Амплитуда вероятности

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Амплитуда вероятности»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Волновая функция для одного электрона на 5d атомной орбитали из атома водорода . На твердом теле показаны места, где плотность вероятности электрона превышает определенное значение (здесь 0,02 нм ⁻³ ): это рассчитывается по амплитуде вероятности. Цветовой тон на цветную поверхности показывает сложную фазу волновой функции.

В квантовой механике , A амплитуда вероятности представляет собой комплексное число , используемое в описании поведения систем. Модуль квадрат этой величины представляет собой плотность вероятности .

Амплитуды вероятности обеспечивают связь между волновой функцией (или, в более общем смысле, вектором квантового состояния ) системы и результатами наблюдений за этой системой, связь, впервые предложенная Максом Борном в 1926 году. Интерпретация значений волны функция как амплитуда вероятности является столпом копенгагенской интерпретации квантовой механики. Фактически, свойства пространства волновых функций использовались для физических предсказаний (например, излучения атомов с определенными дискретными энергиями) до того, как была предложена какая-либо физическая интерпретация конкретной функции. Борну была присуждена половина Нобелевской премии по физике 1954 года.для этого понимания, и рассчитанная таким образом вероятность иногда называется «вероятностью рождения». Эти вероятностные концепции, а именно плотность вероятности и квантовые измерения , в то время яростно оспаривались физиками, работавшими над теорией, такими как Шредингер и Эйнштейн . Это источник загадочных последствий и философских трудностей в интерпретациях квантовой механики - темах, которые продолжают обсуждаться даже сегодня.

Обзор [ править ]

Физический [ править ]

Если пренебречь некоторыми техническими сложностями, проблема квантового измерения - это поведение квантового состояния, для которого значение наблюдаемой Q, которое необходимо измерить, является неопределенным . Такое состояние считается когерентной суперпозицией собственных состояний наблюдаемого, состояний , на которых однозначно определяется значение наблюдаемого для различных возможных значений наблюдаемого.

Когда выполняется измерение Q , система (согласно копенгагенской интерпретации ) переходит к одному из собственных состояний , возвращая собственное значение, принадлежащее этому собственному состоянию. Система всегда может быть описана линейной комбинацией или суперпозицией этих собственных состояний с неравными «весами».. Интуитивно ясно, что собственные состояния с более тяжелыми «весами» с большей «вероятностью» будут созданы. В самом деле, в какое из вышеперечисленных собственных состояний переходит система, определяется вероятностным законом: вероятность перехода системы в это состояние пропорциональна абсолютному значению квадрата соответствующего числового веса. Эти числовые веса называются амплитудами вероятностей, и это соотношение, используемое для вычисления вероятностей из заданных чистых квантовых состояний (таких как волновые функции), называется правилом Борна .

Ясно, что сумма вероятностей, равная сумме абсолютных квадратов амплитуд вероятностей, должна равняться 1. Это требование нормировки (см. Ниже) .

Если известно, что система находится в некотором собственном состоянии Q (например, после наблюдения соответствующего собственного значения Q ), вероятность наблюдения этого собственного значения становится равной 1 (определенно) для всех последующих измерений Q (при условии, что нет других важных силы действуют между измерениями). Другими словами, амплитуды вероятности равны нулю для всех других собственных состояний и останутся равными нулю для будущих измерений. Если набор собственных состояний, к которым система может перейти при измерении Q, совпадает с набором собственных состояний для измерения R , то последующие измерения Q или Rвсегда дают одни и те же значения с вероятностью 1, независимо от порядка, в котором они применяются. Ни одно из измерений не влияет на амплитуды вероятности, и говорят, что наблюдаемые коммутируют .

В противоположность этому , если собственные состояния Q и R различны, то измерение R производит переход в состояние, которое не является собственным Q . Следовательно, если известно, что система находится в некотором собственном состоянии Q (все амплитуды вероятности равны нулю, за исключением одного собственного состояния), то при наблюдении R амплитуды вероятности изменяются. Второе, последующее наблюдение Q больше не обязательно дает собственное значение, соответствующее начальному состоянию. Другими словами, амплитуды вероятности для второго измерения Q зависят от того, происходит ли оно до или после измерения R , а две наблюдаемыене ездить на работу .

Математический [ править ]

В формальной установке любая система в квантовой механике описывается состоянием, которое представляет собой вектор | Ψ⟩ , находящийся в абстрактном комплексном векторном пространстве, называемом гильбертовым пространством . Это может быть либо бесконечномерным или конечно- мерная . Обычное представление этого гильбертова пространства - это специальное функциональное пространство , называемое L 2 ( X ) , на некотором множестве X , которое является либо некоторым конфигурационным пространством, либо дискретным множеством.

Для измеримой функции условие указывает, что должен применяться конечно ограниченный интеграл:${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ psi \ in L ^ {2} (X)}$

${\ Displaystyle \ int \ limits _ {X} | \ psi (x) | ^ {2} \, \ mathrm {d} \ mu (x) <\ infty;}$

этот интеграл определяет квадрат нормы в ф . Если эта норма равна 1 , то

${\ displaystyle \ int \ limits _ {X} | \ psi (x) | ^ {2} \, \ mathrm {d} \ mu (x) = 1.}$

Фактически это означает, что любой элемент L ² ( X ) нормы 1 определяет вероятностную меру на X и неотрицательное вещественное выражение | ψ ( x ) | ² определяет ее производную Радона – Никодима по стандартной мере µ .

Если стандартная мера μ на X является неатомическое , такие как мера Лебега на прямой или на трехмерном пространстве , или аналогичные меры на многообразиях , то вещественная функция | ψ ( x ) | ² называется плотностью вероятности ; подробности см . ниже . Если стандартная мера на X состоит только из атомов (мы будем называть такие множества X дискретными ) и определяет меру любого x ∈X равно 1 , ^[1], то интеграл по X - это просто сумма ^[2] и | ψ ( x ) | ² определяет значение вероятностной меры на множестве { x }, другими словами, вероятность того, что квантовая система находится в состоянии x . Как амплитуды и вектор связаны может быть понято со стандартным базисом из L ² ( X ) , элементы которого будут обозначать | х ⟩ или ⟨х | (обозначенияугловых скобоксм.в скобках). В этой основе

${\ Displaystyle \ psi (x) = \ langle x | \ psi \ rangle}$

задает координатное представление абстрактного вектора | Ψ⟩ .

Математически, многие L ² презентации системы гильбертова пространства может существовать. Мы будем рассматривать не произвольные один, но удобный один для наблюдаемой Q в вопросе. Удобное конфигурационное пространство X таково , что каждая точка х производит некоторую уникальную величину Q . Для дискретного X это означает , что все элементы стандартного базиса являются собственными векторами из Q . Другими словами, Q должна быть диагональной в этом базисе. Тогда это «амплитуда вероятности» для собственных состояний ⟨ х |${\ Displaystyle \ psi (х)}$. Если он соответствует невырожденному собственному значению Q , то дает вероятность соответствующего значения Q для начального состояния | Ψ⟩ .${\ Displaystyle | \ psi (х) | ^ {2}}$

Для недискретной X не может быть таких состояний , как ⟨ х | в L ² ( X ) , но разложение в некотором смысле возможно; см. спектральную теорию и спектральную теорему для точного объяснения.

Волновые функции и вероятности [ править ]

Если конфигурационное пространство X непрерывно (что-то вроде действительной линии или евклидова пространства, см. Выше ), то нет действительных квантовых состояний, соответствующих конкретному x ∈ X , и вероятность того, что система находится «в состоянии x », всегда будет быть нулевым . Архитипичный пример этого может служить L ² ( R ) пространство , построенным с 1-мерной мерой Лебега ; он используется для изучения движения в одном измерении . Это представление бесконечномерного гильбертова пространства соответствует спектральному разложениюоператор координаты : ⟨ х  | Q  |  Ψ⟩ = х ⋅ ⟨ х  | Ψ⟩ , x ∈ R в этом примере. Хотя нет таких векторов , как ⟨ х  | , Строго говоря, выражение ⟨ х  | Ψ⟩ можно сделать осмысленным, например, с помощью спектральной теории.

Как правило, это тот случай, когда движение частицы описывается в пространстве позиций , где соответствующая функция амплитуды вероятности ψ является волновой функцией .

Если функция ψ ∈ L ² ( X ), ‖ ψ ‖ = 1 представляет вектор квантового состояния | Ψ⟩ , то действительное выражение | ψ ( x ) | ² , который зависит от x , образует функцию плотности вероятности данного состояния. Отличие функции плотности от простой числовой вероятности означает, что нужно интегрировать эту функцию квадрата модуля по некоторым (небольшим) областям в X, чтобы получить значения вероятности - как было указано выше, система не может находиться в каком-либо состоянии xс положительной вероятностью. Это дает как амплитуде, так и функции плотности физическое измерение , в отличие от безразмерной вероятности. Например, для трехмерной волновой функции амплитуда имеет размер [L ^−3/2 ], где L - длина.

Обратите внимание, что как для непрерывных, так и для бесконечных дискретных случаев не каждая измеримая или даже гладкая функция (то есть возможная волновая функция) определяет элемент L ² ( X ) ; см. Нормализация ниже.

Дискретные амплитуды [ править ]

Когда множество Х является дискретным (см выше ), векторы | Ψ⟩ представлены с гильбертовом пространстве L ² ( X ) являются только векторы - столбцы , составленные из «амплитуд» и индексированные с помощью X . Их иногда называют волновых функций дискретной переменной х ∈ Х . Дискретные динамические переменные используются в таких задачах, как частица в идеализированном отражающем ящике и квантовый гармонический осциллятор . Компоненты вектора обозначим ψ ( x )для единообразия с предыдущим случаем; может быть как конечное, так и бесконечное число компонентов в зависимости от гильбертова пространства. В этом случае, если вектор | Ψ⟩ имеет норму 1, то | ψ ( x ) | ² - это просто вероятность того, что квантовая система находится в состоянии x . Она определяет дискретное распределение вероятностей на X .

| ψ ( x ) | = 1 тогда и только тогда, когда | х ⟩ это то же самое квантовое состояние , как | Ψ⟩ . ψ ( x ) = 0 тогда и только тогда, когда | х ⟩ и | Ψ⟩ ортогональны (см внутреннего пространства продукта ). В противном случае модуль ψ ( x ) находится между 0 и 1.

Дискретная амплитуда вероятности может рассматриваться как основная частота ^{[ необходима цитата ]} в области вероятности частоты ( сферические гармоники ) в целях упрощения вычислений преобразования M-теории .

Примеры [ править ]

Возьмем простейший содержательный пример дискретного случая: квантовой системы , которая может находиться в двух состояниях : к примеру, поляризацию в виде фотона . Когда измеряется поляризация, это может быть горизонтальное или вертикальное состояние . Пока его поляризация не будет измерена, фотон может находиться в суперпозиции обоих этих состояний, поэтому его состояние можно записать как:${\ displaystyle | H \ rangle}$${\ displaystyle | V \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |H\rangle +\beta |V\rangle }$

Амплитуды вероятностей для состояний и равны и соответственно. Когда измеряется поляризация фотона, результирующее состояние бывает либо горизонтальным, либо вертикальным. Но в случайном эксперименте вероятность горизонтальной поляризации равна , а вероятность вертикальной поляризации равна .${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |H\rangle }$${\displaystyle |V\rangle }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle |\alpha |^{2}}$${\displaystyle |\beta |^{2}}$

Поэтому, например, фотон в состоянии будет иметь вероятность выйти с горизонтальной поляризацией, и вероятность того , чтобы выйти вертикальную поляризацию , когда ансамбль измерений сделаны. Однако порядок таких результатов совершенно случайный.${\displaystyle |\psi \rangle ={\sqrt {\frac {1}{3}}}|H\rangle -i{\sqrt {\frac {2}{3}}}|V\rangle }$${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$

Нормализация [ править ]

В приведенном выше примере измерение должно давать | H  ⟩ или | В  ⟩ , поэтому полная вероятность измерения | H  ⟩ или | В  ⟩ должно быть 1. Это приводит к ограничению , что α ² + β ² = 1 ; в более общем случае сумма квадратов модулей амплитуд вероятностей всех возможных состояний равна единице . Если понимать «все возможные состояния» как ортонормированный базис , что имеет смысл в дискретном случае, то это условие совпадает с условием нормы-1, объясненным выше..

Всегда можно разделить любой ненулевой элемент гильбертова пространства на его норму и получить нормированный вектор состояния. Не каждая волновая функция принадлежит гильбертова пространства L ² ( X ) , хотя. Волновые функции, удовлетворяющие этому ограничению, называются нормализуемыми .

Волновое уравнение Шредингера , описывающее состояние квантовых частиц, имеет решение , которые описывают систему и точно определить , как состояние меняется со временем . Предположим, что волновая функция ψ ₀ ( x ,  t ) является решением волнового уравнения, дающим описание частицы (положение x для времени t ). Если волновая функция интегрируема с квадратом , т. Е.

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}|\psi _{0}(\mathbf {x} ,t_{0})|^{2}\,\mathrm {d\mathbf {x} } =a^{2}<\infty }$

для некоторого t ₀ , то ψ = ψ ₀ / a называется нормированной волновой функцией . Согласно стандартной копенгагенской интерпретации , нормализованная волновая функция дает амплитуды вероятности для положения частицы. Следовательно, в данный момент времени Т ₀ , р ( х ) = | ψ ( x ,  t ₀ ) | ² - функция плотности вероятности положения частицы. Таким образом, вероятность того, что частица находится в объеме V в момент времени t₀ это

${\displaystyle \mathbf {P} (V)=\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\,\mathrm {d\mathbf {x} } =\int _{V}|\psi (\mathbf {x} ,t_{0})|^{2}\,\mathrm {d\mathbf {x} } .}$

Обратите внимание, что если любое решение ψ ₀ волнового уравнения нормализуется в некоторый момент времени t ₀ , то определенное выше ψ всегда нормируется, так что

${\displaystyle \rho _{t}(\mathbf {x} )=\left|\psi (\mathbf {x} ,t)\right|^{2}=\left|{\frac {\psi _{0}(\mathbf {x} ,t)}{a}}\right|^{2}}$

всегда является функцией плотности вероятности для всех t . Это является ключом к пониманию важности этой интерпретации, потому что для заданного постоянной частицы массы , начальная ф ( х , 0) и потенциал , то уравнение Шредингера полностью определяет последующие волновое и выше , то дает вероятность местоположения частицы во все последующие разы.

Законы расчета вероятностей событий [ править ]

. Если система развивается естественным образом (что в копенгагенской интерпретации означает, что система не подлежит измерению), применяются следующие законы:

1. Вероятность (или плотность вероятности в положении / импульсном пространстве) о событии , чтобы произойти квадрат абсолютного значения амплитуды вероятности для события: .${\displaystyle P=|\phi |^{2}}$
2. Если существует несколько взаимоисключающих , неразличимых альтернатив, в которых может произойти событие (или, в реалистичных интерпретациях волновой функции, существует несколько волновых функций для пространственно-временного события), амплитуды вероятностей всех этих возможностей складываются, чтобы дать амплитуду вероятности для этого события. событие: .${\displaystyle \phi =\sum _{i}\phi _{i};P=|\phi |^{2}=\left|\sum _{i}\phi _{i}\right|^{2}}$
3. Если по какой - либо альтернативе, существует последовательность суб-события, то амплитуда вероятности для этого варианта является продуктом амплитуды вероятности для каждого суб-событий: .${\displaystyle \phi _{APB}=\phi _{AP}\phi _{PB}}$
4. Non-перепутанные состояния составной квантовой системы имеют амплитуды равны произведению амплитуд состояний составляющих систем: . Дополнительную информацию см. В разделе # Композитные системы .${\displaystyle \phi _{\rm {system}}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots )=\phi _{1}(\alpha )\phi _{2}(\beta )\phi _{3}(\gamma )\phi _{4}(\delta )\ldots }$

Закон 2 аналогичен закону сложения вероятностей , только вероятность заменяется амплитудой вероятности. Точно так же Закон 4 аналогичен закону умножения вероятностей для независимых событий; обратите внимание, что это не работает для запутанных состояний .

B . Когда эксперимент проводится , чтобы решить между несколькими альтернативами, одни и те же законы справедливы и для соответствующих вероятностей: .${\displaystyle P=\sum _{i}|\phi _{i}|^{2}}$

При условии, что известны амплитуды вероятностей событий, связанных с экспериментом, приведенные выше законы обеспечивают полное описание квантовых систем с точки зрения вероятностей.

Вышеупомянутые законы уступают место формулировке интеграла по траекториям квантовой механики в формализме, разработанном знаменитым физиком-теоретиком Ричардом Фейнманом . Этот подход к квантовой механике образует ступеньку к подходу интеграла по путям в квантовой теории поля .

В контексте эксперимента с двумя щелями [ править ]

Амплитуды вероятностей имеют особое значение, потому что они действуют в квантовой механике как эквивалент обычных вероятностей со многими аналогичными законами, как описано выше. Например, в классическом эксперименте с двумя щелями электроны запускаются случайным образом в две щели, и ставится под сомнение распределение вероятности обнаружения электронов во всех частях большого экрана, помещенного за щелями. Интуитивно понятный ответ состоит в том, что P (через любую щель) = P (через первую щель) + P (через вторую щель) , где P (событие)вероятность этого события. Это очевидно, если предположить, что электрон проходит через любую щель. Когда у природы нет способа различить, через какую щель прошел электрон (гораздо более жесткое условие, чем просто «это не наблюдается»), наблюдаемое распределение вероятностей на экране отражает интерференционную картину, которая является общей для световых волн. Если предположить, что вышеупомянутый закон верен, то эту закономерность невозможно объяснить. Нельзя сказать, что частицы проходят через какую-либо щель, и простое объяснение не работает. Однако правильное объяснение заключается в связи амплитуд вероятности с каждым событием. Это пример случая А, описанного в предыдущей статье. Комплексные амплитуды, которые представляют электрон, проходящий через каждую щель ( ψ_первое и ψ _второе ) следуют закону точно ожидаемой формы: ψ _total = ψ _first + ψ _second . Это принцип квантовой суперпозиции . Вероятность, которая представляет собой квадрат модуля амплитуды вероятности, соответствует интерференционной картине при условии, что амплитуды являются комплексными:

${\displaystyle P=|\psi _{\rm {first}}+\psi _{\rm {second}}|^{2}=|\psi _{\rm {first}}|^{2}+|\psi _{\rm {second}}|^{2}+2|\psi _{\rm {first}}||\psi _{\rm {second}}|\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2}).}$

Здесь и являются аргументы из ф _первой и ψ _второй соответственно. Чисто реальная формулировка имеет слишком мало измерений, чтобы описать состояние системы с учетом суперпозиции. То есть без аргументов амплитуд мы не можем описать фазозависимую интерференцию. Ключевой термин называется «интерференционный член», и его бы не было, если бы мы сложили вероятности.${\displaystyle \varphi _{1}}$${\displaystyle \varphi _{2}}$${\displaystyle 2|\psi _{\rm {first}}||\psi _{\rm {second}}|\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}$

Однако можно выбрать эксперимент, в котором экспериментатор наблюдает, через какую щель проходит каждый электрон. Тогда применяется случай B из вышеприведенной статьи, и интерференционная картина на экране не наблюдается.

Можно пойти дальше в разработке эксперимента, в котором экспериментатор избавляется от этой информации «какой путь» с помощью «квантового ластика» . Затем, согласно копенгагенской интерпретации , снова применяется случай A и восстанавливается картина интерференции. ^[3]

Сохранение вероятностей и уравнение неразрывности [ править ]

Интуитивно понятно, поскольку нормализованная волновая функция остается нормализованной во время эволюции в соответствии с волновым уравнением, будет существовать связь между изменением плотности вероятности положения частицы и изменением амплитуды в этих положениях.

Определим вероятностный ток (или поток) j как

${\displaystyle \mathbf {j} ={\hbar \over m}{1 \over {2i}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)={\hbar \over m}\operatorname {Im} \left(\psi ^{*}\nabla \psi \right),}$

измеряется в единицах (вероятность) / (площадь × время).

Тогда ток удовлетворяет уравнению

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \over \partial t}|\psi |^{2}=0.}$

Плотность вероятности состоит в том , что это уравнение является в точности уравнением неразрывности , возникающим во многих ситуациях в физике, где нам нужно описать локальное сохранение величин. Лучший пример - классическая электродинамика, где j соответствует плотности тока, соответствующей электрическому заряду, а плотность - это плотность заряда. Соответствующее уравнение неразрывности описывает локальное сохранение зарядов . ^{[ требуется разъяснение ]}${\displaystyle \rho =|\psi |^{2}}$

Композитные системы [ править ]

Для двух квантовых систем с пространствами L ² ( Х ₁ ) и L ² ( Х ₂ ) и заданных состояний | Ψ ₁ ⟩ и | Ψ ₂ ⟩ соответственно, их комбинированное состояние | Ψ ₁ ⟩  ⊗  | Ψ ₂ ⟩ может быть выражена как ф ₁ ( x ₁ )  ψ ₂ ( x ₂ ) функция на X ₁  ×  X ₂ , которая дает произведение соответствующих вероятностных мер . Другими словами, амплитуды незапутанного составного состояния являются продуктами исходных амплитуд, и соответствующие наблюдаемые в системах 1 и 2 ведут себя в этих состояниях как независимые случайные величины . Это усиливает вероятностную интерпретацию, изложенную выше .

Амплитуды в операторах [ править ]

Описанная выше концепция амплитуд актуальна для векторов квантовых состояний. Он также используется в контексте унитарных операторов , которые важны в теории рассеяния , особенно в форме S-матриц . В то время как модули квадратов компонентов вектора для данного вектора дают фиксированное распределение вероятностей, модули квадратов матричных элементов интерпретируются как переходные вероятности, как и в случайном процессе. Как конечномерный единичный вектор задает конечное распределение вероятностей, конечномерная унитарная матрицазадает вероятности перехода между конечным числом состояний. Обратите внимание, что столбцы унитарной матрицы, как векторы, имеют норму 1.

«Переходная» интерпретация может быть применена к L ² s и на недискретных пространствах.

См. Также [ править ]

• Бесплатная частица
• Конечный потенциальный барьер
• Волна материи
• Принцип неопределенности
• Амплитуда вероятности Уорда
• Волновой пакет
• Формулировка фазового пространства

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

• Фейнман, Р.П .; Лейтон, РБ; Сэндс, М. (1989). «Вероятностные амплитуды» . Лекции Фейнмана по физике . Том 3. Редвуд-Сити: Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-51005-7. |volume= has extra text (help)
• Гаддер, Стэнли П. (1988). Квантовая вероятность . Сан-Диего: Academic Press. ISBN 0-12-305340-4.