Линия (геометрия)
В геометрии понятие линии или прямой линии было введено древними математиками для представления прямых объектов (т. е. не имеющих кривизны ) с незначительной шириной и глубиной. Линии представляют собой идеализацию таких объектов, которые часто описываются двумя точками (например, ) или обозначаются одной буквой (например, ). [1]
До XVII века линии определялись как «[...] первый вид количества, который имеет только одно измерение, а именно длину, без какой-либо ширины и глубины, и является не чем иным, как течением или бегом точки, которая [ ...] оставит от своего воображаемого движения некоторый остаток в длину, исключающий любую ширину. [...] Прямая линия - это то, что одинаково протяженно между ее точками ». [2]
Евклид описал линию как «длину без ширины», которая «равно лежит по отношению к точкам на себе»; он ввел несколько постулатов в качестве основных недоказуемых свойств, из которых он построил всю геометрию, которая теперь называется евклидовой геометрией , чтобы избежать путаницы с другими геометриями, введенными с конца XIX века (такими как неевклидова , проективная и аффинная геометрия ). ).
В современной математике, учитывая множество геометрий, понятие линии тесно связано со способом описания геометрии. Например, в аналитической геометрии линия на плоскости часто определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному линейному уравнению , но в более абстрактных условиях, таких как геометрия инцидентности , линия может быть независимым объектом, отличным от множество точек, лежащих на нем.
Когда геометрия описывается набором аксиом , понятие линии обычно остается неопределенным (так называемый примитивный объект). Тогда свойства линий определяются аксиомами, которые к ним относятся. Одним из преимуществ этого подхода является гибкость, которую он дает пользователям геометрии. Таким образом, в дифференциальной геометрии линия может быть интерпретирована как геодезическая (кратчайший путь между точками), а в некоторых проективных геометриях линия представляет собой двумерное векторное пространство (все линейные комбинации двух независимых векторов). Эта гибкость также выходит за рамки математики и, например, позволяет физикам думать о пути светового луча как о линии.
Все определения в конечном счете носят циклический характер, поскольку они зависят от понятий, которые сами должны иметь определения, зависимость, которая не может продолжаться бесконечно, не возвращаясь к исходной точке. Чтобы избежать этого порочного круга, некоторые понятия должны быть приняты за примитивные понятия; термины, которым не дано определение. [3] В геометрии часто бывает так, что понятие линии принимается за примитив. [4] В тех ситуациях, когда линия является определенным понятием, как в координатной геометрии , в качестве примитивов принимаются некоторые другие фундаментальные идеи. Когда понятие линии является примитивным, поведение и свойства линий диктуются аксиомамикоторым они должны удовлетворять.
