Динамическое разложение по модам ( DMD ) - это алгоритм уменьшения размерности , разработанный Питером Шмидом в 2008 году. Учитывая временной ряд данных, DMD вычисляет набор режимов, каждый из которых связан с фиксированной частотой колебаний и скоростью затухания / роста. В частности, для линейных систем эти режимы и частоты аналогичны нормальным режимам системы, но в более общем плане они являются приближениями режимов и собственных значений оператора композиции (также называемого оператором Купмана). Из-за внутреннего временного поведения, связанного с каждым режимом, DMD отличается от методов уменьшения размерности, таких как анализ главных компонентов., который вычисляет ортогональные режимы, в которых отсутствует предопределенное временное поведение. Поскольку его режимы не ортогональны, представления на основе DMD могут быть менее экономичными, чем те, которые генерируются PCA. Однако они также могут быть более значимыми с физической точки зрения, поскольку каждый режим связан с демпфированием (или управляемым) синусоидальным поведением во времени.
Обзор
Разложение по динамическим модам было впервые введено Шмидом как численная процедура для извлечения динамических характеристик из данных потока. [1]
Данные имеют форму последовательности снимков.
где это -й снимок поля потока, и представляет собой матрицу данных, столбцы которой являются отдельными снимками. Нижний индекс и верхний индекс обозначают индекс снимка в первом и последнем столбцах соответственно. Предполагается, что эти снимки связаны линейным отображением, которое определяет линейную динамическую систему.
это остается примерно таким же в течение периода выборки. Записанный в матричной форме, это означает, что
где вектор остатков, который учитывает поведение, которое не может быть полностью описано с помощью , , , а также . Независимо от подхода, выходом DMD являются собственные значения и собственные векторы, Которые упоминаются как собственные значения МДДА и режимы МДДА соответственно.
Алгоритм
Есть два метода получения этих собственных значений и мод. Первый из них подобен Арнольди , что полезно для теоретического анализа в связи с его связью с методами Крылова . Второй - это подход, основанный на разложении по сингулярным значениям (SVD), который более устойчив к шуму в данных и числовым ошибкам.
Подход Арнольди
В приложениях с жидкостями размер снимка, , предполагается, что намного больше, чем количество снимков , поэтому есть много равнозначных вариантов . Исходный алгоритм DMD выбирает так что каждый из снимков в можно записать как линейную комбинацию снимков в . Поскольку большинство снимков появляется в обоих наборах данных, это представление не содержит ошибок для всех снимков, кроме, который записывается как
где представляет собой набор коэффициентов, которые DMD должен идентифицировать и это остаток. В итоге,
где является матрица компаньон
Вектор может быть вычислен путем решения задачи наименьших квадратов, которая минимизирует общую невязку. В частности, если мы возьмем QR-разложение, тогда .
В этой форме DMD является разновидностью метода Арнольди , поэтому собственные значения являются приближениями собственных значений . Кроме того, если является собственным вектором , тогда является приближенным собственным вектором . Причина, по которой собственное разложение выполняется на скорее, чем это потому что намного меньше, чем , поэтому вычислительная стоимость DMD определяется количеством снимков, а не размером снимка.
Подход на основе СВД
Вместо вычисления сопутствующей матрицы , подход на основе SVD дает матрицу это связано с через преобразование подобия. Для этого предположим, что у нас есть СВД. потом
Эквивалентно предположению, сделанному в подходе, основанном на Арнольди, мы выбираем так что снимки в можно записать как линейную суперпозицию столбцов в , что эквивалентно требованию, чтобы их можно было записать как суперпозицию режимов POD . С этим ограничением минимизация остатка требует, чтобы он был ортогонален базису POD (т. Е.). Затем умножая обе части приведенного выше уравнения на дает , которыми можно манипулировать, чтобы получить
Так как а также связаны преобразованием подобия, собственные значения собственные значения , и если является собственным вектором , тогда является собственным вектором .
Таким образом, подход, основанный на SVD, выглядит следующим образом:
- Разделите временной ряд данных на в две матрицы а также .
- Вычислить SVD .
- Сформировать матрицу , и вычислить его собственные значения и собственные векторы .
- В -ое собственное значение DMD равно а также -й режим DMD - это .
Преимущество подхода на основе SVD перед подходом, подобным подходу Арнольди, заключается в том, что шум в данных и проблемы численного усечения могут быть компенсированы путем усечения SVD . Как отмечено в [1], точное вычисление более первых парных мод и собственных значений может быть затруднено для экспериментальных наборов данных без этого шага усечения.
Теоретические и алгоритмические достижения
С момента его создания в 2010 году значительный объем работы был сосредоточен на понимании и улучшении МДД. Один из первых анализов DMD, выполненный Rowley et al. [2] установили связь между DMD и оператором Купмана и помогли объяснить выходные данные DMD в применении к нелинейным системам. С тех пор был разработан ряд модификаций, которые либо усиливают эту связь, либо повышают надежность и применимость подхода.
- Оптимизированный DMD : Оптимизированный DMD - это модификация исходного алгоритма DMD, предназначенная для компенсации двух ограничений этого подхода: (i) сложность выбора режима DMD и (ii) чувствительность DMD к шуму или другим ошибкам на последнем снимке. временного ряда. [3] Оптимизированный DMD преобразовывает процедуру DMD в задачу оптимизации, в которой идентифицированный линейный оператор имеет фиксированный ранг. Кроме того, в отличие от DMD, который идеально воспроизводит все снимки, кроме последнего, Optimized DMD позволяет распределять ошибки реконструкции по набору данных, что, по-видимому, делает подход более надежным на практике.
- Разложение по оптимальному режиму : Разложение по оптимальному режиму (OMD) преобразовывает процедуру DMD в задачу оптимизации и позволяет пользователю напрямую определять ранг идентифицированной системы. [4] При правильном выборе этого ранга OMD может создавать линейные модели с меньшими остаточными ошибками и более точными собственными значениями как на синтетических, так и на экспериментальных наборах данных.
- Точный DMD : алгоритм точного DMD обобщает исходный алгоритм DMD двумя способами. Во-первых, в исходном алгоритме DMD данные должны быть временными рядами снимков, но Exact DMD принимает набор данных пар снимков. [5] Снимки в паре должны быть разделены фиксированным, но необязательно извлекать из одного временного ряда. В частности, Exact DMD позволяет агрегировать данные нескольких экспериментов в единый набор данных. Во-вторых, оригинальный алгоритм DMD эффективно предварительно обрабатывает данные, проецируя их на набор режимов POD. Алгоритм Exact DMD удаляет этот этап предварительной обработки и может создавать режимы DMD, которые нельзя записать как суперпозицию режимов POD.
- DMD, способствующий разреженности: DMD, способствующий разреженности, представляет собой процедуру постобработки для режима DMD и выбора собственных значений. [6] Редкость, продвигающая МДД, используетштраф за идентификацию меньшего набора важных режимов DMD и является альтернативным подходом к проблеме выбора режима DMD, который может быть эффективно решен с использованием методов выпуклой оптимизации .
- DMD с несколькими разрешениями : DMD с несколькими разрешениями (mrDMD) представляет собой комбинацию методов, используемых в анализе с несколькими разрешениями, с точным DMD, разработанным для надежного извлечения режимов DMD и собственных значений из наборов данных, содержащих несколько временных шкал. [7] Подход mrDMD был применен к данным о глобальной температуре поверхности и определяет режим DMD, который появляется в годы Эль-Ниньо.
- Расширенный DMD : расширенный DMD - это модификация Exact DMD, которая усиливает связь между DMD и оператором Купмана. [8] Как следует из названия, Extended DMD - это расширение DMD, которое использует более богатый набор наблюдаемых функций для получения более точных приближений оператора Купмана. Он также продемонстрировал, что DMD и связанные с ним методы создают приближения собственных функций Купмана в дополнение к более часто используемым собственным значениям и модам.
- DMD с контролем : Разложение в динамическом режиме с контролем (DMDc) [9] является модификацией процедуры DMD, разработанной для данных, полученных от систем ввода-вывода. Одной из уникальных особенностей DMDc является способность устранять неоднозначность эффектов срабатывания системы от динамики разомкнутого контура, что полезно, когда данные получены в присутствии срабатывания.
- DMD Total Least Squares : DMD Total Least Squares - это недавняя модификация Exact DMD, предназначенная для решения проблем устойчивости к шумам измерения в данных. В [10] авторы интерпретируют Exact DMD как проблему регрессии, которая решается с помощью обычного метода наименьших квадратов (OLS), который предполагает, что регрессоры не содержат шумов. Это предположение создает смещение в собственных значениях DMD, когда оно применяется к наборам экспериментальных данных, где все наблюдения зашумлены. Метод наименьших квадратов DMD заменяет задачу наименьших квадратов общей задачей наименьших квадратов , что устраняет эту ошибку.
- Декомпозиция динамического распределения: DDD фокусируется на прямой задаче в непрерывном времени, т. Е. На операторе передачи . Однако разработанный метод может также использоваться для решения задач DMD в непрерывном режиме. [11]
В дополнение к алгоритмам, перечисленным здесь, были разработаны аналогичные методы для конкретных приложений. Например, как и DMD, метод Прони представляет сигнал как суперпозицию затухающих синусоид . В науке о климате линейное обратное моделирование также тесно связано с DMD. [12] Для более полного списка см. Tu et al. [5]
Примеры
Задняя кромка профиля
След за препятствием в потоке может привести к образованию вихревой дорожки Кармана . На рис.1 показано слияние вихря за заднюю кромку профиля. DMD-анализ был применен к 90 последовательным полям энтропии (анимированный gif (1,9 МБ)) и дал приближенный спектр собственных значений, как показано ниже. Анализ был применен к численным результатам без обращения к основным уравнениям. Профиль отображается белым цветом. Белые дуги - это границы процессора, поскольку вычисление выполнялось на параллельном компьютере с использованием разных вычислительных блоков.
Примерно треть спектра была сильно затухающей (большой, отрицательный ) и не показан. Доминирующий режим линьки показан на следующих рисунках. Изображение слева - это действительная часть, изображение справа - мнимая часть собственного вектора.
И снова на этом рисунке показан собственный вектор энтропии. Акустическое содержание той же моды видно в нижней половине следующего графика. Верхняя половина соответствует энтропийному режиму, как указано выше.
Синтетический пример схемы путешествий
Анализ DMD предполагает модель в форме где является любой из независимых переменных задачи, но должна быть выбрана заранее. Возьмем, к примеру, узор
Со временем в качестве предварительно выбранного экспоненциального множителя.
На следующем рисунке показан образец с , а также . Левое изображение показывает паттерн без, правое с добавлением шума. Амплитуда случайного шума такая же, как у шаблона.
Анализ DMD выполняется с 21 синтетически сгенерированным полем с использованием временного интервала , ограничивая анализ .
Спектр симметричный и показывает три почти незатухающие моды (небольшая отрицательная действительная часть), тогда как другие моды сильно затухают. Их числовые значения равнысоответственно. Реальный соответствует среднему значению поля, тогда как соответствует наложенному шаблону с . Относительная ошибка -1/1000. Увеличение шума до 10-кратного значения сигнала дает примерно такую же ошибку. Действительная и мнимая части одной из последних двух собственных мод изображены на следующем рисунке.
Смотрите также
Существует несколько других декомпозиций экспериментальных данных. При наличии определяющих уравнений возможно разложение по собственным значениям.
Рекомендации
- ^ а б П.Дж. Шмид. «Разложение численных и экспериментальных данных в динамическом режиме». Журнал гидромеханики 656.1 (2010): 5–28.
- ^ CW Rowley, I Mezic, S. Bagheri, P. Schlatter и DS Henningson, "Спектральный анализ нелинейных потоков". Журнал гидромеханики 641 (2009): 85-113.
- ^ К.К. Чен, Дж. Х. Ту и К. В. Роули, "Варианты разложения динамических мод: граничное условие, Купман и анализ Фурье". Журнал нелинейной науки 22 (2012): 887-915.
- ^ А. Винн, Д. С. Пирсон, Б. Ганапатисубрамани и П. Дж. Гуларт, "Оптимальное разложение мод для нестационарных потоков". Журнал гидромеханики 733 (2013): 473-503
- ^ а б Ту, Роули, Лухтенбург, Брантон и Куц (декабрь 2014 г.). «О динамической модовой декомпозиции: теория и приложения» . Американский институт математических наук . arXiv : 1312.0041 . DOI : 10,3934 / jcd.2014.1.391 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ MR Jovanovic, PJ Schmid и JW Nichols, "Разложение динамических мод, способствующее разреженности". Физика жидкостей 26 (2014)
- ^ JN Kutz, X. Fu, и SL Brunton, "Разложение динамического режима с несколькими разрешениями". Препринт arXiv arXiv: 1506.00564 (2015).
- ^ М.О. Уильямс, И.Г. Кеврекидис, К.В. Роули, "Управляемая данными приближения оператора Купмана: расширение динамической декомпозиции мод". Журнал нелинейной науки 25 (2015): 1307-1346.
- ^ JL Proctor, SL Brunton и JN Kutz, "Разложение динамического режима с контролем". Препринт arXiv arXiv: 1409.6358 (2014).
- ^ MS Hemati, CW Rowley, EA Deem и LN Cattafesta, "Снятие смещения динамической разложения мод для прикладного спектрального анализа Купмана зашумленных наборов данных". Препринт arXiv arXiv: 1502.03854 (2015).
- ^ Тейлор-Кинг, Джейк П .; Riseth, Asbjørn N .; Макнейр, Уилл; Клаассен, Манфред (10.01.2020). «Разложение динамического распределения для временных рядов моментальных снимков одной ячейки определяет субпопуляции и траектории во время перепрограммирования ИПСК» . PLOS вычислительная биология . 16 (1): e1007491. DOI : 10.1371 / journal.pcbi.1007491 . ISSN 1553-7358 . PMC 6953770 . PMID 31923173 .
- ^ Пенланд, Магориан, Сесиль, Тереза (1993). «Прогноз температуры поверхности моря Niño 3 с использованием линейного обратного моделирования» . J. Климат . 6 .
- Шмид, П. Дж. И Сестерхенн, Дж. Л. 2008. Разложение численных и экспериментальных данных на динамические режимы. В Bull. Амер. Phys. Soc., 61-е заседание APS, стр. 208. Сан-Антонио.
- Хассельманн, К., 1988. СОЗ и ГИП. Редукция сложных динамических систем с использованием основных моделей колебаний и взаимодействия. J. Geophys. Res., 93 (D9): 10975–10988.