Уравнение конвекции-диффузии представляет собой комбинацию уравнений диффузии и конвекции ( адвекции ) и описывает физические явления, когда частицы, энергия или другие физические величины передаются внутри физической системы за счет двух процессов: диффузии и конвекции . В зависимости от контекста, то же уравнение можно назвать адвекции - диффузии уравнение , дрейфа - диффузии уравнение , [1] или (родовой) скалярное уравнение переноса . [2]
Уравнение
Общий
где
- c - интересующая переменная (концентрация частиц для массопереноса , температура для теплопередачи ),
- D - коэффициент диффузии (также называемый коэффициентом диффузии ), например коэффициент диффузии по массе для движения частиц или коэффициент температуропроводности для переноса тепла,
- v - этополе скорости , с которым движется величина. Это функция времени и пространства. Например, в адвекции , с может быть концентрация соли в реке, а затем V будет скоростью потока воды в зависимости от времени и места. Другой пример, c может быть концентрацией маленьких пузырьков в спокойном озере, а затем v будет скоростью пузырьков, поднимающихся к поверхности за счет плавучести (см. Ниже ) в зависимости от времени и местоположения пузыря. Для многофазных потоков и потоков в пористой среде , v является (гипотетической) поверхностной скоростью .
- R описывает источники или стоки величины c . Например, для химического вещества R > 0 означает, что химическая реакция создает больше частиц, а R <0 означает, что химическая реакция разрушает вид. Для переноса тепла R > 0 может иметь место, если тепловая энергия генерируется трением .
- ∇ представляет градиент, а ∇ ⋅ представляет расхождение . В этом уравнении ∇ c представляет градиент концентрации.
Понимание задействованных терминов
Правая часть уравнения представляет собой сумму трех вкладов.
- Первый, ∇ ⋅ ( D ∇ c ) , описывает диффузию . Представьте, что c - это концентрация химического вещества. Когда концентрация где-то низкая по сравнению с окружающими областями (например, местный минимум концентрации), вещество будет диффундировать из окружающей среды, поэтому концентрация будет увеличиваться. И наоборот, если концентрация высока по сравнению с окружающей средой (например, локальный максимум концентрации), то вещество будет диффундировать, и концентрация снизится. Чистая диффузия пропорциональна лапласиану (или второй производной ) концентрации, если коэффициент диффузии D является постоянным.
- Второй вклад, −∇ ⋅ ( v c ) , описывает конвекцию (или адвекцию). Представьте, что вы стоите на берегу реки и каждую секунду измеряете соленость воды (количество соли). Выше по течению кто-то сбрасывает в реку ведро с солью. Некоторое время спустя вы увидите, как соленость внезапно повышается, а затем падает, когда зона соленой воды проходит мимо. Таким образом, концентрация в данном месте может измениться из-за потока.
- Последний вклад, R , описывает создание или уничтожение количества. Например, если c - концентрация молекулы, то R описывает, как молекула может быть создана или разрушена химическими реакциями. R может быть функцией c и других параметров. Часто имеется несколько величин, каждая из которых имеет собственное уравнение конвекции-диффузии, где разрушение одной величины влечет за собой создание другой. Например, при горении метана происходит не только разрушение метана и кислорода, но также образование углекислого газа и водяного пара. Следовательно, хотя каждое из этих химических веществ имеет собственное уравнение конвекции-диффузии, они связаны вместе и должны решаться как система одновременных дифференциальных уравнений.
Общие упрощения
В обычной ситуации коэффициент диффузии постоянен, нет источников или стоков, а поле скорости описывает несжимаемый поток (т. Е. Имеет нулевую дивергенцию ). Затем формула упрощается до: [5] [6] [7]
В этой форме уравнение конвекции – диффузии объединяет как параболические, так и гиперболические уравнения в частных производных .
В невзаимодействующих материалах D = 0 (например, когда температура близка к абсолютному нулю , разбавленный газ имеет почти нулевой коэффициент диффузии по массе ), следовательно, уравнение переноса выглядит просто:
Использование преобразования Фурье как во временной, так и в пространственной области (то есть с интегральным ядром ) можно получить его характеристическое уравнение :
что дает общее решение:
где - любая дифференцируемая скалярная функция . Это является основой для измерения температуры вблизи Бозе-Эйнштейна конденсата [8] с помощью времени пролета метода. [9]
Стационарная версия
Стационарное уравнение конвекции-диффузии описывает стационарное поведение конвективно-диффузионной системы. В устойчивом состоянии∂ c/∂ т= 0 , поэтому формула:
Вывод
Уравнение конвекции-диффузии может быть получено прямым способом [4] из уравнения неразрывности , которое гласит, что скорость изменения скалярной величины в дифференциальном контрольном объеме задается потоком и диффузией в эту часть и из нее. система вместе с любым генерированием или потреблением внутри контрольного объема:
где j - полный поток, а R - чистый объемный источник для c . В этой ситуации есть два источника потока. Во-первых, диффузный поток возникает из-за диффузии . Обычно это приблизительно соответствует первому закону Фика :
т.е. поток диффундирующего материала (относительно объемного движения) в любой части системы пропорционален локальному градиенту концентрации . Во-вторых, когда есть общая конвекция или поток, существует связанный поток, называемый адвективным потоком :
Полный поток (в стационарной системе координат) определяется суммой этих двух:
Подключаемся к уравнению неразрывности:
Сложные явления перемешивания
В общем, D , v и R могут изменяться в зависимости от пространства и времени. В случаях, когда они также зависят от концентрации, уравнение становится нелинейным, вызывая множество характерных явлений перемешивания, таких как конвекция Рэлея-Бенара, когда v зависит от температуры в формулировке теплопередачи, и формирование картины реакции-диффузии, когда R зависит от концентрации. в формулировке массообмена.
Скорость в ответ на силу
В некоторых случаях поле средней скорости v существует из-за силы; например, уравнение может описывать поток ионов, растворенных в жидкости, с электрическим полем, тянущим ионы в каком-то направлении (как в гель-электрофорезе ). В этой ситуации, как правило , называют уравнение дрейфа-диффузии или уравнение Смолуховского , [1] после того, как Смолуховский который описал его в 1915 г. [10] (не следует путать с соотношением Эйнштейна-Смолуховского или уравнению коагуляции Смолуховского ).
Обычно средняя скорость прямо пропорциональна приложенной силе, что дает уравнение: [11] [12]
где F - сила, а ζ характеризует трение или вязкое сопротивление . (Обратная величина ζ −1 называется подвижностью .)
Вывод соотношения Эйнштейна.
Когда сила связана с потенциальной энергией F = −∇ U (см. Консервативная сила ), стационарное решение вышеуказанного уравнения (т. Е. 0 = R = ∂ c/∂ т) является:
(предполагая, что D и ζ постоянны). Другими словами, частиц с меньшей энергией больше. Ожидается, что этот профиль концентрации согласуется с распределением Больцмана (точнее, мерой Гиббса ). Исходя из этого предположения, можно доказать соотношение Эйнштейна : [12]
Смолуховский уравнение конвекции-диффузии
Уравнение конвективной диффузии Смолуховского является стохастическим (Смолуховским) уравнением диффузии с дополнительным конвективным полем течения [13].
В этом случае сила F описывает консервативную силу межчастичного взаимодействия между двумя коллоидными частицами или силу межмолекулярного взаимодействия между двумя молекулами в жидкости и не связана с внешней скоростью потока v . Стационарная версия этого уравнения является основой для описания парной функции распределения (которая может быть идентифицирована как c ) коллоидных суспензий при сдвиговых потоках. [13]
Приближенное решение стационарной версии этого уравнения было найдено с помощью метода согласованных асимптотических разложений . [14] Это решение обеспечивает теорию контролируемой транспортом скорости реакции двух молекул в сдвиговом потоке, а также предоставляет способ распространить теорию коллоидной стабильности DLVO на коллоидные системы, подверженные сдвиговым потокам (например, в микрофлюидике , химических реакторах , экологические потоки ). Полное решение стационарного уравнения, полученное с использованием метода согласованных асимптотических разложений , было разработано Алессио Закконе и Л. Банеттой для вычисления парной функции распределения взаимодействующих частиц Леннарда-Джонса в сдвиговом потоке [15] и впоследствии расширено для вычисления парной функции распределения стабилизированных зарядом (Юкавы или Дебая – Хюккеля ) коллоидных частиц в сдвиговых потоках. [16]
Как стохастическое дифференциальное уравнение
Уравнение конвекции-диффузии (без источников или стоков, R = 0 ) можно рассматривать как стохастическое дифференциальное уравнение , описывающее случайное движение с коэффициентом диффузии D и смещением v . Например, уравнение может описывать броуновское движение отдельной частицы, где переменная c описывает распределение вероятности для частицы находиться в заданном положении в заданный момент времени. Причина, по которой уравнение может использоваться таким образом, заключается в том, что нет математической разницы между распределением вероятностей отдельной частицы и профилем концентрации набора из бесконечного количества частиц (до тех пор, пока частицы не взаимодействуют друг с другом).
Уравнение Ланжевена описывает адвекцию, диффузию и другие явления явно стохастическим образом. Одна из простейших форм уравнения Ланжевена - это когда его «шумовой член» является гауссовским ; в этом случае уравнение Ланжевена в точности эквивалентно уравнению конвекции – диффузии. [12] Однако уравнение Ланжевена является более общим. [12]
Численное решение
Уравнение конвекции – диффузии редко можно решить ручкой и бумагой. Чаще всего используются компьютеры для численной аппроксимации решения уравнения, обычно с использованием метода конечных элементов . Подробнее и алгоритмы см .: Численное решение уравнения конвекции – диффузии .
Подобные уравнения в других контекстах
Уравнение конвекции-диффузии - это относительно простое уравнение, описывающее потоки или, альтернативно, описывающее стохастически изменяющуюся систему. Следовательно, одно и то же или подобное уравнение возникает во многих контекстах, не связанных с потоками в пространстве.
- Формально оно идентично уравнению Фоккера – Планка для скорости частицы.
- Оно тесно связано с уравнением Блэка – Шоулза и другими уравнениями финансовой математики. [17]
- Он тесно связан с уравнениями Навье – Стокса , потому что поток количества движения в жидкости математически подобен потоку массы или энергии. Соответствие наиболее очевидно в случае несжимаемой ньютоновской жидкости, и в этом случае уравнение Навье – Стокса имеет вид:
где M - импульс жидкости (на единицу объема) в каждой точке (равный плотности ρ, умноженной на скорость v ), μ - вязкость, P - давление жидкости, а f - любая другая объемная сила, например сила тяжести . В этом уравнении член в левой части описывает изменение количества движения в данной точке; первый член справа описывает вязкость , которая на самом деле является диффузией количества движения; второй член справа описывает адвективный поток количества движения; а последние два члена справа описывают внешние и внутренние силы, которые могут действовать как источники или поглотители импульса.
В биологии
В биологии уравнение реакция-диффузия-адвекция используется для моделирования хемотаксиса, наблюдаемого у бактерий, миграции популяций, эволюционной адаптации к изменяющимся условиям окружающей среды и пространственно-временной динамики молекулярных видов, включая морфогенез . Примером может служить исследование формирования паттерна VEGFC в контексте лимфангиогенеза . [18]
В физике полупроводников
В физике полупроводников это уравнение называется уравнением дрейфа-диффузии . Слово «дрейф» связано с дрейфовым течением и скоростью дрейфа . Уравнение обычно записывается: [19]
где
- n и p - концентрации (плотности) электронов и дырок соответственно,
- q > 0 - элементарный заряд ,
- J n и J p - электрические токи, обусловленные электронами и дырками соответственно,
- J n/- q а также J p/q - соответствующие "токи частиц" электронов и дырок соответственно,
- R представляет собой генерацию и рекомбинацию носителей ( R > 0 для генерации электронно-дырочных пар, R <0 для рекомбинации).
- E -вектор электрического поля
- а также - подвижность электронов и дырок .
Коэффициент диффузии и подвижность связаны соотношением Эйнштейна, как указано выше:
где k B - постоянная Больцмана, а T - абсолютная температура . Тока дрейфа и диффузионный ток относятся отдельно к двум слагаемым в выражениях для J , а именно:
Это уравнение может быть решено вместе с уравнением Пуассона численно. [20]
Пример результатов решения уравнения дрейфовой диффузии показан справа. Когда свет падает на центр полупроводника, носители генерируются в середине и рассеиваются к двум концам. В этой структуре решается уравнение дрейфа-диффузии, а распределение электронной плотности показано на рисунке. Виден градиент несущей от центра к двум концам.
Смотрите также
- Расширенная библиотека моделирования
- Уравнения сохранения
- Несжимаемые уравнения Навье – Стокса.
- Уравнение Нернста – Планка
- Двойная диффузионная конвекция
- Естественная конвекция
- Уравнение Бакли – Леверетта
Рекомендации
- ^ а б Чандрасекхар (1943). «Стохастические задачи физики и астрономии». Ред. Мод. Phys . 15 (1): 1. Bibcode : 1943RvMP ... 15 .... 1C . DOI : 10.1103 / RevModPhys.15.1 . См. Уравнение (312)
- ^ Вычислительная гидродинамика в промышленном сгорании Баукала и Герштейна, стр. 67, ссылка на книги Google .
- ^ Введение в моделирование климата , Томас Стокер, стр. 57, ссылка на книги Google
- ^ a b Уравнение адвективной диффузии , лекции Скотта А. Соколофски и Герхарда Х. Йирка, веб-ссылка
- ^ Бежан А (2004). Конвекционная теплопередача .
- ^ Берд, Стюарт, Лайтфут (1960). Явления переноса .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Пробштейн Р. (1994). Физико-химическая гидродинамика .
- ^ Ketterle, W .; Дерфи, Д.С. Стампер-Курн, DM (1999-04-01). «Создание, исследование и понимание конденсатов Бозе-Эйнштейна». arXiv : cond-mat / 9904034 .
- ^ Brzozowski, Tomasz M; Мачинская, Мария; Завада, Михал; Захоровский, Ежи; Гавлик, Войцех (14 января 2002 г.). «Времяпролетное измерение температуры холодных атомов на малых расстояниях между ловушкой и зондом». Журнал оптики B: Квантовая и полуклассическая оптика . 4 (1): 62–66. Bibcode : 2002JOptB ... 4 ... 62B . DOI : 10.1088 / 1464-4266 / 4/1/310 . ISSN 1464-4266 . S2CID 67796405 .
- ^ Смолуховский, М. В. (1915). "Uber Brownsche Molekularbewegung unter Einwirkung äußerer Kräfte und den Zusammenhang mit der verallgemeinerten Diffusionsgleichung" (PDF) . Аня. Phys. 4. Фольге. 353 (48): 1103–1112.
- ^ "Уравнение диффузии Смолуховского" (PDF) .
- ^ а б в г Дои и Эдвардс. Теория динамики полимеров . С. 46–52 - через Google Книги .
- ^ a b «Введение в динамику коллоидов » Дж. К. Г. Дона, стр. 195, ссылка на книги Google.
- ^ Zaccone, A .; Gentili, D .; Wu, H .; Морбиделли, М. (2009). «Теория процессов активированной скорости при сдвиге с приложением к агрегации коллоидов, вызванной сдвигом». Physical Review E . 80 (5): 051404. DOI : 10,1103 / PhysRevE.80.051404 . hdl : 2434/653702 . PMID 20364982 . S2CID 22763509 .
- ^ Banetta, L .; Закконе, А. (2019). «Радиальная функция распределения леннард-джонсовских жидкостей в сдвиговых потоках из промежуточных асимптотик». Physical Review E . 99 (5): 052606. arXiv : 1901.05175 . DOI : 10.1103 / PhysRevE.99.052606 . PMID 31212460 . S2CID 119011235 .
- ^ Banetta, L .; Закконе, А. (2020). «Парная корреляционная функция заряженно-стабилизированных коллоидных систем в условиях сдвига» . Коллоидная и полимерная наука . 298 (7): 761–771. DOI : 10.1007 / s00396-020-04609-4 .
- ^ Arabas, S .; Фархат, А. "Производное ценообразование как транспортная проблема: решения MPDATA уравнений типа Блэка-Шоулза". J. Comput. Прил. Математика . 373 . arXiv : 1607.01751 . DOI : 10.1016 / j.cam.2019.05.023 .
- ^ Wertheim, Kenneth Y .; Русе, Тиина (2017). «Математическая модель лимфангиогенеза в эмбрионе рыбок данио» . Вестник математической биологии . 79 (4): 693–737. DOI : 10.1007 / s11538-017-0248-7 . ISSN 1522-9602 . PMC 5501200 . PMID 28233173 .
- ^ Ху, Юэ (2015). «Моделирование фотоприемника с частично обедненным поглотителем (КПК)». Оптика Экспресс . 23 (16): 20402–20417. Bibcode : 2015OExpr..2320402H . DOI : 10,1364 / OE.23.020402 . hdl : 11603/11470 . PMID 26367895 .
- ^ Ху, Юэ (2014). «Моделирование источников нелинейности в простом штыревом фотоприемнике» . Журнал Lightwave Technology . 32 (20): 3710–3720. Bibcode : 2014JLwT ... 32.3710H . CiteSeerX 10.1.1.670.2359 . DOI : 10,1109 / JLT.2014.2315740 . S2CID 9882873 .
- Грэнвилл Сьюэлл, Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными , Academic Press (1988). ISBN 0-12-637475-9