 | В этой статье не процитировать какие - либо источники . ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) |
В математике , то категория Ord имеет предупорядоченные наборы в качестве объектов и функций , сохраняющего порядка как морфизмы . Это категория, потому что композиция двух функций, сохраняющих порядок, сохраняет порядок, а карта идентичности сохраняет порядок.
В мономорфизмах в Ord являются инъективными функциями с сохранением порядка.
Пустое множество (рассматриваются как предупорядоченном набор) является исходным объектом из Ord , и терминальные объекты являются именно одноэлементным предупорядоченным множества. Таким образом, в Орде нет нулевых объектов .
Категориальный продукт в Ord задается порядком продукта в декартовом продукте .
У нас есть забывчивый функтор Ord → Set, который присваивает каждому предварительно упорядоченному набору базовый набор , а каждой сохраняющей порядок функции - базовую функцию . Этот функтор точен , поэтому Ord - конкретная категория . У этого функтора есть левый сопряженный (отправляющий каждое множество в это множество, снабженное отношением равенства) и правый сопряженный (отправляющий каждое множество в этот набор, снабженный полным отношением).
Структура из 2 категорий [ править ]
Набор морфизмов (функций, сохраняющих порядок) между двумя предварительными порядками на самом деле имеет большую структуру, чем набор. Его можно превратить в заранее упорядоченный набор с помощью поточечного отношения:
- ( f ≤ g ) ⇔ (∀ x f ( x ) ≤ g ( x ))
Этот набор может предупорядоченный в своей очереди , можно рассматривать как категорию, что делает Ord 2-категория (дополнительные аксиомы 2-категории тривиальными провести , потому что любое уравнение параллельных морфизмов верно в posetal категории ).
В этой структуре с двумя категориями псевдофунктор F из категории C в Ord задается теми же данными, что и 2-функтор, но имеет ослабленные свойства:
- ∀ x ∈ F ( A ), F ( id A ) ( x ) ≃ x ,
- ∀ x ∈ F ( A ), F ( g ∘ f ) ( x ) ≃ F ( g ) (F ( f ) ( x )),
где x ≃ y означает x ≤ y и y ≤ x .
См. Также [ править ]
