Лемма Бернсайда , иногда также называемая теоремой Бернсайда о подсчете , леммой Коши – Фробениуса , теоремой о подсчете орбит или леммой, не принадлежащей Бернсайду , является результатом теории групп, который часто бывает полезен при учете симметрии при подсчете математических объектов. Его различные эпонимы основаны на произведениях Уильяма Бернсайда , Джорджа Полиа , Огюстена Луи Коши и Фердинанда Георга Фробениуса . Результат не из-за самого Бернсайда, который просто цитирует его в своей книге «О теории групп конечного порядка», вместо этого приписывая это Фробениусу (1887).. [1]
Далее, пусть G является конечной группой , которая действует на множестве X . Для каждого g в G пусть X g обозначает множество элементов в X , которые фиксированы посредством g (также называемые левоинвариантными через g ), т. Е. X g = { x ∈ X | г . х = х }. Лемма Бернсайда утверждает следующую формулу для числа орбит , обозначенную | X / G |: [2]
Таким образом, количество орбит ( натуральное число или + ∞ ) равно среднему количеству точек, зафиксированных элементом G (который также является натуральным числом или бесконечностью). Если G бесконечна, деление на | G | не может быть четко определен; в этом случае имеет место следующее утверждение кардинальной арифметики :
Пример приложения
Число вращательно различных раскраски граней куба с использованием трех цветов можно определить по этой формуле следующим образом.
Пусть X будет набором из 3 6 возможных комбинаций цветов граней, которые могут быть применены к кубу в одной конкретной ориентации, и пусть группа вращения G куба действует на X естественным образом. Тогда два элемента X принадлежат одной и той же орбите именно тогда, когда один является просто вращением другого. Количество вращательно различных окрасок, таким образом , так же , как число орбит и может быть найдено путем подсчета размеров фиксированных наборов для 24 элементов G .
- один элемент идентичности, который оставляет все 3-6 элементов X без изменений
- шесть поворотов лица на 90 градусов, каждый из которых оставляет 3 3 элемента X без изменений
- три 180-градусное лицо вращения, каждый из которых оставляет 3 4 из элементов X неизмененном
- восемь вращений вершин на 120 градусов, при каждом из которых 3 2 элемента X остаются неизменными
- шесть поворотов краев на 180 градусов, каждый из которых оставляет 3 3 элемента X без изменений
Подробное рассмотрение этих автоморфизмов можно найти здесь .
Таким образом, средний размер исправления
Следовательно, существует 57 раскраски граней куба в три цвета с разными поворотами. В общем, количество вращательно различных раскраски граней куба в n цветов определяется выражением
Доказательство
Первым шагом в доказательстве леммы является перевыражение суммы по элементам группы g ∈ G в эквивалентную сумму по множеству элементов x ∈ X :
(Здесь X g = { x ∈ X | gx = x } - это подмножество всех точек X, фиксированных посредством g ∈ G , тогда как G x = { g ∈ G | gx = x } - подгруппа стабилизатора группы G, фиксирующая точка x ∈ X. )
Теорема о стабилизаторе орбиты утверждает, что существует естественная биекция для каждого x ∈ X между орбитой x , Gx = { gx | g ∈ G } ⊆ X и множество левых смежных классов G / G x его стабилизирующей подгруппы G x . Согласно теореме Лагранжа это влечет
Поэтому нашу сумму по множеству X можно переписать в виде
Наконец, обратите внимание, что X - это несвязное объединение всех своих орбит в X / G , что означает, что сумма по X может быть разбита на отдельные суммы по каждой отдельной орбите.
Собирая все вместе, мы получаем желаемый результат:
Это доказательство, по сути, также является доказательством формулы уравнения класса , просто считая действие G на себя ( X = G ) сопряжением, g . х = GXG -1 , и в этом случае G х инстанцирует централизатору х в G .
История: лемма, не принадлежащая Бернсайду.
Уильям Бернсайд сформулировал и доказал эту лемму, приписав ее Фробениусу 1887 года , в своей книге 1897 года о конечных группах. Но даже до Фробениуса эта формула была известна Коши в 1845 году. Фактически, лемма была, очевидно, настолько хорошо известна, что Бернсайд просто не стал приписывать ее Коши. Следовательно, эту лемму иногда называют леммой, отличной от леммы Бернсайда [3] (см. Также закон эпонимии Стиглера ). Это менее двусмысленно, чем может показаться: Бернсайд внес много лемм в эту область. [ необходима цитата ]
Смотрите также
Заметки
- ^ Бернсайд 1897 , §119
- ↑ Ротман, 1995 , Глава 3
- Перейти ↑ Neumann 1979
Рекомендации
- Бернсайд, Уильям (1897) Теория групп конечного порядка , Cambridge University Press , Project Gutenberg и здесь, на Archive.org . (Это первое издание; введение ко второму изданию содержит знаменитый поворот лица Бернсайда относительно полезности теории представлений .)
- Фробениус, Фердинанд Георг (1887), «Ueber die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul», журнал Crelle , 101 (4): 273–299, doi : 10.3931 / e-rara-18804.
- Нойман, Питер М. (1979), «Лемма, не принадлежащая Бернсайду», The Mathematical Scientist , 4 (2): 133–141, ISSN 0312-3685 , MR 0562002.
- Ротман, Джозеф (1995), Введение в теорию групп , Springer-Verlag, ISBN 0-387-94285-8.
- Ченг, Юанью Ф. (1986), Обобщение леммы Бернсайда на кратно транзитивные группы , журнал Технологического университета Хубэй, ISSN 1003-4684.