Поверхность флага на ветру - пример деформирующего коллектора.
Исчисление подвижных поверхностей ( CMS ) [1] является продолжением классического тензорного исчисления к деформирующему многообразию . Центральным элементом CMS является тензорная производная времени , первоначальное определение которой [2] было предложено Жаком Адамаром . Он играет роль, аналогичную ковариантной производной на дифференциальных многообразиях, в том смысле, что она дает тензор при применении к тензору.
Жак Саломон Адамар, французский математик, 1865–1963 гг.
Предположим, что это эволюция поверхности, индексированная параметром времени . Определения скорости поверхности и оператора являются геометрическими основами CMS. Скорость C - это скорость деформации поверхности в мгновенном нормальном направлении. Значение в точке определяется как предел
где - точка , лежащая на прямой, перпендикулярной точке P. Это определение проиллюстрировано на первом геометрическом рисунке ниже. Скорость - это величина со знаком: она положительна, когда указывает в направлении выбранной нормали, и отрицательна в противном случае. Связь между и аналогична соотношению между местоположением и скоростью в элементарном исчислении: знание одной из величин позволяет одному построить другое путем дифференцирования или интегрирования .
Геометрическое построение поверхностной скорости C
Геометрическое построение -производной инвариантного поля F
Производная тензорного времени для скалярного поля F, определенная на, представляет собой скорость изменения в мгновенно нормальном направлении:
Это определение также проиллюстрировано на втором геометрическом рисунке.
Приведенные выше определения являются геометрическими . В аналитических условиях прямое применение этих определений может оказаться невозможным. CMS дает аналитические определения языка C в терминах элементарных операций исчисления и дифференциальной геометрии .
Аналитические определения [ править ]
Для аналитических определений и рассмотрим эволюцию дается
где общие координаты криволинейных пространств и координата поверхности. По соглашению тензорные индексы аргументов функции опускаются. Таким образом, приведенные выше уравнения содержат, а не . Объект скорости определяется как частная производная
Скорость может быть вычислена наиболее непосредственно по формуле
где - ковариантные компоненты вектора нормали .
Кроме того, определяя представление тензора сдвига касательного пространства поверхности и касательной скорости как , тогда определение производной для инварианта F читается как
где - ковариантная производная на S.
Для тензоров необходимо соответствующее обобщение. Правильное определение репрезентативного тензора гласит
где - символы Кристоффеля, а - соответствующие временные символы поверхности ( является матричным представлением оператора формы кривизны поверхности)
Свойства -производной [ править ]
В -производном коммутируют с сокращением, удовлетворяет правило продукта для любого набора индексов
и подчиняется цепному правилу для поверхностных ограничений пространственных тензоров:
Цепное правило показывает, что -производные пространственной «метрики» равны нулю.
где и - ковариантные и контравариантные метрические тензоры , - символ Кронекера , и - символы Леви-Чивиты . Основная статья о символах Леви-Чивита описывает их для декартовой систем координат . Предыдущее правило действует в общих координатах, где определение символов Леви-Чивиты должно включать квадратный корень из определителя ковариантного метрического тензора .
Таблица дифференциации для -производной [ править ]
Производная ключевой поверхности объекты приводит к весьма кратким и привлекательным формулам. Применительно к ковариантному метрическому тензору поверхности и контравариантному метрическому тензору получаем следующие тождества
где и - дважды ковариантный и дважды контравариантный тензоры кривизны . Эти тензоры кривизны, как и для смешанного тензора кривизны , удовлетворяют
Тензор сдвига и нормаль удовлетворяют
Наконец, поверхностные символы Леви-Чивиты и удовлетворяют
Дифференцирование интегралов по времени [ править ]
CMS предоставляет правила для временного дифференцирования объемных и поверхностных интегралов .
Ссылки [ править ]
- ^ Гринфельд, П. (2010). «Гамильтоновы динамические уравнения для жидких пленок». Исследования по прикладной математике. DOI : 10.1111 / j.1467-9590.2010.00485.x . ISSN 0022-2526 .
- ^ Дж. Адамар, Leçons Sur La Propagation Des Ondes Et Les Équations de l'Hydrodynamique. Париж: Герман, 1903.