Циклоида

Циклоида, образованная катящимся кругом

В геометрии , A циклоиды является кривой прослежена точкой на окружности , как она катится вдоль прямой линии без скольжения. Циклоида - это особая форма трохоиды и пример рулетки , кривой, образованной кривой, перекатывающейся по другой кривой.

Циклоида с острыми вершинами, направленными вверх, представляет собой кривую самого быстрого спуска при постоянной силе тяжести ( кривая брахистохрона ). Это также форма кривой, для которой период объекта в простом гармоническом движении (повторяющемся скатывании вверх и вниз) по кривой не зависит от исходного положения объекта ( таутохронная кривая ).

История [ править ]

Именно в левом горшке Пекода, когда мыльный камень старательно кружил вокруг меня, я впервые косвенно поразился тому замечательному факту, что в геометрии все тела, скользящие по циклоиде, например, мой мыльный камень, будут спускаться с него. любой момент в одно и то же время.

Моби Дик , Герман Мелвилл , 1851 г.

Циклоиду называли « Еленой геометров», так как она вызвала частые ссоры среди математиков 17-го века. ^[1]

Историки математики предложили несколько кандидатов в первооткрыватели циклоиды. Историк-математик Пол Таннери привел аналогичную работу сирийского философа Ямвлиха как доказательство того, что кривая была известна в древности. ^[2] Английский математик Джон Уоллис в 1679 году приписал это открытие Николаю Кузанскому , ^[3] но последующие исследования показывают, что либо Уоллис ошибался, либо доказательства, которые он использовал, теперь утеряны. ^[4] Имя Галилео Галилея было выдвинуто в конце 19 века ^[5], и, по крайней мере, один автор сообщает о том, что в нем упоминается Марин Мерсенн .^[6] Начиная с работой Moritz Кантора ^[7] и Зигмунд Гюнтер ,^[8] ученыенастоящее время правопреемником приоритет Французский математик Чарльз Де Бовеллс ^[9]^[10]^[11] на основе его описания циклоиды в его Введения в geometriam , опубликованной в 1503 году.^[12] В этой работе Бовеллес ошибочно принимает арку, начерченную вращающимся колесом, как часть большего круга с радиусом на 120% больше, чем меньшее колесо. ^[4]

Галилей ввел термин « циклоида» и первым провел серьезное исследование кривой. ^[4] Согласно его ученику Евангелисте Торричелли , ^[13] в 1599 году Галилей попытался построить квадратуру циклоиды (определение площади под циклоидой) с необычно эмпирическим подходом, который включал отслеживание как образующей окружности, так и результирующей циклоиды на листовом металле. вырезать их и взвесить. Он обнаружил, что это соотношение составляет примерно 3: 1, но ошибочно пришел к выводу, что это иррациональная дробь, что сделало бы квадратурное невозможным. ^[6] Примерно в 1628 году Жиль Персон де Роберваль, вероятно, узнал о квадратурной задаче изПер Марин Мерсенн и произвел квадратуру в 1634 году, используя теорему Кавальери . ^[4] Однако эта работа не была опубликована до 1693 года (в его Traité des Indivisibles ). ^[14]

Построение касательной к циклоиде датируется августом 1638 года, когда Мерсенн получил уникальные методы от Роберваля, Пьера де Ферма и Рене Декарта . Мерсенн передал эти результаты Галилею, который передал их своим ученикам Торричелли и Вивиане, которые смогли построить квадратуру. Этот и другие результаты были опубликованы Торричелли в 1644 г. ^[13], что также является первой печатной работой о циклоиде. Это привело к тому, что Роберваль обвинил Торричелли в плагиате, а полемика была прервана ранней смертью Торричелли в 1647 году ^[14].

В 1658 году Блез Паскаль отказался от математики в пользу теологии, но, страдая от зубной боли, начал рассматривать несколько проблем, касающихся циклоиды. Его зубная боль исчезла, и он воспринял это как небесный знак, чтобы продолжить свои исследования. Через восемь дней он закончил свое эссе и, чтобы обнародовать результаты, предложил конкурс. Паскаль предложил три вопроса, касающихся центра тяжести , площади и объема циклоиды, и победитель или победители получат призы в размере 20 и 40 испанских дублонов . Паскаль, Роберваль и сенатор Каркави были судьями, и ни одно из двух представлений ( Джона Уоллиса и Антуана де Лалувера ) не было сочтено адекватным. ^[15]^{: 198} Пока продолжалось соревнование, Кристофер Рен послал Паскалю предложение о доказательстве исправления циклоиды; Роберваль сразу же заявил, что он знал о доказательствах в течение многих лет. Уоллис опубликовал доказательство Рена (заимствование Рена) в « Трактус Дуо» Уоллиса , отдав Рен приоритет первому опубликованному доказательству. ^[14]

Пятнадцать лет спустя Христиан Гюйгенс применил циклоидальный маятник для улучшения хронометров и обнаружил, что частица может пересекать сегмент перевернутой циклоидальной дуги за то же время, независимо от ее начальной точки. В 1686 году Готфрид Вильгельм Лейбниц использовал аналитическую геометрию для описания кривой одним уравнением. В 1696 году Иоганн Бернулли поставил задачу о брахистохроне , решением которой является циклоида. ^[14]

Уравнения [ править ]

Циклоида, проходящая через начало координат, с горизонтальным основанием, заданным осью $x$ , порожденная кругом радиуса $r,$ катящимся по "положительной" стороне основания ( $y \geq 0$ ), состоит из точек $(x, y)$ , с

{\begin{aligned}x&=r(t-\sin t)\\y&=r(1-\cos t),\end{aligned}}

где $t$ - действительный параметр , соответствующий углу поворота катящегося круга. Для данного $t$ центр круга лежит в точке $(x, y) = (rt, r)$ .

Решая относительно $t$ и заменяя, получается декартово уравнение :

x=r\cos ^{-1}\left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}}.

Когда $y$ рассматривается как функция от $x$ , циклоида дифференцируема везде, кроме точек возврата , где она встречается с осью $x$ , а производная стремится к точке возврата или по мере приближения к ней. Отображение $t$ в $($ $x$ $,$ $y$ $)$ - это дифференцируемая кривая или параметрическая кривая класса $C$ ^∞ , а особенность, где производная равна 0, является обычным куспидом. $\infty$ $-\infty$

Отрезок циклоиды от одного куспида до следующего называется дугой циклоиды. Первая дуга циклоиды состоит из таких точек, что $0\leq t\leq 2\pi .$

Уравнение циклоиды удовлетворяет дифференциальному уравнению : ^[16]

\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r}{y}}-1.

Эвольвент [ править ]

Генерация эвольвенты циклоиды, разворачивающей натянутую проволоку на полуциклоидной дуге (отмечена красным)

Эвольвентная циклоида имеет свойство быть точно такими же циклоидами это происходит из. В противном случае это можно увидеть на кончике проволоки, изначально лежащей на полудуге циклоиды, описывающей циклоидную дугу, равную той, на которой он лежал после разворачивания (см. Также циклоидальный маятник и длину дуги ).

Демонстрация [ править ]

Демонстрация свойств эвольвенты циклоиды.

Есть несколько демонстраций этого утверждения. В представленном здесь используется физическое определение циклоиды и кинематическое свойство, согласно которому мгновенная скорость точки касается ее траектории. Ссылаясь на соседний рисунок, и две точки касания принадлежат двум катящимся окружностям. Два круга начинают катиться с одинаковой скоростью и в одном направлении без заноса. и начинаем рисовать две циклоидные дуги как на картинке. Рассматривая прямую, соединяющую и в произвольный момент (красная линия), можно доказать, что прямая в любой момент касается нижней дуги и ортогональна касательной к верхней дуге . Видно это призвание $P_{1}$ $P_{2}$ $P_{1}$ $P_{2}$ $P_{1}$ $P_{2}$ $P_{2}$ $P_{1}$ $Q$ общая точка между верхним кругом и нижним кругом:

$P_{1},Q,P_{2}$ выровнены потому что (равная скорость прокатки) и поэтому . Точка лежит на прямой, следовательно, аналогично . Из равенства и это тоже есть . Это следует . ${\widehat {P_{1}O_{1}Q}}={\widehat {P_{2}O_{2}Q}}$ ${\widehat {O_{1}QP_{1}}}={\widehat {O_{2}QP_{2}}}$ $Q$ $O_{1}O_{2}$ ${\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{1}QO_{2}}}=\pi$ ${\widehat {P_{2}QO_{2}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi$ ${\widehat {O_{1}QP_{1}}}$ ${\widehat {O_{2}QP_{2}}}$ ${\widehat {P_{1}QO_{2}}}={\widehat {P_{2}QO_{1}}}$ ${\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi$
Если это точка пересечения между перпендикуляром от к прямой и касательной к окружности в , то треугольник является равнобедренным, потому что и (легко доказать, что конструкция) . Для предыдущего отмечалось равенство между а затем и равнобедренным. $A$ $P_{1}$ $O_{1}O_{2}$ $P2$ $P_{1}AP_{2}$ ${\widehat {QP_{2}A}}={\frac {1}{2}}{\widehat {P_{2}O_{2}Q}}$ ${\widehat {QP_{1}A}}={\frac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}R}}=$ $={\frac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}P_{1}}}$ ${\widehat {P_{1}O_{1}Q}}$ ${\widehat {QO_{2}P_{2}}}$ ${\widehat {QP_{1}A}}={\widehat {QP_{2}A}}$ $P_{1}AP_{2}$
Проводя от ортогональной прямой до , от прямой, касательной к верхнему кругу и называя точку встречи, теперь легко увидеть, что это ромб , используя теоремы об углах между параллельными линиями. $P_{2}$ $O_{1}O_{2}$ $P_{1}$ $B$ $P_{1}AP_{2}B$
Рассмотрим теперь скорость в . Его можно рассматривать как сумму двух составляющих: скорости прокатки и скорости сноса . Обе скорости равны по модулю, потому что круги катятся без скольжения. параллельна нижней окружности и касается ее, следовательно, параллельна . Ромб состоит из компонентов и поэтому подобен ромбу (одинаковые углы), потому что у них параллельные стороны. Общая скорость тогда параллельна, потому что оба являются диагоналями двух ромбов с параллельными сторонами и имеют общее с точкой контакта . Отсюда следует, что вектор скорости $V_{2}$ $P_{2}$ $V_{a}$ $V_{d}$ $V_{d}$ $P_{1}A$ $V_{a}$ $P_{2}$ $P_{2}A$ $V_{d}$ $V_{a}$ $BP_{1}AP_{2}$ $P_{2},V_{2}$ $P_{2}P_{1}$ $P_{1}P_{2}$ $P_{2}$ $V_{2}$ лежит на продолжении . Поскольку он касается дуги циклоиды в (свойство скорости траектории), отсюда следует, что он также совпадает с касательной к дуге нижней циклоиды в . $P_{1}P_{2}$ $V_{2}$ $P_{2}$ $P_{1}P_{2}$ $P_{2}$
Аналогично легко показать, что ортогонален (другой диагонали ромба). $P_{1}P_{2}$ $V_{1}$
Кончик нерастяжимой проволоки, первоначально натянутый на половину дуги нижней циклоиды и ограниченный верхней окружностью , затем будет следовать за точкой на своем пути, не изменяя ее длины, потому что скорость кончика в каждый момент ортогональна проволоке (без растяжения). или сжатие). Проволока будет одновременно касаться нижней дуги из-за натяжения и продемонстрированных предметов. Если бы он не был касательным, то возник бы разрыв и, следовательно, были бы неуравновешенные силы натяжения. $P_{1}$ $P_{2}$ $P_{2}$

Площадь [ править ]

Используя указанную выше параметризацию для одной дуги циклоиды, порожденной окружностью радиуса $r$ ,

{\begin{aligned}x&=r(t-\sin t)\\y&=r(1-\cos t)\end{aligned}}

для площади под аркой дается $0\leq t\leq 2\pi ,$

{\begin{aligned}A&=\int _{x=0}^{2\pi r}y\,dx\\&=\int _{t=0}^{2\pi }r^{2}(1-\cos t)^{2}dt\\&=3\pi r^{2}.\end{aligned}}

Этот результат и некоторые обобщения могут быть получены без вычислений с помощью визуального исчисления Мамикона .

Длина дуги [ править ]

Длина циклоиды как следствие свойства ее эвольвенты

Длина дуги $S$ одной дуги определяется выражением

{\begin{aligned}S&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt\\&=\int _{0}^{2\pi }r{\sqrt {2-2\cos t}}\,dt\\&=2r\int _{0}^{2\pi }\sin {\frac {t}{2}}\,dt\\&=8r.\end{aligned}}

Другой способ непосредственно вычислить длину циклоиды с учетом свойств эвольвенты - это заметить, что когда проволока, описывающая эвольвенту, полностью развернута, она удлиняется на два диаметра, то есть на длину $4 r$ . Поскольку длина проволоки не изменяется во время разворачивания, из этого следует, что длина половины дуги циклоиды равна $4 r,$ а длина полной дуги - $8 r$ .

Циклоидный маятник [ править ]

Схема циклоидального маятника.

Если простой маятник подвешен к куспиду перевернутой циклоиды, так что «струна» зажата между соседними дугами циклоиды, а длина маятника L равна половине длины дуги циклоиды (т. Е. вдвое больше диаметра образующей окружности, L = 4r ), опора маятника также проходит по циклоидальной траектории. Такой циклоидальный маятник изохронен независимо от амплитуды. Вводя систему координат с центром в положении выступа, уравнение движения задается следующим образом:

{\begin{aligned}x&=r[2\theta (t)+\sin(2\theta (t))]\\y&=r[-3-\cos(2\theta (t))],\end{aligned}}

где - угол прямой части струны по отношению к вертикальной оси, и определяется выражением $\theta$

\sin \theta (t)=A\cos(\omega t),\qquad \omega ^{2}={\frac {g}{L}}={\frac {g}{4r}},

где A <1 - «амплитуда», - частота маятника в радианах, а g - ускорение свободного падения. $\omega$

Пять изохронных циклоидальных маятников с разной амплитудой.

Голландский математик XVII века Христиан Гюйгенс открыл и доказал эти свойства циклоиды, ища более точные конструкции маятниковых часов для использования в навигации. ^[17]

Связанные кривые [ править ]

Несколько кривых связаны с циклоидой.

Трохоида : обобщение циклоиды, в которой точка, отслеживающая кривую, может находиться внутри катящейся окружности (вогнутой формы) или снаружи (вытянутой).
Гипоциклоида : вариант циклоиды, в которой круг катится по внутренней части другого круга вместо линии.
Эпициклоида : вариант циклоиды, в которой круг катится по внешней стороне другого круга вместо линии.
Гипотрохоид : обобщение гипоциклоиды, где образующая точка может не находиться на краю катящегося круга.
Эпитрохоида : обобщение эпициклоиды, где образующая точка может не находиться на краю катящегося круга.

Все эти кривые представляют собой рулетки с кругом, катящимся по другой кривой равномерной кривизны . Циклоида, эпициклоида и гипоциклоида обладают тем свойством, что каждая подобна своей эволюции . Если q - произведение этой кривизны на радиус окружности, со знаком положительным для эпи- и отрицательным для гипо-, то соотношение кривая: эволюционное подобие равно 1 + 2 q .

Классическая игрушка- спирограф позволяет прорисовывать гипотрохоидные и эпитрохоидные кривые.

Другое использование [ править ]

Циклоидальные арки в Художественном музее Кимбелла

Циклоидальная арка была использована архитектором Луи Каном в его проекте для Художественного музея Кимбелла в Форт-Уэрте, штат Техас . Он также использовался в дизайне Центра Хопкинса в Ганновере, Нью-Гэмпшир . ^{[ необходима цитата ]}

Ранние исследования показали, что некоторые поперечные дуговые изгибы пластин скрипок золотого века близко моделируются изогнутыми циклоидными кривыми. ^[18] Более поздние работы показывают, что свернутые циклоиды не служат общими моделями для этих кривых, ^[19] которые значительно различаются.

См. Также [ править ]

Циклогон
Циклоидная передача
Список периодических функций
Кривая таутохрона

Ссылки [ править ]

^ Cajori, Флориан (1999). История математики . Нью-Йорк: Челси. п. 177. ISBN. 978-0-8218-2102-2.
^ Кожевник, Поль (1883), «Pour l'histoire des lignes et поверхности Courbes dans l'antiquité», Бюллетень математических наук , Париж: 284 (цитируется по Whitman 1943);
^ Уоллис, Д. (1695). «Отрывок из письма доктора Уоллиса от 4 мая 1697 года, касающийся циклоид, известной кардиналу Кузанусу, около 1450 года; и Карлу Бовиллусу около 1500 года» (PDF) . Философские труды Лондонского королевского общества . 19 (215–235): 561–566. DOI : 10,1098 / rstl.1695.0098 . (Цит. По Günther, стр. 5)
^ Б с д Уитмен, EA (май 1943), "Некоторые исторические заметки о циклоиды", Американский Математический Monthly , 50 (5): 309-315, DOI : 10,2307 / 2302830 , JSTOR 2302830 (требуется подписка)
^ Каджори, Флориан (1999), История математики (5-е изд.), Стр. 162, ISBN 0-8218-2102-4(Примечание: первое издание (1893 г.) и его переиздания утверждают, что Галилей изобрел циклоиду. Согласно Филлипсу, это было исправлено во втором (1919 г.) издании и сохранилось до самого последнего (пятого) издания.)
^ a b Ройдт, Том (2011). Циклоиды и пути (PDF) (MS). Государственный университет Портленда. п. 4.
↑ Cantor, Moritz (1892), Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Bd. 2 , Лейпциг: BG Teubner, OCLC 25376971
^ Гюнтер, Зигмунд (1876), Vermischte untersuchungen zur geschichte der Mathematischen wissenschaften , Лейпциг: Druck und Verlag Von BG Teubner, стр. 352, OCLC 2060559
^ Phillips, JP (май 1967), "брахистохроны, Tautochrone, Cycloid-Яблоко раздора", учителя математики , 60 (5): 506-508, JSTOR 27957609 (требуется подписка)
^ Виктор, Джозеф М. (1978), Шарль де Бовель, 1479-1553: интеллектуальная биография , стр. 42, ISBN 978-2-600-03073-1
^ Мартин, Дж. (2010). «Елена Геометрия». Журнал математики колледжа . 41 : 17–28. DOI : 10.4169 / 074683410X475083 .
^ де Буэль, Шарль (1503 г.), Введение в геометрию ... Liber de quadratura circi. Сфера Liber de Cubicatione. Perspectiva introductio. , OCLC 660960655
^ a b Торричелли, Евангелиста (1644), Геометрическая опера , OCLC 55541940
^ a b c d Уокер, Эвелин (1932), Исследование черты неделимых Роберваля , Колумбийский университет (цитируется по Whitman 1943);
↑ Коннер, Джеймс А. (2006), Пари Паскаля: Человек, который играл в кости с Богом (1-е изд.), HarperCollins, стр. 224 , ISBN 9780060766917
^ Робертс, Чарльз (2018). Элементарные дифференциальные уравнения: приложения, модели и вычисления (2-е иллюстрированное издание). CRC Press. п. 141. ISBN. 978-1-4987-7609-7. Выдержка страницы 141, уравнение (f) с их K = 2 r
^ К. Гюйгенс, «Маятниковые часы или геометрические демонстрации движения маятника (так в оригинале) применительно к часам», Перевод Р. Дж. Блэквелла, Издательство Государственного университета Айовы (Эймс, Айова, США, 1986).
^ Playfair, Q. «Curtate Cycloid выгибая в Золотой век Кремонской скрипичной семьи инструменты». Журнал Кетгутского акустического общества . II. 4 (7): 48–58.
Перейти ↑ Mottola, RM (2011). «Сравнение арочных профилей кремонских скрипок Золотого века и некоторых математически построенных кривых» . Savart Journal . 1 (1).

Дальнейшее чтение [ править ]

Приложение из физики : Гхатак А. и Махадеван Л. Улица трещин: циклоидальный след от цилиндра, разрывающего лист. Physical Review Letters, 91, (2003). link.aps.org
Эдвард Каснер и Джеймс Ньюман (1940) Математика и воображение , стр 196–200, Саймон и Шустер .
Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвина. С. 445–47. ISBN 0-14-011813-6.

Внешние ссылки [ править ]

О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Циклоида" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
Вайсштейн, Эрик В. «Циклоида» . MathWorld . Проверено 27 апреля 2007 года.
Циклоиды в вырез на-узел

Трактат о циклоиде и всех формах циклоидальных кривых , монография Ричарда А. Проктора, бакалавра гуманитарных наук, опубликованная библиотекой Корнельского университета .
Циклоидные кривые Шона Мэдсена при участии Дэвида фон Сеггерна, Wolfram Demonstrations Project .
Циклоида на PlanetPTC (Mathcad)
ВИЗУАЛЬНЫЙ подход к задачам CALCULUS Тома Апостола

[1] Cajori, Флориан (1999). История математики . Нью-Йорк: Челси. п. 177. ISBN. 978-0-8218-2102-2.

[Tannery-2] Кожевник, Поль (1883), «Pour l'histoire des lignes et поверхности Courbes dans l'antiquité», Бюллетень математических наук , Париж: 284 (цитируется по Whitman 1943);

[Wallis-3] Уоллис, Д. (1695). «Отрывок из письма доктора Уоллиса от 4 мая 1697 года, касающийся циклоид, известной кардиналу Кузанусу, около 1450 года; и Карлу Бовиллусу около 1500 года» (PDF) . Философские труды Лондонского королевского общества . 19 (215–235): 561–566. DOI : 10,1098 / rstl.1695.0098 . (Цит. По Günther, стр. 5)

[Whitman-4] Б с д Уитмен, EA (май 1943), "Некоторые исторические заметки о циклоиды", Американский Математический Monthly , 50 (5): 309-315, DOI : 10,2307 / 2302830 , JSTOR 2302830 (требуется подписка)

[Cajori-5] Каджори, Флориан (1999), История математики (5-е изд.), Стр. 162, ISBN 0-8218-2102-4(Примечание: первое издание (1893 г.) и его переиздания утверждают, что Галилей изобрел циклоиду. Согласно Филлипсу, это было исправлено во втором (1919 г.) издании и сохранилось до самого последнего (пятого) издания.)

[Roidt-6] Ройдт, Том (2011). Циклоиды и пути (PDF) (MS). Государственный университет Портленда. п. 4.

[Cantor-7] Cantor, Moritz (1892), Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Bd. 2 , Лейпциг: BG Teubner, OCLC 25376971

[Gunther-8] Гюнтер, Зигмунд (1876), Vermischte untersuchungen zur geschichte der Mathematischen wissenschaften , Лейпциг: Druck und Verlag Von BG Teubner, стр. 352, OCLC 2060559

[Phillips-9] Phillips, JP (май 1967), "брахистохроны, Tautochrone, Cycloid-Яблоко раздора", учителя математики , 60 (5): 506-508, JSTOR 27957609 (требуется подписка)

[Victor-10] Виктор, Джозеф М. (1978), Шарль де Бовель, 1479-1553: интеллектуальная биография , стр. 42, ISBN 978-2-600-03073-1

[Martin-11] Мартин, Дж. (2010). «Елена Геометрия». Журнал математики колледжа . 41 : 17–28. DOI : 10.4169 / 074683410X475083 .

[Bovelles-12] де Буэль, Шарль (1503 г.), Введение в геометрию ... Liber de quadratura circi. Сфера Liber de Cubicatione. Perspectiva introductio. , OCLC 660960655

[Torricelli-13] Торричелли, Евангелиста (1644), Геометрическая опера , OCLC 55541940

[Walker-14] Уокер, Эвелин (1932), Исследование черты неделимых Роберваля , Колумбийский университет (цитируется по Whitman 1943);

[Conner-15] Коннер, Джеймс А. (2006), Пари Паскаля: Человек, который играл в кости с Богом (1-е изд.), HarperCollins, стр. 224 , ISBN 9780060766917

[16] Робертс, Чарльз (2018). Элементарные дифференциальные уравнения: приложения, модели и вычисления (2-е иллюстрированное издание). CRC Press. п. 141. ISBN. 978-1-4987-7609-7. Выдержка страницы 141, уравнение (f) с их K = 2 r

[17] К. Гюйгенс, «Маятниковые часы или геометрические демонстрации движения маятника (так в оригинале) применительно к часам», Перевод Р. Дж. Блэквелла, Издательство Государственного университета Айовы (Эймс, Айова, США, 1986).

[18] Playfair, Q. «Curtate Cycloid выгибая в Золотой век Кремонской скрипичной семьи инструменты». Журнал Кетгутского акустического общества . II. 4 (7): 48–58.

[19] Перейти ↑ Mottola, RM (2011). «Сравнение арочных профилей кремонских скрипок Золотого века и некоторых математически построенных кривых» . Savart Journal . 1 (1).

[1]