Предположим, что случайная величина имеет равномерное распределение на единичной сфере. Каково его условное распределение по большому кругу ? Из-за симметрии сферы можно было ожидать, что распределение будет равномерным и не зависит от выбора координат. Однако два анализа дают противоречивые результаты. Во-первых, обратите внимание, что выбор точки равномерно на сфере эквивалентен выбору долготы равномерно от и выбирая широту из с плотностью . [1] Затем мы можем взглянуть на два разных больших круга:
Если координаты выбраны так, что большой круг является экватором (широта) условная плотность по долготе определенный на интервале является
Если большой круг - это линия долготы с, условная плотность для на интервале является
Одно распределение равномерно по кругу, другое - нет. И все же оба, кажется, относятся к одному и тому же большому кругу в разных системах координат.
Между специалистами по теории вероятностей ведется множество совершенно бесполезных споров о том, какой из этих результатов является «правильным».
В случае (1) выше условную вероятность того, что долгота λ лежит в множестве E, при условии, что φ = 0, можно записать как P ( λ ∈ E | φ = 0). Элементарная теория вероятностей предполагает, что это можно вычислить как P ( λ ∈ E и φ = 0) / P ( φ = 0), но это выражение не является четко определенным, поскольку P ( φ = 0) = 0. Теория меры предоставляет способ для определения условной вероятности, используя семейство событий R ab = {φ : a < φ < b }, которые представляют собой горизонтальные кольца, состоящие из всех точек с широтой между a и b .
Разрешение парадокса состоит в том, чтобы заметить, что в случае (2) P ( φ ∈ F | λ = 0) определяется с помощью событий L ab = { λ : a < λ < b }, которые являются лунками (вертикальными клиньями) , состоящий из всех точек, долгота которых варьируется от a до b . Итак, хотя P ( λ ∈ E | φ = 0) и P ( φ ∈ F | λ= 0), каждый из них обеспечивает распределение вероятностей на большом круге, один из них определяется с помощью колец, а другой - с помощью лунок. Поэтому неудивительно, что P ( λ ∈ E | φ = 0) и P ( φ ∈ F | λ = 0) имеют разные распределения.
Понятие условной вероятности применительно к изолированной гипотезе, вероятность которой равна 0, недопустимо. Поскольку мы можем получить распределение вероятностей для [широты] на меридиональном круге, только если мы будем рассматривать этот круг как элемент разложения всей сферической поверхности на меридиональные окружности с заданными полюсами.
… Термин «большой круг» неоднозначен, пока мы не укажем, какая ограничивающая операция должна его произвести. Аргумент интуитивной симметрии предполагает экваториальный предел; однако один, поедающий дольки апельсина, может предполагать другого.
Чтобы понять проблему, нам нужно признать, что распределение на непрерывной случайной величине описывается плотностью f только относительно некоторой меры μ . Оба важны для полного описания распределения вероятностей. Или, что то же самое, нам нужно полностью определить пространство, в котором мы хотим определить f .
Обозначим через Φ и Λ две случайные величины, принимающие значения в Ω 1 =соответственно Ω 2 = [- π , π ]. Событие {Φ = φ , Λ = λ } дает точку на сфере S ( r ) радиуса r . Определим преобразование координат
Кроме того, если фиксировать φ или λ , мы получаем элементы объема
Позволять
обозначим совместную меру на , имеющий плотность относительно и разреши
Если предположить, что плотность равномерно, то
Следовательно, имеет равномерную плотность относительно но не относительно меры Лебега. С другой стороны, имеет равномерную плотность относительно и мера Лебега.
Доказательство противоречия
Рассмотрим случайный вектор который равномерно распределен на единичной сфере .
Обратите внимание, что и являются независимыми случайными величинами.
Для простоты мы не будем вычислять полное условное распределение на большом круге, только вероятность того, что случайный вектор лежит в первом октанте. То есть мы попытаемся вычислить условную вероятность с
Мы пытаемся оценить условную вероятность как предел обусловленности событий.
В виде и независимы, как и события и , следовательно
Теперь повторяем процесс с другой параметризацией сферы:
Джейнс, ET (2003). «15.7 Парадокс Бореля-Колмогорова». Теория вероятностей: логика науки . Издательство Кембриджского университета. С. 467–470. ISBN 0-521-59271-2. Руководство по ремонту 1992316 .
Фрагментарное издание (1994 г.) (стр. 1514–1517). Архивировано 30 сентября 2018 г. на Wayback Machine ( формат PostScript ).
Колмогоров, Андрей (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (на немецком языке). Берлин: Юлиус Спрингер.
Перевод: Колмогоров Андрей (1956). "Глава V, §2. Объяснение парадокса Бореля" . Основы теории вероятностей (2-е изд.). Нью-Йорк: Челси. С. 50–51. ISBN 0-8284-0023-7. Архивировано из оригинала на 2018-09-14 . Проверено 12 марта 2009 .
Поллард, Дэвид (2002). «Глава 5. Кондиционирование, Пример 17.». Руководство пользователя по измерению теоретической вероятности . Издательство Кембриджского университета. С. 122–123. ISBN 0-521-00289-3. Руководство по ремонту 1873379 .
Мосегаард К. и Тарантола А. (2002). 16 Вероятностный подход к обратным задачам. Международная геофизика, 81, 237–265.