Плотный порядок

В математике , А частичный порядок или общий порядок <на множестве называется плотным , если для всех и в течение которого существует в таком , что . То есть для любых двух элементов, один меньше другого, между ними есть еще один элемент. Для полных заказов мы можем сказать это проще, как «для любых двух различных элементов между ними есть еще один элемент», поскольку тотальность подразумевает, что два различных элемента связаны между собой , но в целом это неверно для частичных порядков, потому что отдельные элементы могут быть несравненный .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle х <у}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle X}$${\displaystyle x<z<y}$${\displaystyle <}$

Пример [ править ]

В рациональных числах как линейно упорядоченное множество являются плотно упорядоченным множеством в этом смысле, как и алгебраические числа , то действительные числа , то двоично - рациональные и десятичные дроби . В самом деле, каждый архимедова заказал кольцо расширение из целых чисел является плотно упорядоченное множество. ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

С другой стороны, линейный порядок целых чисел не является плотным.

Уникальность для общих плотных заказов без конечных точек [ править ]

Георг Кантор доказал, что любые два непустых плотных вполне упорядоченных счетных множества без нижней или верхней границ изоморфны по порядку . ^[1] Это делает теорию безграничных плотных линейных порядков примером ω- категоричной теории, где ω - наименьший предельный ординал . Например, существует изоморфизм порядка между рациональными числами и другими плотно упорядоченными счетными множествами, включая диадические рациональные числа и алгебраические числа . Доказательства этих результатов основаны на возвратно-поступательном методе . ^[2]

Функцию вопросительного знака Минковского можно использовать для определения изоморфизмов порядка между квадратичными алгебраическими числами и рациональными числами, а также между рациональными числами и диадическими рациональными числами.

Обобщения [ править ]

Любая бинарное отношение R называется плотным , если для всех R о связанном й и у , существует г такое , что х и г , а также Z и Y является R о связанных. Формально:

${\displaystyle \forall x\ \forall y\ xRy\Rightarrow (\exists z\ xRz\land zRy).}$В качестве альтернативы, с точки зрения композиции из R с самим собой, плотное условие может быть выражено как R ⊆ R ° R . ^[3]

Достаточными условиями плотности бинарного отношения R на множестве X являются:

• R является рефлексивным ;
• R является корефлексивным ;
• R является quasireflexive ;
• R - левый или правый евклидов ; или же
• R является симметричным и полусвязным, а X имеет не менее 3 элементов.

Ни в одном из них нет необходимости . Например, есть отношение R, которое не рефлексивно, а плотно. Непустое и плотное отношение не может быть antitransitive .

Строгий частичный порядок <является плотным порядком тогда и только тогда, когда <является плотным отношением. Плотное отношение, которое также транзитивно , называется идемпотентным .

См. Также [ править ]

• Плотное множество - подмножество топологического пространства, замыканием которого является все пространство
• Плотность в себе - такое подмножество топологического пространства, которое не содержит изолированной точки.${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$
• Семантика Крипке - отношение плотной доступности соответствует аксиоме${\displaystyle \Box \Box A\rightarrow \Box A}$

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Дэвид Харел , Декстер Козен , Ежи Тюрин, Динамическая логика , MIT Press, 2000, ISBN 0-262-08289-6 , стр. 6ff