Эпистемическая модальная логика

Эпистемическая модальная логика - это подполе модальной логики, которая связана с рассуждением о знании . В то время как эпистемология имеет давнюю философскую традицию, уходящую корнями в Древнюю Грецию , эпистемологическая логика - это гораздо более недавняя разработка с приложениями во многих областях, включая философию , теоретическую информатику , искусственный интеллект , экономику и лингвистику . В то время как философы со времен Аристотеля обсуждали модальную логику, а средневековые философы, такие как Авиценна , Оккам иДунс Скот разработал многие из своих наблюдений, именно К.И. Льюис создал первый символический и систематический подход к этой теме в 1912 году. Эта область продолжала развиваться, достигнув своей современной формы в 1963 году с работами Крипке .

Историческое развитие [ править ]

Многие статьи были написаны в 1950-х годах, в которых говорилось о логике познания мимоходом, но именно статья финского философа фон Райта « Эссе в модальной логике» 1951 года считается основополагающим документом. Только в 1962 году другой финн, Хинтикка , написал « Знание и вера» , первую книгу длиной в книгу, предлагающую использовать модальности для фиксации семантики знания, а не алетические утверждения, обычно обсуждаемые в модальной логике. Эта работа заложила большую часть основы для предмета, но с того времени было проведено много исследований. Например, эпистемическая логика недавно была объединена с некоторыми идеями динамической логики для созданиядинамическая эпистемическая логика , которая может использоваться для определения и обоснования изменения информации и обмена информацией в многоагентных системах . Основополагающие работы в этой области принадлежат Плаза, Ван Бентем, Балтаг, Мосс и Солецки.

Стандартная модель возможных миров [ править ]

Большинство попыток моделирования знаний были основаны на модели возможных миров . Для этого мы должны разделить набор возможных миров на те, которые совместимы со знаниями агента, и те, которые не совместимы. Обычно это соответствует обычному использованию. Если я знаю, что сегодня пятница или суббота, то точно знаю, что это не четверг. Насколько мне известно, не существует возможного мира, совместимого с четвергом, поскольку во всех этих мирах либо пятница, либо суббота. Хотя мы в первую очередь будем обсуждать логический подход к выполнению этой задачи, стоит упомянуть здесь другой основной используемый метод - событиеоснованный на подходе. В этом конкретном использовании события - это наборы возможных миров, а знания - это оператор событий. Хотя стратегии тесно связаны между собой, между ними следует проводить два важных различия:

• Математической моделью, лежащей в основе логического подхода, является семантика Крипке , тогда как событийный подход использует связанные структуры Ауманна .
• В подходе, основанном на событиях, полностью отсутствуют логические формулы, тогда как подход, основанный на логике, использует систему модальной логики.

Как правило, подход, основанный на логике, используется в таких областях, как философия, логика и искусственный интеллект, в то время как подход, основанный на событиях, чаще используется в таких областях, как теория игр и математическая экономика . В подходе, основанном на логике, синтаксис и семантика были построены с использованием языка модальной логики, который мы сейчас опишем.

Синтаксис [ править ]

Базовый модальный оператор эпистемической логики, обычно обозначаемый буквой K , может быть прочитан как «известно, что», «это эпистемически необходимо» или «это несовместимо с тем, что известно, что нет». Если имеется более одного агента, чьи знания должны быть представлены, индексы могут быть добавлены к оператору ( , и т. Д.), Чтобы указать, о каком агенте идет речь. Это можно прочесть как «Агент это знает ». Таким образом, эпистемическая логика может быть примером мультимодальной логики, применяемой для представления знаний . ^[1] Двойственное к K , которое будет в том же отношении к K, что и к${\ displaystyle {\ mathit {K}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ mathit {K}} _ {2}}$${\ Displaystyle {\ mathit {K}} _ {а} \ varphi}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ Diamond}$${\ displaystyle \ Box}$, не имеет специального символа, но может быть представлен как , что можно читать как « не знает, что нет » или «это согласуется со знанием того, что возможно». Утверждение « не знает, действительно ли » может быть выражено как .${\ displaystyle \ neg K_ {a} \ neg \ varphi}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ neg K_ {a} \ varphi \ land \ neg K_ {a} \ neg \ varphi}$

Чтобы учесть общие знания и распределенные знания , к языку могут быть добавлены три других модальных оператора. Это , что гласит: «Каждый агент в группе G знает»; , который гласит: «это общеизвестно каждому агенту в G;» и , который гласит: «информация распространяется каждому агенту в G.» Если формула нашего языка, то и , и . Так же , как индекс после того, как может быть опущен , когда есть только один агент, после того, как индекс модальных операторов , и может быть опущен , когда группа представляет собой совокупность всех агентов.${\ displaystyle {\ mathit {E}} _ {\ mathit {G}}}$${\ Displaystyle {\ mathit {C}} _ ​​{\ mathit {G}}}$${\ Displaystyle {\ mathit {D}} _ {\ mathit {G}}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle {\ mathit {E}} _ {G} \ varphi}$${\displaystyle {\mathit {C}}_{G}\varphi }$${\displaystyle {\mathit {D}}_{G}\varphi }$${\displaystyle {\mathit {K}}}$${\displaystyle {\mathit {E}}}$${\displaystyle {\mathit {C}}}$${\displaystyle {\mathit {D}}}$

Семантика [ править ]

Как мы упоминали выше, подход, основанный на логике, построен на модели возможных миров, семантика которой часто принимает определенную форму в структурах Крипке, также известных как модели Крипке. Структура Крипке M для n агентов над - это (n + 2) -набор , где S - непустой набор состояний или возможных миров , - это интерпретация , которая связывает с каждым состоянием в S присвоение истинности примитивным предложениям в , и являются бинарными отношениями на S для n номеров агентов. Здесь важно не путать наш модальный оператор и наше отношение доступности.${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle (S,\pi ,{\mathcal {K}}_{1},...,{\mathcal {K}}_{n})}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\mathcal {K}}_{1},...,{\mathcal {K}}_{n}}$${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$

Присвоение истинности говорит нам, истинно или ложно предложение p в определенном состоянии. Так говорит нам, истинно ли p в состоянии s в модели . Истина зависит не только от структуры, но и от текущего мира. То, что что-то верно в одном мире, не означает, что это правда в другом. Чтобы заявить, что формула верна в определенном мире, пишут , обычно читается как « верно в (M, s)» или «(M, s) удовлетворяет ».${\displaystyle \pi (s)(p)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (M,s)\models \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

Полезно думать о нашем бинарном отношении как о возможном отношении, потому что оно предназначено для определения того, какие миры или состояния агент я считаю возможными. В идеализированных отчетах о знании (например, при описании эпистемического статуса совершенных рассуждающих с бесконечной емкостью памяти) имеет смысл быть отношением эквивалентности , поскольку это самая сильная форма и наиболее подходящая для наибольшего числа приложений. Отношение эквивалентности - это бинарное отношение, которое является рефлексивным , симметричным и транзитивным.${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$. Отношение доступности не обязательно должно иметь эти качества; безусловно, возможны и другие варианты, например, те, которые используются при моделировании веры, а не знания.

Свойства знания [ править ]

Предполагая, что это отношение эквивалентности и что агенты являются совершенными рассуждающими, можно вывести несколько свойств знания. Перечисленные здесь свойства часто называют «Свойства S5» по причинам, описанным в разделе «Системы аксиом» ниже.${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$

Аксиома распределения [ править ]

Эта аксиома традиционно известна как K . В эпистемологической терминологии он утверждает, что если агент знает и знает это , то агент также должен знать . Так,${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi \implies \psi }$${\displaystyle \,\psi }$

${\displaystyle (K_{i}\varphi \land K_{i}(\varphi \implies \psi ))\implies K_{i}\psi }$

Эта аксиома действительна для любого фрейма в реляционной семантике .

Правило обобщения знаний [ править ]

Еще одно свойство, которое мы можем вывести, это то, что если действительно, то . Это не означает, что если верно, то агент я знаю . Это означает, что если верно в каждом мире, который агент считает возможным миром, то агент должен знать во всех возможных мирах. Этот принцип традиционно называют N .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle K_{i}\phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\text{if }}\models \varphi {\text{ then }}M\models K_{i}\varphi .\,}$

Это правило всегда сохраняет истину в реляционной семантике .

Аксиома знания или истины [ править ]

Эта аксиома также известен как Т . Он говорит, что если агент знает факты, они должны быть правдой. Это часто считалось основным отличительным признаком между знанием и верой. Мы можем считать утверждение истинным, когда оно ложно, но узнать ложное утверждение невозможно .

${\displaystyle K_{i}\varphi \implies \varphi }$

Эта аксиома верна для любой рефлексивной системы отсчета .

Аксиома позитивной интроспекции [ править ]

Это свойство и следующее свойство означают, что агент занимается самоанализом в отношении своих собственных знаний, и традиционно известны как 4 и 5 соответственно. Аксиома позитивного самоанализа, также известная как аксиома KK, конкретно говорит о том, что агенты знают, что они знают то, что знают . Эта аксиома может показаться менее очевидной, чем перечисленные ранее, и Тимоти Уильямсон категорически возражает против ее включения в свою книгу « Знание и его пределы» .

${\displaystyle K_{i}\varphi \implies K_{i}K_{i}\varphi }$

Эта аксиома верна для любой транзитивной системы отсчета .

Аксиома негативного самоанализа [ править ]

Аксиома отрицательного самоанализа гласит, что агенты знают, что они не знают того, чего не знают .

${\displaystyle \neg K_{i}\varphi \implies K_{i}\neg K_{i}\varphi }$

Эта аксиома верна для любой евклидовой системы отсчета .

Системы аксиом [ править ]

Различные модальные логики могут быть получены из различных подмножеств этих аксиом, и эти логики обычно называют в честь используемых важных аксиом. Тем не менее, это не всегда так. KT45, модальная логика, которая является результатом объединения K , T , 4 , 5 и правила обобщения знаний, в первую очередь известна как S5 . Вот почему описанные выше свойства знания часто называют свойствами S5.

Эпистемическая логика также имеет дело с верой, а не только со знанием. Основной модальный оператор, как правило , написан B вместо K . В этом случае, однако, аксиома знания больше не кажется правильной - агенты лишь иногда верят истине - поэтому ее обычно заменяют аксиомой согласованности, традиционно называемой D :

${\displaystyle \neg B_{i}\bot }$

в котором говорится, что агент не верит в противоречие или в то, что ложно. Когда D заменяет T в S5, результирующая система известна как KD45. Это также приводит к различным свойствам . Например, в системе, где агент «верит» в что-то, что истинно, но на самом деле это не так, отношение доступности будет нерефлексивным. Логика веры называется доксастической логикой .${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$

Проблемы с возможной моделью мира и модальной моделью знания [ править ]

Если мы возьмем подход к знанию с точки зрения возможных миров, из этого следует, что наш эпистемический агент a знает все логические следствия своих убеждений. Если является логическим следствием , то не существует возможного мира, в котором истинно, но не истинно . Итак, если a знает это , из этого следует, что все логические следствия верны для всех возможных миров, совместимых с убеждениями a . Поэтому знает . Это не эпистемический возможно , что not- учитывая его знание , что . Это соображение было частью того, что привело Роберта Сталнакера к разработке${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$двумерность , которая, возможно, может объяснить, почему мы можем не знать всех логических следствий наших убеждений, даже если нет миров, в которых утверждения, которые мы знаем, оказываются верными, а их последствия ложными. ^[2]

Даже когда мы игнорируем возможную семантику мира и придерживаемся аксиоматических систем, эта особенность сохраняется. С помощью K и N (правила распределения и правила обобщения знаний соответственно), которые являются аксиомами, минимально верными для всех нормальных модальных логик, мы можем доказать, что знаем все логические следствия наших убеждений. Если это логическое следствие , то мы можем получить с N и условным доказательством , а затем с K . Когда мы переводим это в эпистемологические термины, это говорит о том, что если является логическим следствием , то знает , что это такое, и если знает${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {K}}_{a}(P\rightarrow Q)}$${\displaystyle {\mathcal {K}}_{a}P\rightarrow {\mathcal {K}}_{a}Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$, Знает . Другими словами, a знает все логические следствия каждого предложения. Это обязательно верно для всех классических модальных логик. Но тогда, например, если a знает, что простые числа делятся только сами по себе и на единицу, тогда a знает, что 8683317618811886495518194401279999999 является простым (поскольку это число делится только на себя и на единицу). Другими словами, согласно модальной интерпретации знания, когда a знает определение простого числа, a знает, что это число является простым. Должно быть ясно , в этот момент , что в${\displaystyle Q}$не человек. Это показывает, что эпистемическая модальная логика представляет собой идеализированное объяснение знания и объясняет объективное, а не субъективное знание (во всяком случае). ^[3]

См. Также [ править ]

• Всем известный факт
• Закрытие эпистемы
• Эпистемология
• Логика в информатике
• Модальная логика
• Философские объяснения
• Двумерность

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Андерсон, А. и Н.Д. Белнап. Привлечение: логика релевантности и необходимости. Princeton: Princeton University Press , 1975. ASIN B001NNPJL8.
• Браун, Бенджамин, Мысли и способы мышления: теория источников и ее приложения. Лондон: Ubiquity Press , 2017. [1] .
• ван Дитмарш Ханс, Халперн Джозеф Й., ван дер Хук Вибе и Куи Бартельд (ред.), Справочник по эпистемической логике , Лондон: College Publications, 2015.
• Феджин, Рональд; Халперн, Джозеф; Моисей, Йорам; Варди, Моше (2003). Рассуждения о знаниях . Кембридж: MIT Press . ISBN 978-0-262-56200-3.. Классическая справка.
• Рональд Феджин, Джозеф Халперн, Моше Варди. «Нестандартный подход к проблеме логического всеведения». Искусственный интеллект , том 79, номер 2, 1995 г., стр. 203-40.
• Хендрикс, В. Ф. Мейнстрим и формальная эпистемология. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета , 2007.
• Хинтикка, Яакко (1962). Знание и вера - введение в логику двух понятий . Итака: Издательство Корнельского университета . ISBN 978-1-904987-08-6..
• Мейер, Дж. Дж. К., 2001, «Эпистемическая логика», в Гобле, Лу, изд., Блэквелл: Руководство по философской логике . Блэквелл .
• Монтегю, Р. "Универсальная грамматика". Теоретика , Том 36, 1970, с. 373-398.
• Решер, Николас (2005). Эпистемическая логика: обзор логики знания . Университет Питтсбурга Press . ISBN 978-0-8229-4246-7..
• Шохам, Йоав; Лейтон-Браун, Кевин (2009). Мультиагентные системы: алгоритмические, теоретико-игровые и логические основы . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-89943-7.. См. Главы 13 и 14; скачать бесплатно онлайн .

Внешние ссылки [ править ]

• «Динамическая эпистемическая логика» . Интернет-энциклопедия философии .
• Хендрикс, Винсент; Саймонс, Джон. «Эпистемическая логика» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Гарсон, Джеймс. «Модальная логика» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Vanderschraaf, Питер. «Общие знания» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Эпистемическая модальная логика в PhilPapers
• « Эпистемическая модальная логика » - Хо Нгок Дык.