Для многих парамагнитных материалов намагниченность материала прямо пропорциональна приложенному магнитному полю при достаточно высоких температурах и малых полях. Однако, если материал нагревается, эта пропорциональность уменьшается. При фиксированном значении поля магнитная восприимчивость обратно пропорциональна температуре, т. Е.
где
- - (объемная) магнитная восприимчивость,
- - величина результирующей намагниченности ( А / м ),
- - величина приложенного магнитного поля (А / м),
- - абсолютная температура ( К ),
- - постоянная Кюри для конкретного материала (K).
Эта связь была экспериментально обнаружена (путем подгонки результатов к правильно угаданной модели) Пьером Кюри . Это справедливо только для высоких температур и слабых магнитных полей. Как показывают приведенные ниже выводы, намагниченность насыщается в противоположном пределе низких температур и сильных полей. Если константа Кюри равна нулю, доминируют другие магнитные эффекты, такие как диамагнетизм Ланжевена или парамагнетизм Ван Флека .
Вывод с помощью квантовой механики
Простая модель о наличии парамагнетиков концентратов на частицах, составляющих его , которые не взаимодействуют друг с другом. Каждая частица имеет магнитный момент, равный. Энергии из магнитного момента в магнитном поле задается
где - плотность магнитного поля, измеряемая в теслах (Тл).
Частицы с двумя состояниями (спин 1/2)
Чтобы упростить расчет , мы будем работать с частицей с двумя состояниями : она может либо выровнять свой магнитный момент с магнитным полем, либо против него. Таким образом, единственно возможные значения магнитного момента: а также . Если да, то такая частица имеет только две возможные энергии
а также
Когда кто-то ищет намагничивание парамагнетика, его интересует вероятность того, что частица выровняется с полем. Другими словами, ищется математическое ожидание намагниченности.:
где вероятность конфигурации дается ее множителем Больцмана , а статистическая сумма обеспечивает необходимую нормализацию вероятностей (так, чтобы их сумма была равна единице). Статистическая сумма одной частицы равна
Следовательно, в этом простом случае имеем
Это намагниченность одной частицы, полная намагниченность твердого тела определяется выражением
где n - плотность магнитных моментов. Приведенная выше формула известна как парамагнитное уравнение Ланжевена . Пьер Кюри нашел приближение к этому закону , применимое к относительно высоким температурам и слабым магнитным полям, используемым в его экспериментах . Давайте посмотрим, что произойдет с намагниченностью, когда мы специализируемся на больших и маленький . По мере увеличения температуры и уменьшения магнитного поля аргумент гиперболического тангенса уменьшается. Другой способ сказать это
Иногда это называют режимом Кюри . Мы также знаем, что если, тогда
поэтому намагниченность мала, и мы можем написать , и поэтому
и, что более важно, магнитная восприимчивость, определяемая
дает
с постоянной Кюри, задаваемой, в кельвинах (K). [1]
В режиме низких температур или высоких полей, стремится к максимальному значению , что соответствует тому, что все частицы полностью выровнены по полю. Поскольку этот расчет не описывает электроны, глубоко погруженные в поверхность Ферми , которым по принципу исключения Паули запрещается переворачивать свои спины, он не иллюстрирует квантовую статистику проблемы при низких температурах. Используя распределение Ферми – Дирака , можно найти, что при низких температурах линейно зависит от магнитного поля, так что магнитная восприимчивость достигает постоянного значения.
Общий случай
Когда частицы имеют произвольный спин (любое количество спиновых состояний), формула немного сложнее. В низких магнитных полях или высокой температуре спин следует закону Кюри, с [2]
где - квантовое число полного углового момента , а- g- фактор спина (такой, что - магнитный момент).
Для этой более общей формулы и ее вывода (включая сильное поле и низкую температуру) см. Статью Функция Бриллюэна . Когда спин приближается к бесконечности, формула намагниченности приближается к классическому значению, полученному в следующем разделе.
Вывод с помощью классической статистической механики
Альтернативный подход применяется, когда парамагнетоны представляют собой классические свободно вращающиеся магнитные моменты. В этом случае их положение будет определяться их углами в сферических координатах , а энергия для одного из них будет:
где - угол между магнитным моментом и магнитным полем (которое мы считаем указывающим в координаты.) Соответствующая статистическая сумма равна
Мы видим, что нет зависимости от угол, а также мы можем изменить переменные на чтобы получить
Теперь ожидаемое значение компонент намагниченности (два других видны равными нулю (из-за интегрирования по ), как и должно быть) будут даны
Чтобы упростить расчет, мы видим, что это можно записать как дифференцирование :
(Этот подход также можно использовать для модели выше, но расчет был настолько простым, что не так полезен.)
Выполняя вывод, находим
где это функция Ланжевена :
Эта функция могла бы казаться особенной для небольших , но это не так, поскольку два единичных члена компенсируют друг друга. Фактически, его поведение для небольших аргументов таково., поэтому предел Кюри также применяется, но с константой Кюри в этом случае в три раза меньше. Аналогично функция насыщается при для больших значений его аргумента, и обратный предел аналогичным образом восстанавливается.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Коуи, JMD; Коуи, JMD (25 марта 2010 г.). Магнетизм и магнитные материалы . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-81614-4.
- ^ Киттель, Чарльз (11 ноября 2004 г.). Введение в физику твердого тела (8-е изд.). Вайли. С. 304 . ISBN 0-471-41526-X.