G / K существует комплексная структура, и действие G голоморфно.
В общем случае любое компактное эрмитово симметрическое пространство односвязно и может быть записано как прямое произведение неприводимых эрмитовых симметрических пространств G i / K i с G i simple. Неприводимые - это в точности описанные выше неполупростые случаи. [18]
Заметки
- ^ Хелгасон 1978
- ^ Волк 2010
- ^ См .:
- Волк 2010
- Бурбаки 1981
- Хамфрис 1997
- Duistermaat & Kolk 2000
- ^ Волк 2010
- ^ Вольф , стр. 276
- ^ См .:
- Волк 2010
- Кейн 2001
- Перейти ↑ Kane 2001 , pp. 135–136
- ^ Кейн 2007
- ^ Волк 2010
- ^ См .:
- Хелгасон 1978
- Волк 2010
- ^ См .:
- Волк 2010
- Хелгасон 1978 , стр. 378
- ^ См .:
- Helgason 1978 , стр. 378–379.
- Волк 2010
- ^ Helgason 1978 , стр. 320-321
- ^ См .:
- Вольф, 2010 , стр. 244, 263–264.
- Хелгасон 1978 , стр. 326
- ^ Волк 2010
- ^ Kobayashi & Номидз 1996 , стр. 149-150
- ^ Kobayashi & Номидз 1996 , стр. 261-262
- ^ Волк 2010
Рекомендации
- Borel, A .; De Siebenthal, J. (1949), "Les су-Groupes FERMES де звенел максимум де Groupes де Клоса Ли" , Commentarii Mathematici Helvetici , 23 : 200-221, DOI : 10.1007 / bf02565599 , S2CID 120101481
- Borel, Armand (1952), Les espaces hermitiens symétriques, Exposé No. 62 , Séminaire Bourbaki, 2 , архивировано из оригинала 04.03.2016 , получено 14.03.2013
- Бурбаки, Н. (1981), Groupes et algèbres de Lie (Chapitres 4,5 и 6) , Éléments de Mathématique, Masson, ISBN 978-3-540-34490-2
- Бурбаки, Н. (1982), Groupes et algèbres de Lie (Chapitre 9) , Éléments de Mathématique, Masson, ISBN 978-3-540-34392-9
- Duistermaat, JJ; Колк, А. (2000), Группы Ли , Universitext, Springer, ISBN 978-3-540-15293-4
- Хелгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Academic Press, ISBN 978-0-8218-2848-9
- Хамфрис, Джеймс Э. (1981), линейные алгебраические группы , выпускные тексты по математике, 21 , Springer, ISBN 978-0-387-90108-4
- Хамфрис, Джеймс Э. (1997), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Тексты для выпускников по математике, 9 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3-540-90053-5
- Кейн, Ричард (2001), Группы отражений и теория инвариантов , Springer, ISBN 978-0-387-98979-2
- Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , 2 , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-15732-8
- Малле, Гюнтер ; Тестерман, Донна (2011), Линейные алгебраические группы и конечные группы лицевого типа , Кембриджские исследования в области высшей математики, 133 , Cambridge University Press, ISBN 978-1-139-49953-8
- Вольф, Джозеф А. (2010), Пространства постоянной кривизны , AMS Chelsea Publishing (6-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-5282-8