Расчет движущихся поверхностей

Поверхность флага на ветру - пример деформирующего коллектора.

Исчисление подвижных поверхностей ( CMS ) ^[1] является продолжением классического тензорного исчисления к деформирующему многообразию . Центральным элементом CMS является тензорная производная времени , первоначальное определение которой ^[2] было предложено Жаком Адамаром . Он играет роль, аналогичную ковариантной производной на дифференциальных многообразиях, в том смысле, что она дает тензор при применении к тензору. ${\dot {\nabla }}$ $\nabla _{\alpha }$

Жак Саломон Адамар, французский математик, 1865–1963 гг.

Предположим, что это эволюция поверхности, индексированная параметром времени . Определения скорости поверхности и оператора являются геометрическими основами CMS. Скорость C - это скорость деформации поверхности в мгновенном нормальном направлении. Значение в точке определяется как предел $\Sigma _{t}$ $\Sigma$ $t$ $C$ ${\dot {\nabla }}$ $\Sigma$ $C$ $P$

C=\lim _{h\to 0}{\frac {{\text{Distance}}(P,P^{*})}{h}}

где - точка , лежащая на прямой, перпендикулярной точке P. Это определение проиллюстрировано на первом геометрическом рисунке ниже. Скорость - это величина со знаком: она положительна, когда указывает в направлении выбранной нормали, и отрицательна в противном случае. Связь между и аналогична соотношению между местоположением и скоростью в элементарном исчислении: знание одной из величин позволяет одному построить другое путем дифференцирования или интегрирования . $P^{*}$ $\Sigma _{t+h}$ $\Sigma _{t}$ $C$ ${\overline {PP^{*}}}$ $\Sigma _{t}$ $C$

Геометрическое построение поверхностной скорости C

Геометрическое построение -производной инвариантного поля F

\delta /\delta t

Производная тензорного времени для скалярного поля F, определенная на, представляет собой скорость изменения в мгновенно нормальном направлении: ${\dot {\nabla }}$ $\Sigma _{t}$ $F$

{\frac {\delta F}{\delta t}}=\lim _{h\to 0}{\frac {F(P^{*})-F(P)}{h}}

Это определение также проиллюстрировано на втором геометрическом рисунке.

Приведенные выше определения являются геометрическими . В аналитических условиях прямое применение этих определений может оказаться невозможным. CMS дает аналитические определения языка C в терминах элементарных операций исчисления и дифференциальной геометрии . ${\dot {\nabla }}$

Аналитические определения [ править ]

Для аналитических определений и рассмотрим эволюцию дается $C$ ${\dot {\nabla }}$ $S$

Z^{i}=Z^{i}\left(t,S\right)

где общие координаты криволинейных пространств и координата поверхности. По соглашению тензорные индексы аргументов функции опускаются. Таким образом, приведенные выше уравнения содержат, а не . Объект скорости определяется как частная производная $Z^{i}$ $S^{\alpha }$ $S$ $S^{\alpha }$ ${\textbf {V}}=V^{i}{\textbf {Z}}_{i}$

V^{i}={\frac {\partial Z^{i}\left(t,S\right)}{\partial t}}

Скорость может быть вычислена наиболее непосредственно по формуле $C$

C=V^{i}N_{i}

где - ковариантные компоненты вектора нормали . $N_{i}$ ${\vec {N}}$

Кроме того, определяя представление тензора сдвига касательного пространства поверхности и касательной скорости как , тогда определение производной для инварианта F читается как $Z_{i}^{\alpha }={\textbf {S}}^{\alpha }\cdot {\textbf {Z}}_{i}$ $V^{\alpha }=Z_{i}^{\alpha }V^{i}$ ${\dot {\nabla }}$

{\dot {\nabla }}F={\frac {\partial F\left(t,S\right)}{\partial t}}-V^{\alpha }\nabla _{\alpha }F

где - ковариантная производная на S. $\nabla _{\alpha }$

Для тензоров необходимо соответствующее обобщение. Правильное определение репрезентативного тензора гласит $T_{j\beta }^{i\alpha }$

{\dot {\nabla }}T_{j\beta }^{i\alpha }={\frac {\partial T_{j\beta }^{i\alpha }}{\partial t}}-V^{\eta }\nabla _{\eta }T_{j\beta }^{i\alpha }+V^{m}\Gamma _{mk}^{i}T_{j\beta }^{k\alpha }-V^{m}\Gamma _{mj}^{k}T_{k\beta }^{i\alpha }+{\dot {\Gamma }}_{\eta }^{\alpha }T_{j\beta }^{i\eta }-{\dot {\Gamma }}_{\beta }^{\eta }T_{j\eta }^{i\alpha }

где - символы Кристоффеля, а - соответствующие временные символы поверхности ( является матричным представлением оператора формы кривизны поверхности) $\Gamma _{mj}^{k}$ ${\dot {\Gamma }}_{\beta }^{\alpha }=\nabla _{\beta }V^{\alpha }-CB_{\beta }^{\alpha }$ $B_{\beta }^{\alpha }$

Свойства -производной ${\dot {\nabla }}$ [ править ]

В -производном коммутируют с сокращением, удовлетворяет правило продукта для любого набора индексов ${\dot {\nabla }}$

{\dot {\nabla }}(S_{\alpha }^{i}T_{j}^{\beta })=T_{j}^{\beta }{\dot {\nabla }}S_{\alpha }^{i}+S_{\alpha }^{i}{\dot {\nabla }}T_{j}^{\beta }

и подчиняется цепному правилу для поверхностных ограничений пространственных тензоров:

{\dot {\nabla }}F_{k}^{j}(Z,t)={\frac {\partial F_{k}^{j}}{\partial t}}+CN^{i}\nabla _{i}F_{k}^{j}

Цепное правило показывает, что -производные пространственной «метрики» равны нулю. ${\dot {\nabla }}$

{\dot {\nabla }}\delta _{j}^{i}=0,{\dot {\nabla }}Z_{ij}=0,{\dot {\nabla }}Z^{ij}=0,{\dot {\nabla }}\varepsilon _{ijk}=0,{\dot {\nabla }}\varepsilon ^{ijk}=0

где и - ковариантные и контравариантные метрические тензоры , - символ Кронекера , и - символы Леви-Чивиты . Основная статья о символах Леви-Чивита описывает их для декартовой систем координат . Предыдущее правило действует в общих координатах, где определение символов Леви-Чивиты должно включать квадратный корень из определителя ковариантного метрического тензора . $Z_{ij}$ $Z^{ij}$ $\delta _{j}^{i}$ $\varepsilon _{ijk}$ $\varepsilon ^{ijk}$ $Z_{ij}$

Таблица дифференциации для -производной ${\dot {\nabla }}$ [ править ]

Производная ключевой поверхности объекты приводит к весьма кратким и привлекательным формулам. Применительно к ковариантному метрическому тензору поверхности и контравариантному метрическому тензору получаем следующие тождества ${\dot {\nabla }}$ $S_{\alpha \beta }$ $S^{\alpha \beta }$

{\begin{aligned}{\dot {\nabla }}S_{\alpha \beta }&=0\\[8pt]{\dot {\nabla }}S^{\alpha \beta }&=0\end{aligned}}

где и - дважды ковариантный и дважды контравариантный тензоры кривизны . Эти тензоры кривизны, как и для смешанного тензора кривизны , удовлетворяют $B_{\alpha \beta }$ $B^{\alpha \beta }$ $B_{\beta }^{\alpha }$

{\begin{aligned}{\dot {\nabla }}B_{\alpha \beta }&=\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }C+CB_{\alpha \gamma }B_{\beta }^{\gamma }\\[8pt]{\dot {\nabla }}B_{\beta }^{\alpha }&=\nabla _{\beta }\nabla ^{\alpha }C+CB_{\gamma }^{\alpha }B_{\beta }^{\gamma }\\[8pt]{\dot {\nabla }}B^{\alpha \beta }&=\nabla ^{\alpha }\nabla ^{\beta }C+CB^{\gamma \alpha }B_{\gamma }^{\beta }\end{aligned}}

Тензор сдвига и нормаль удовлетворяют $Z_{\alpha }^{i}$ $N^{i}$

{\begin{aligned}{\dot {\nabla }}Z_{\alpha }^{i}&=N^{i}\nabla _{\alpha }C\\[8pt]{\dot {\nabla }}N^{i}&=-Z_{\alpha }^{i}\nabla ^{\alpha }C\end{aligned}}

Наконец, поверхностные символы Леви-Чивиты и удовлетворяют $\varepsilon _{\alpha \beta }$ $\varepsilon ^{\alpha \beta }$

{\begin{aligned}{\dot {\nabla }}\varepsilon _{\alpha \beta }&=0\\[8pt]{\dot {\nabla }}\varepsilon ^{\alpha \beta }&=0\end{aligned}}

Дифференцирование интегралов по времени [ править ]

CMS предоставляет правила для временного дифференцирования объемных и поверхностных интегралов .

Ссылки [ править ]

^ Гринфельд, П. (2010). «Гамильтоновы динамические уравнения для жидких пленок». Исследования по прикладной математике. DOI : 10.1111 / j.1467-9590.2010.00485.x . ISSN 0022-2526 .
^ Дж. Адамар, Leçons Sur La Propagation Des Ondes Et Les Équations de l'Hydrodynamique. Париж: Герман, 1903.

[1] Гринфельд, П. (2010). «Гамильтоновы динамические уравнения для жидких пленок». Исследования по прикладной математике. DOI : 10.1111 / j.1467-9590.2010.00485.x . ISSN 0022-2526 .

[2] Дж. Адамар, Leçons Sur La Propagation Des Ondes Et Les Équations de l'Hydrodynamique. Париж: Герман, 1903.

[1]