Рел треугольник [œlo] - это форма, образованная пересечением трех круглых дисков , центр каждого из которых находится на границе двух других. Его граница - кривая постоянной ширины , самая простая и известная такая кривая, кроме самого круга. Это многоугольник Рело , кривая постоянной ширины, образованная дугами окружности. [1] Постоянная ширина означает, что расстояние между каждыми двумя параллельными опорными линиями одинаково, независимо от их ориентации. Поскольку все его диаметры одинаковы, треугольник Рело является одним из ответов на вопрос: «Помимо круга, какой формы можно сделать крышку люка , чтобы она не провалилась через отверстие?» [2]
Треугольники Рело также называются сферическими треугольниками , но этот термин более правильно относится к треугольникам на изогнутой поверхности сферы . Они названы в честь Рёл , [3] немецкий инженер 19-го века , который впервые изучение машин для перевода одного вида движения в другое, и который использовал Рел треугольники в его конструкции. [4] Однако эти формы были известны и до его времени, например, дизайнерами готических церковных окон, Леонардо да Винчи , который использовал их для проекции карты , и Леонардом Эйлером в его исследовании форм постоянной ширины. Другие применения треугольника Рило включают придание формы медиаторам , гайкам пожарного гидранта , карандашам и сверлам для сверления квадратных отверстий со скругленными кромками , а также в графическом дизайне в форме некоторых знаков и корпоративных логотипов.
Среди форм постоянной ширины с заданной шириной треугольник Рело имеет минимальную площадь и самый острый (наименьший) возможный угол (120 °) в углах. По нескольким численным показателям он дальше всего от центрально-симметричной . Он обеспечивает самую большую форму постоянной ширины, избегая точек целочисленной решетки , и тесно связан с формой четырехугольника, максимизируя отношение периметра к диаметру. Он может совершать полное вращение внутри квадрата, постоянно касаясь всех четырех сторон квадрата, и имеет минимально возможную площадь форм с этим свойством. Однако, хотя он покрывает большую часть квадрата в этом процессе вращения, он не может покрыть небольшую часть площади квадрата около его углов. Из-за этого свойства вращения внутри квадрата треугольник Рело также иногда называют ротором Рело . [5]
Треугольник Рело - первый из последовательности многоугольников Рело , границы которых представляют собой кривые постоянной ширины, образованные из правильных многоугольников с нечетным числом сторон. Некоторые из этих кривых использовались как формы монет . Треугольник Рело можно также обобщить в трех измерениях несколькими способами: тетраэдр Рело (пересечение четырех шаров , центры которых лежат на правильном тетраэдре ) не имеет постоянной ширины, но может быть изменен путем округления его краев для образования тетраэдра Мейснера , что делает. В качестве альтернативы поверхность вращения треугольника Рело также имеет постоянную ширину.
Строительство
Треугольник Рело может быть построен либо непосредственно из трех окружностей , либо путем округления сторон равностороннего треугольника . [6]
Построение трех кругов может быть выполнено только с помощью циркуля , даже без использования линейки. По Mohr-Mascheroni теоремы то же самое верно в более общем случае любого построение с помощью циркуля и линейки , [7] , но конструкция для треугольника Рело особенно прост. Первый шаг - отметить две произвольные точки на плоскости (которые в конечном итоге станут вершинами треугольника) и с помощью циркуля начертить круг с центром в одной из отмеченных точек через другую отмеченную точку. Затем рисуется второй круг того же радиуса с центром в другой отмеченной точке и проходящий через первую отмеченную точку. Наконец, рисуется третий круг, опять же того же радиуса, с центром в одной из двух точек пересечения двух предыдущих кругов, проходящий через обе отмеченные точки. [8] Центральная область в получившемся расположении трех окружностей будет треугольником Рело. [6]
В качестве альтернативы, треугольник Рело может быть построен из равностороннего треугольника T , нарисовав три дуги окружностей, каждая с центром в одной вершине T и соединив две другие вершины. [9] Или, что то же самое, она может быть сконструирована как пересечение трех дисков , центрированных в вершинах Т , с радиусом , равным длине боковой части Т . [10]
Математические свойства
Самым основным свойством треугольника Рело является то, что он имеет постоянную ширину, что означает, что для каждой пары параллельных опорных линий (двух линий с одинаковым наклоном, которые касаются формы, но не пересекают ее) две линии имеют одинаковое евклидово расстояние от друг друга, независимо от ориентации этих линий. [9] В любой паре параллельных опорных линий одна из двух обязательно будет касаться треугольника в одной из его вершин. Другая опорная линия может касаться треугольника в любой точке противоположной дуги, и их расстояние (ширина треугольника Рело) равно радиусу этой дуги. [11]
Первым математиком, который обнаружил существование кривых постоянной ширины и заметил, что треугольник Рело имеет постоянную ширину, возможно, был Леонард Эйлер . [5] В статье, которую он представил в 1771 году и опубликовал в 1781 году под названием De curvis triangularibus , Эйлер изучал криволинейные треугольники, а также кривые постоянной ширины, которые он назвал орбиформными. [12] [13]
Экстремальные меры
По многим параметрам треугольник Рело - одна из самых крайних кривых постоянной ширины.
По теореме Бляшке – Лебега треугольник Рело имеет наименьшую возможную площадь любой кривой заданной постоянной ширины. Эта область
где s - постоянная ширина. Один из методов вывода этой формулы площади состоит в том, чтобы разделить треугольник Рело на внутренний равносторонний треугольник и три криволинейные области между этим внутренним треугольником и дугами, образующими треугольник Рело, а затем сложить площади этих четырех наборов. С другой стороны, кривая постоянной ширины с максимально возможной площадью представляет собой круглый диск с площадью. [14]
Углы, образованные каждой парой дуг в углах треугольника Рело, равны 120 °. Это самый острый угол в любой вершине любой кривой постоянной ширины. [9] Кроме того, среди кривых постоянной ширины треугольник Рело - это тот, в котором вписаны как наибольший, так и наименьший равносторонние треугольники. [15] Самый большой равносторонний треугольник, вписанный в треугольник Рело, - это тот, который соединяет его три угла, а самый маленький - тот, который соединяет три середины его сторон. Подмножество треугольника Рело, состоящее из точек, принадлежащих трем или более диаметрам, является внутренней частью большего из этих двух треугольников; она имеет большую площадь, чем набор точек трех диаметров любой другой кривой постоянной ширины. [16]
Хотя треугольник Рело обладает шестикратной двугранной симметрией , такой же, как и равносторонний треугольник , у него нет центральной симметрии . Треугольник Рело - это наименее симметричная кривая постоянной ширины в соответствии с двумя различными мерами центральной асимметрии, мерой Ковнера-Безиковича (отношение площади к наибольшей центрально-симметричной форме, заключенной в кривую) и мерой Эстермана (отношение площади к наименьшая центрально-симметричная форма, охватывающая кривую). Для треугольника Рело две центрально-симметричные формы, определяющие меры асимметрии, являются гексагональными , хотя внутренняя имеет изогнутые стороны. [17] Треугольник Рело имеет диаметры, которые делят его площадь более неравномерно, чем любая другая кривая постоянной ширины. То есть максимальное соотношение площадей по обе стороны от диаметра, еще одна мера асимметрии, больше для треугольника Рело, чем для других кривых постоянной ширины. [18]
Среди всех форм постоянной ширины, исключающих все точки целочисленной решетки , наибольшая ширина имеет треугольник Рело. У него одна из осей симметрии параллельна осям координат на полуцелой прямой. Его ширина, приблизительно 1,545, является корнем полинома шестой степени с целыми коэффициентами. [17] [19] [20]
Так же, как круг может быть окружен шестью совпадающими кругами, которые соприкасаются с ним, можно также расположить семь конгруэнтных треугольников Рело так, чтобы все они соприкасались с центральным треугольником Рело того же размера. Это максимально возможное число для любой кривой постоянной ширины. [21]
Среди всех четырехугольников форма, имеющая наибольшее отношение периметра к диаметру, - это равнодиагональный змей, который можно вписать в треугольник Рело. [22]
Прочие меры
По теореме Барбье все кривые одинаковой постоянной ширины, включая треугольник Рело, имеют равные периметры . В частности, этот периметр равен периметру круга той же ширины, которая равна. [23] [24] [9]
Радиусы наибольшей вписанной окружности треугольника Рело шириной s и описанной окружности того же треугольника равны
соответственно; сумма этих радиусов равна ширине треугольника Рело. В более общем смысле, для каждой кривой постоянной ширины наибольший вписанный круг и наименьший описанный круг являются концентрическими, а их радиусы суммируются с постоянной шириной кривой. [25]
Насколько плотно треугольники Рело могут быть упакованы в плоскости?
Оптимальная плотность упаковки треугольника Рело на плоскости остается недоказанной, но предполагается, что она равна
которая представляет собой плотность одной возможной двойной упаковки решетки для этих форм. Наилучшая проверенная верхняя граница плотности упаковки составляет приблизительно 0,947275. [26] Было также высказано предположение, но не доказано, что треугольники Рело имеют самую высокую плотность упаковки из всех кривых постоянной ширины. [27]
Вращение внутри квадрата
Любая кривая постоянной ширины может образовывать ротор внутри квадрата , форму, которая может совершать полное вращение, оставаясь внутри квадрата и всегда касаясь всех четырех сторон квадрата. Однако треугольник Рело - это ротор с минимально возможной площадью. [9] Когда он вращается, его ось не остается неподвижной в одной точке, а вместо этого следует кривой, образованной частями четырех эллипсов . [28] Из-за углов в 120 ° вращающийся треугольник Рело не может достигать некоторых точек рядом с более острыми углами в вершинах квадрата, а скорее покрывает форму со слегка закругленными углами, также образованную эллиптическими дугами. [9]
В любой момент во время этого поворота два угла треугольника Рело касаются двух соседних сторон квадрата, а третий угол треугольника очерчивает кривую около противоположной вершины квадрата. Форма, очерченная вращающимся треугольником Рело, покрывает примерно 98,77% площади квадрата. [29]
В качестве контрпримера
Первоначальная мотивация Рило к изучению треугольника Рело была в качестве контрпримера, показывающего, что трех одноточечных контактов может быть недостаточно, чтобы зафиксировать плоский объект в одной позиции. [30] Существование треугольников Рело и других кривых постоянной ширины показывает, что измерения диаметра сами по себе не могут подтвердить, что объект имеет круглое поперечное сечение. [31]
В связи с вписанной квадратной задачей , Эгглстон (1958) наблюдал , что треугольник Рело представляет собой пример постоянной шириной формы , в которой нет правильного многоугольник с более чем четырех сторон не может быть вписан, кроме правильного шестиугольника, и он описал небольшой модификация этой формы, которая сохраняет ее постоянную ширину, но также предотвращает вписывание в нее правильных шестиугольников. Он обобщил этот результат на три измерения, используя цилиндр той же формы, что и его поперечное сечение . [32]
Приложения
Достигая углов
Некоторые типы машин имеют форму треугольника Рело, основанного на его способности вращаться внутри квадрата.
Watts Brothers Tool Works квадрата Сверло имеет форму треугольника Рел, модифицированную с углублениями для образования режущих поверхностей. При установке в специальный патрон, который позволяет долоту не иметь фиксированного центра вращения, она может просверлить отверстие почти квадратной формы. [33] Несмотря на то, что Генри Уоттс был запатентован в 1914 году, подобные сверла, изобретенные другими, использовались и раньше. [9] Другие многоугольники Рило используются для сверления пятиугольных, шестиугольных и восьмиугольных отверстий. [9] [33]
Робот- пылесос RULO от Panasonic имеет форму, основанную на треугольнике Рело, чтобы облегчить уборку пыли в углах комнаты. [34] [35]
Цилиндры качения
Другой класс приложений треугольника Рело - это цилиндрические объекты с поперечным сечением треугольника Рело. Несколько карандашей производятся именно этой формы, а не более традиционных круглых или шестиугольных стержней. [36] Их обычно продвигают как более удобных или способствующих правильному захвату, а также за то, что они с меньшей вероятностью скатываются со стола (поскольку центр тяжести перемещается вверх и вниз больше, чем катящийся шестиугольник).
Треугольник Рело (вместе со всеми остальными кривыми постоянной ширины ) может катиться, но из него получается плохое колесо, потому что он не катится вокруг фиксированного центра вращения. Объект на роликах с поперечным сечением треугольника Рело будет катиться плавно и ровно, но ось, прикрепленная к колесам треугольника Рело, будет подпрыгивать вверх и вниз три раза за один оборот. [9] [37] Эта концепция была использована в научно-фантастическом рассказе Пола Андерсона под названием «Трехугольное колесо». [11] [38] Велосипед с плавающими осями и рамой, поддерживаемой ободом колеса в форме треугольника Рело, был построен и продемонстрирован в 2009 году китайским изобретателем Гуан Байхуа, который был вдохновлен карандашами такой же формы. [39]
Конструкция механизма
Другой класс приложений треугольника Рело включает его использование как часть механической связи, которая может преобразовывать вращение вокруг фиксированной оси в возвратно-поступательное движение . [10] Эти механизмы были изучены Францем Рёло. При содействии компании Gustav Voigt, Reuleaux построил около 800 моделей механизмов, некоторые из которых включали треугольник Reuleaux. [40] Рило использовал эти модели в своих новаторских научных исследованиях их движения. [41] Хотя большинство моделей Рело-Фойгта были утеряны, 219 из них были собраны в Корнельском университете , в том числе девять основаны на треугольнике Рело. [40] [42] Однако использование треугольников Рело в конструкции механизмов предшествовало работе Рело; например, некоторые паровые машины еще с 1830 года имели кулачок в форме треугольника Рело. [43] [44]
Одно применение этого принципа возникает в кинопроекторе . В этом приложении необходимо продвигать пленку рывками, пошагово, при этом каждый кадр пленки останавливается на долю секунды перед объективом проектора, а затем гораздо быстрее пленка перемещается к следующему. Рамка. Это можно сделать с помощью механизма, в котором вращение треугольника Рело внутри квадрата используется для создания модели движения для исполнительного механизма, который быстро подтягивает пленку к каждому новому кадру, а затем приостанавливает движение пленки во время проецирования кадра. [45]
Ротор двигателя Ванкеля имеет форму криволинейного треугольника, который часто приводится в качестве примера треугольника Рело. [3] [5] [9] [44] Однако его изогнутые стороны несколько более плоские, чем у треугольника Рело, и поэтому он не имеет постоянной ширины. [46]
Архитектура
В готической архитектуре , начиная с конца 13 века или начала 14 века [47], треугольник Рело стал одной из нескольких криволинейных форм, часто используемых для окон, оконных узоров и других архитектурных украшений. [3] Например, в английской готической архитектуре эта форма была связана с декорированным периодом, как в геометрическом стиле 1250–1290 годов, так и в его криволинейном стиле 1290–1350 годов. [47] Он также появляется в некоторых окнах Миланского собора . [48] В этом контексте фигуру чаще называют сферическим треугольником [47] [49] [50], но более обычное математическое значение сферического треугольника - это треугольник на поверхности сферы (форма также обычно используется в архитектуре как подвеска ). В ее использовании в готической церковной архитектуре, треугольная форму треугольника Рел можно рассматривать и как символ Троицы , [51] и как «акт оппозиции к форме круга». [52]
Треугольник Рело также использовался в других стилях архитектуры. Например, Леонардо да Винчи набросал эту форму как план укрепления. [42] Современные здания , которые были Заявленные использовать треугольник Рело фасонные планировка включать MIT Кресдж Auditorium , в Kölntriangle , в Donauturm , в Торре - де - Collserola , и Mercedes-Benz Museum . [53] Однако во многих случаях это просто скругленные треугольники с другой геометрией, чем треугольник Рело.
Картографирование
Еще одним ранним применением треугольника Рело, карты мира да Винчи примерно 1514 года, была карта мира, на которой сферическая поверхность Земли была разделена на восемь октантов, каждый из которых был сплюснут в форме треугольника Рело. [54] [55] [56]
Подобные карты, также основанные на треугольнике Рело, были опубликованы Оронсом Фине в 1551 году и Джоном Ди в 1580 году [56].
Прочие объекты
Во многих медиаторах используется треугольник Рило, поскольку его форма сочетает в себе острый острие, обеспечивающее сильную артикуляцию, с широким наконечником для получения теплого тембра. Поскольку все три точки формы можно использовать, ее легче ориентировать, и она изнашивается менее быстро по сравнению с киркой с одним наконечником. [57]
Треугольник Рело был использован в качестве формы поперечного сечения гайки клапана пожарного крана. Постоянная ширина этой формы затрудняет открытие пожарного гидранта стандартными гаечными ключами с параллельными губками; вместо этого нужен гаечный ключ особой формы. Это свойство позволяет открывать пожарные гидранты пожарным (у которых есть специальный гаечный ключ), но не другим людям, пытающимся использовать гидрант в качестве источника воды для других целей. [58]
После предложение Кето (1997) , [59] антенны из субмиллиметрового массива , радио-волны астрономической обсерватории на Мауна Кеа на Гавайях , расположены на четырех вложенных друг в друга треугольников Рело. [60] [61] Размещение антенн на кривой постоянной ширины позволяет обсерватории иметь одинаковое пространственное разрешение во всех направлениях и обеспечивает круговой луч наблюдения. Как наиболее асимметричная кривая постоянной ширины, треугольник Рело приводит к наиболее равномерному покрытию плоскости для преобразования Фурье сигнала от массива. [59] [61] Антенны можно перемещать из одного треугольника Рело в другой для различных наблюдений в соответствии с желаемым угловым разрешением каждого наблюдения. [60] [61] Точное размещение антенн на этих треугольниках Рело было оптимизировано с помощью нейронной сети . В некоторых местах построенная обсерватория отклоняется от предпочтительной формы треугольника Рело, потому что эта форма была невозможна на данном участке. [61]
Знаки и логотипы
Форма щита, используемая для многих знаков и корпоративных логотипов, представляет собой закругленные треугольники. Однако лишь некоторые из них являются треугольниками Рело.
В корпоративном логотипе Petrofina (Fina), бельгийской нефтяной компании с основными операциями в Европе, Северной Америке и Африке, использовался треугольник Рело с названием Fina с 1950 года до слияния Petrofina с Total SA в 2000 году. [62] [63] Другой логотип компании оформлен в треугольнике Рел, юго-указывая компасом из Баварии Brewery , была частью макияжа по дизайну компании Total идентичности , которая выиграла SAN 2010 Рекламодатель год награды. [64] Треугольник Рило также используется в логотипе Горной школы Колорадо . [65]
В Соединенных Штатах, Национальные Трассы системы и система маршрутов США велосипедов обе оценки маршрутов с Рели треугольники на разметке. [66]
В природе
Согласно законам Плато , дуги окружности в двумерных скоплениях мыльных пузырей пересекаются под углами 120 °, тем же углом, что и в углах треугольника Рело. На основании этого факта можно построить кластеры, в которых часть пузырьков принимает форму треугольника Рело. [67]
Форма была впервые выделена в форме кристалла в 2014 году в виде дисков треугольника Рело. [68] Диски из основного нитрата висмута в форме треугольника Рело были сформированы в результате гидролиза и осаждения нитрата висмута в системе этанол-вода в присутствии 2,3-бис (2-пиридил) пиразина.
Обобщения
Треугольные кривые постоянной ширины с гладкими, а не острыми углами могут быть получены как геометрическое место точек на фиксированном расстоянии от треугольника Рело. [69] Другие обобщения треугольника Рело включают поверхности в трех измерениях, кривые постоянной ширины с более чем тремя сторонами и множества Янмути, которые предоставляют крайние примеры неравенства между шириной, диаметром и внутренним радиусом.
Трехмерная версия
Пересечение четырех шаров радиуса s с центрами в вершинах правильного тетраэдра с длиной стороны s называется тетраэдром Рело , но его поверхность не является поверхностью постоянной ширины . [70] Однако его можно превратить в поверхность постоянной ширины, называемую тетраэдром Мейснера , путем замены трех его краевых дуг изогнутыми поверхностями, поверхностями вращения по дуге окружности. В качестве альтернативы, поверхность вращения треугольника Рело через одну из его осей симметрии образует поверхность постоянной ширины с минимальным объемом среди всех известных поверхностей вращения данной постоянной ширины. [71]
Полигоны Reuleaux
Треугольник Рело может быть обобщен на правильные или неправильные многоугольники с нечетным числом сторон, в результате чего получается многоугольник Рело , кривая постоянной ширины, образованная из дуг окружности постоянного радиуса. Постоянная ширина этих форм позволяет использовать их в качестве монет в монетных автоматах. [9] Хотя монеты этого типа в общем обращении обычно имеют более трех сторон, треугольник Рело использовался для памятной монеты с Бермудских островов . [53]
Подобные методы можно использовать для заключения произвольного простого многоугольника в кривую постоянной ширины, ширина которой равна диаметру данного многоугольника. Результирующая форма состоит из дуг окружности (самое большее количество сторон многоугольника), может быть построена алгоритмически за линейное время и может быть нарисована с помощью циркуля и линейки. [72] Хотя все многоугольники Рело имеют нечетное количество сторон дуги окружности, можно построить фигуры постоянной ширины с четным количеством сторон дуги окружности различных радиусов. [73]
Yanmouti наборы
Множества Янмоути определяются как выпуклые оболочки равностороннего треугольника вместе с тремя дугами окружности, центрированными в вершинах треугольника и охватывающими тот же угол, что и треугольник, с равными радиусами, которые не более чем равны длине стороны треугольника. Таким образом, когда радиус достаточно мал, эти множества вырождаются в сам равносторонний треугольник, но когда радиус настолько велик, насколько это возможно, они равны соответствующему треугольнику Рело. Каждая форма с шириной w , диаметром d и inradius r (радиус наибольшего возможного круга, содержащегося в форме) подчиняется неравенству
и это неравенство становится равенством для множеств Янмоути, показывая, что его нельзя улучшить. [74]
Связанные цифры
В классическом представлении диаграммы Венна из трех наборов в виде трех перекрывающихся кругов центральная область (представляющая элементы, принадлежащие всем трем наборам) принимает форму треугольника Рело. [3] Те же три круга образуют один из стандартных рисунков колец Борромео , три взаимосвязанных кольца, которые, однако, не могут быть реализованы как геометрические круги. [75] Части тех же кругов используются для образования triquetra , фигуры из трех перекрывающихся полукругов (каждый из которых образует символ vesica piscis ), в центре которого снова находится треугольник Рело; [76] Точно так же, как три окружности диаграммы Венна могут быть переплетены для образования колец Борромео, три дуги окружностей трикетра могут быть переплетены, образуя узел-трилистник . [77]
Родственники треугольника Рело возникают в проблеме поиска минимальной формы периметра, которая охватывает фиксированную площадь и включает три заданные точки на плоскости. Для широкого диапазона выбора параметра площади оптимальным решением этой проблемы будет изогнутый треугольник, три стороны которого представляют собой дуги окружности с одинаковыми радиусами. В частности, когда три точки равноудалены друг от друга, а площадь равна площади треугольника Рело, треугольник Рело является оптимальным ограждением. [78]
Круглые треугольники - это треугольники с ребрами дуги окружности, включая треугольник Рело, а также другие формы. Дельтоида другого типа криволинейного треугольника, но тот , в котором кривые замене каждой стороны равностороннего треугольника являются вогнутыми , а не выпуклым. Он не состоит из дуг окружности, но может быть образован путем перекатывания одного круга внутри другого, радиус которого в три раза превышает радиус. [79] Другие плоские формы с тремя изогнутыми сторонами включают арбелос , который образован из трех полукругов с коллинеарными концами [80] и треугольник Безье . [81]
Треугольник рёл также может быть интерпретирован как конформное изображение в виде сферического треугольника с углами по 120 °. [67] Этот сферический треугольник является одним из треугольников Шварца (с параметрами 3/2, 3/2, 3/2), треугольников, ограниченных дугами большого круга на поверхности сферы, которые могут покрывать сферу путем отражения. [82]
Рекомендации
- ^ Гарднер (2014) называет его самым простым, а Грубер (1983 , стр. 59) называет его «самым печально известным».
- ^ Клее, Виктор (1971), "Формы будущего", The Two-Year College Mathematics Journal , 2 (2): 14-27, DOI : 10,2307 / 3026963 , JSTOR 3026963.
- ^ а б в г Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2011), Иконы математики: исследование двадцати ключевых образов , Dolciani Mathematical Expositions, 45 , Mathematical Association of America, стр. 155 , ISBN 978-0-88385-352-8.
- ^ Луна, FC (2007), Машины Леонардо да Винчи и Франца Рило: кинематика машин от Возрождения до 20-го века , История механизмов и машиноведения, 2 , Springer, ISBN 978-1-4020-5598-0.
- ^ а б в Брайант, Джон; Сангвин, Крис (2011), Насколько круглый ваш круг ?: Где встречаются инженерия и математика , Princeton University Press, стр. 190 , ISBN 978-0-691-14992-9.
- ^ а б Ханн, Майкл (2014), Структура и форма в дизайне: критические идеи для творческой практики , A&C Black, стр. 34, ISBN 978-1-4725-8431-1.
- ^ Hungerbühler, Норберт (1994), "Краткий элементарное доказательство теоремы Мор-Mascheroni", American Mathematical Monthly , 101 (8): 784-787, CiteSeerX 10.1.1.45.9902 , DOI : 10,2307 / 2974536 , JSTOR 2974536 , MR 1299166.
- ^ Эта конструкция кратко описана Maor & Jost (2014) и может быть замечена, например, в видео Fun with Reuleaux triangles от Alex Franke, 21 августа 2011 года.
- ^ Б с д е е г ч я J K Гарднер, Мартин (2014), «Глава 18: Кривые постоянной ширины», Узлы и кольца Борромео, Rep-Tiles и восемь королев , Новая математическая библиотека Мартина Гарднера, 4 , Cambridge University Press, стр. 223–245, ISBN 978-0-521-75613-6.
- ^ а б Клее, Виктор ; Вагон, С. (1991), Старые и новые нерешенные проблемы плоской геометрии и теории чисел , Математические изложения Дольчиани, 11 , Cambridge University Press, стр. 21, ISBN 978-0-88385-315-3.
- ^ а б Маор, Эли; Йост, Ойген (2014), "46 The Reuleaux Triangle", Beautiful Geometry , Princeton University Press, стр. 154–156, ISBN 978-1-4008-4833-1.
- ^ Райх, Карин (2007), «Вклад Эйлера в дифференциальную геометрию и ее восприятие», у Брэдли, Роберт Э .; Сандифер, Ed (ред.), Леонард Эйлер: Жизнь, работа и Наследие , Исследования по истории и философии математики, 5 ., Elsevier, стр 479-502, DOI : 10.1016 / S0928-2017 (07) 80026-0 , ISBN 9780444527288. См., В частности, раздел 1.4, «Орбиформы, 1781», стр. 484–485 .
- ^ Эйлер, Леонард (1781), "De curvis triangularibus" , Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (на латыни), 1778 : 3–30. См., В частности, стр. 7 для определения орбиформ.
- ^ Грубер, Питер М. (1983), Выпуклость и ее приложения , Биркхойзер, стр. 67 , ISBN 978-3-7643-1384-5
- ↑ Gruber (1983 , с. 76).
- ^ Макеев В.В. (2000), "Экстремальное свойство треугольника Рело", Зап. Научн. Сем. С.-Петербург. Отдел. Мат. Inst. Стеклова. (ПОМИ) , 267 (геом я Тополей 5..): 152-155, 329, DOI : 10,1023 / A: 1021287302603 , МР 1809823 , S2CID 116027099.
- ^ а б Финч, Стивен Р. (2003), «8.10 Константы треугольника Рило» (PDF) , Математические константы , Энциклопедия математики и ее приложений, Cambridge University Press, стр. 513–514 , ISBN 978-0-521-81805-6.
- ^ Groemer, H .; Валлен, LJ (2001), "Мера асимметрии для областей постоянной ширины", Beiträge zur Algebra und Geometrie , 42 (2): 517–521, MR 1865537.
- ↑ Gruber (1983 , с. 78).
- ^ Соли, GT (1969), "Максимальный набор постоянной ширины в решетке" , Тихоокеанский журнал математики , 28 (3): 669-674, DOI : 10,2140 / pjm.1969.28.669 , МР 0240724.
- ^ Фейес Тот, Л. (1967), «О количестве одинаковых дисков, которые могут касаться другого такого же типа», Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica , 2 : 363–367, MR 0221388; Шопп, Дж. (1970), «Uber die Newtonsche Zahl einer Scheibe konstanter Breite», Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica (на немецком языке), 5 : 475–478, MR 0285983.
- ^ Болл, DG (1973), "Обобщение П", Математическая газета , 57 (402): 298-303, DOI : 10,2307 / 3616052 , JSTOR 3616052; Гриффитс, Дэвид; Culpin, Дэвид (1975), "Пи-оптимальных многоугольники", Математическая газета , 59 (409): 165-175, DOI : 10,2307 / 3617699 , JSTOR 3617699.
- ^ Лэй, Стивен Р. (2007), Выпуклые множества и их приложения , Довер, теорема 11.11, стр. 81–82, ISBN 978-0-486-45803-8.
- ^ Барбье, Э. (1860), «Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du Joint Couvert» (PDF) , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 2 e série (на французском языке), 5 : 273–286. См., В частности, стр. 283–285.
- ^ Lay (2007) , теорема 11.8, стр. 80–81 .
- ^ Слепой, G .; Слепой, Р. (1983), «Eine Abschätzung für die Dichte der dichtesten Packung mit Reuleaux-Dreiecken», Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica (на немецком языке), 18 (2–4): 465–469, MR 0787951. Смотрите также Слепой, G .; Слепой, Р. (1987), "Reguläre Packungen мит Рело-Dreiecken", результаты по математике (на немецком языке ), 11 (1-2): 1-7, DOI : 10.1007 / BF03323256 , МР 0880190 , S2CID 121633860.
- ^ Резников, Ховард Л. (2015), О кривых и поверхностях постоянной ширины , arXiv : 1504.06733 , Bibcode : 2015arXiv150406733R.
- ^ Гляйфтнер, Винфрид; Zeitler, Герберт (май 2000 г.), "О треугольнике рёл и его центр масс", результаты по математике , 37 (3-4): 335-344, DOI : 10.1007 / bf03322004 , S2CID 119600507.
- ^ Пиковер, Клиффорд А. (2009), «Треугольник Рило», Математическая книга: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики , Sterling Publishing Company, стр. 266, ISBN 978-1-4027-5796-9.
- ^ Луна (2007) , стр. 239 .
- ^ Грановский В.А.; Siraya, TN, "Метрологическая прослеживаемость и качество измерений промышленных испытаний", в Pavese, F .; Bär, M .; Filtz, J.-R .; Forbes, AB; Pendrill, L .; Широно К. (ред.), Передовые математические и вычислительные инструменты в метрологии и тестировании IX , World Scientific, стр. 194–201.. См., В частности, стр. 200 .
- ^ Эгглстон, HG (1958), "Цифра , вписанная в выпуклых множествах", Американский математический в месяц , 65 (2): 76-80, DOI : 10,2307 / 2308878 , JSTOR 2308878 , МР 0097768.
- ^ а б Как просверлить отверстия в квадратном шестиугольнике, восьмиугольнике, пятиугольнике , Уилмердинг, Пенсильвания: Watts Brothers Tool Works , 1950–1951. (Брошюра на 27 страницах).
- ^ Мотидзуки, Такаши (22 января 2015 г.), «Panasonic выпускает треугольный робот-пылесос» , Япония, в реальном времени, Wall Street Journal.
- ^ Коксворт, Бен (3 марта 2015 г.), «Panasonic входит в игру роботов-пылесосов с треугольным Руло» , Gizmag.
- ^ Гамбер, Джонни (26 апреля 2006 г.), «Обзор Staedtler Noris Ergosoft HB» , Pencil Revolution , получено 22 мая 2015 г..
- ^ Масферрер Леон, Клаудиа; фон Вутенау Майер, Себастьян (декабрь 2005 г.), «Новое изобретение колеса: некруглые колеса», The Mathematical Intelligencer , 27 (4): 7–13, doi : 10.1007 / bf02985852.
- ^ Андерсон, Пол (октябрь 1963 г.), "Трехугловое колесо" , Аналог , стр. 50–69.
- ^ Демпстер, Тайра (17 июня 2009 г.), китаец изобретает велосипед заново , Reuters
- ^ а б Луна, Фрэнсис К. (июль 1999 г.), Коллекция кинематических механизмов Рило в Корнельском университете (PDF) , Библиотека Корнельского университета, архивировано из оригинала (PDF) 14 июня 2020 г..
- ^ Хендерсон, Дэвид В .; Таймина, Дайна (2007), « Изучение значений в геометрии», у Синклера, Натали ; Пимм, Дэвид; Хиггинсон, Уильям (ред.), Математика и эстетическая: Новые подходы к древней Affinity , CMS Книги по математике, Springer, С. 58-83,. DOI : 10.1007 / 978-0-387-38145-9_4 , ЛВП : 1813 / 2714 , ISBN 978-0-387-38145-9. См., В частности, стр. 81 .
- ^ a b Луна (2007 , с. 241).
- ↑ Луна (2007 , с. 240)
- ^ а б Петерсон, Иварс (19 октября 1996 г.), "Роллинг с Рило" , MathTrek , ScienceNews. Перепечатано в Петерсон, Иварс (2002), Математические пути: от сюрреалистических чисел до волшебных кругов , спектр MAA, Математическая ассоциация Америки , стр. 141–144, ISBN 978-0-88385-537-9.
- ^ Lay (2007) , стр. 83 .
- ↑ Gruber (1983 , с. 80); Нэш, Дэвид Х. (март 1977), "Rotary геометрия двигателя", Математика Magazine , 50 (2): 87-89, DOI : 10,1080 / 0025570x.1977.11976621; Бадр, О .; Naik, S .; О'Каллаган, PW; Проберт, SD (1991), "двигатели Ванкеля Роторный как устройства расширения в пара-Ренкина цикла двигателей", Прикладная Энергия , 39 (1): 59-76, DOI : 10,1016 / 0306-2619 (91) 90063-4.
- ^ а б в Харт, Стивен (2010), Средневековый церковный орнамент в Англии , Boydell & Brewer Ltd, стр. 63–64, ISBN 978-1-84383-533-2.
- ^ Маркетти, Елена; Коста, Луиза Росси (2014), «Какие геометрические формы в Миланском соборе?», Уильямс, Ким; Оствальд, Майкл Дж. (Ред.), Архитектура и математика от античности до будущего, том I: от древности до 1500-х годов , Birkhäuser, стр. 509–534, doi : 10.1007 / 978-3-319-00137-1_35
- ^ Паркер, Джон Генри (1850), Словарь терминов, используемых в греческой, римской, итальянской и готической архитектуре , 1 (5-е изд.), Лондон: Дэвид Роуг, стр. 202.
- ^ Burchett, ES (1876), Геометрия практической плоскости , Лондон и Глазго: William Collins, Sons, and Co., подпись к пластине LV, рис..
- ^ Дюран, Гийом (1906), Символизм церквей и церковных украшений: перевод первой книги Rationale Divinorum Officiorum (3-е изд.), Гиббингс, стр. lxxxviii.
- ^ Франкл, Пол; Кроссли, Пол (2000), готическая архитектура , история искусства пеликанов, 19 , Yale University Press, стр. 146, ISBN 978-0-300-08799-4.
- ^ а б Конти, Джузеппе; Паолетти, Рафаэлла (октябрь 2019 г.), «Треугольник Рило в архитектуре и приложениях», Магнаги-Дельфино, Паола; Мел, Джампьеро; Norando, Туллий (ред . ), Лики Геометрии: От Agnesi до Mirzakhani ., Lecture Notes в сетях и системах, Springer, С. 79-89, DOI : 10.1007 / 978-3-030-29796-1_7
- ^ Снайдер, Джон П. (1997), Уплощение Земли: две тысячи лет картографических проекций , University of Chicago Press, стр. 40, ISBN 978-0-226-76747-5.
- ^ Кенинг, Йоханнес (январь 1955), "История географических картографических проекций до 1600", Имаго Мунди , 12 (1): 1-24, DOI : 10,1080 / 03085695508592085 , JSTOR 1150090.
- ^ а б Бауэр, Дэвид И. (февраль 2012), "Необычная проекция на одну из карт Джона Ди в 1580 году " (PDF) , Картографическая Journal , 49 (1): 55-61, DOI : 10,1179 / 1743277411y.0000000015 , S2CID 129873912.
- ^ Гувер, Уилл (ноябрь 1995 г.), Picks !: Красочная сага о старинных целлулоидных гитарных плектрамах , Backbeat Books, стр. 32–33, ISBN 978-0-87930-377-8.
- ^ Мартини, Хорст; Монтехано, Луис; Оливерос, Дебора (2019), Тела постоянной ширины: Введение в выпуклую геометрию с приложениями , Биркхойзер, стр. 3, DOI : 10.1007 / 978-3-030-03868-7 , ISBN 978-3-030-03866-3, Руководство по ремонту 3930585
- ^ а б Кето, Эрик (1997), "Формы взаимно корреляционных интерферометров", The Astrophysical Journal , 475 (2): 843–852, Bibcode : 1997ApJ ... 475..843K , doi : 10.1086 / 303545.
- ^ а б Бланделл, Раймонд (2007), "Субмиллиметровая решетка" (PDF) , Proc. 2007 IEEE / MTT-S International Symposium СВЧ ., Стр 1857-1860, DOI : 10,1109 / mwsym.2007.380132 , ISBN 978-1-4244-0687-6, S2CID 41312640.
- ^ а б в г Хо, Пол Т.П .; Моран, Джеймс М .; Ло, Квок Юнг (2004), «Субмиллиметровый массив», The Astrophysical Journal , 616 (1): L1 – L6, arXiv : astro-ph / 0406352 , Bibcode : 2004ApJ ... 616L ... 1H , doi : 10,1086 / 423245 , S2CID 115133614.
- ^ Гвиллиан, Сэм (16 мая 2015 г.), Интересные материалы: Кривые постоянной ширины , Радио Ньюпорта, архивировано из оригинала 16 июня 2016 г.
- ^ «История логотипа Fina: от Petrofina до Fina» , Итого: презентация группы , Total SA, заархивировано из оригинала 26 декабря 2012 г. , получено 31 октября 2015 г..
- ^ "Global: Bavaria, Fundamental Rebranding Operation в Баварии" , Total Identity , заархивировано из оригинала 30 июня 2015 г. , получено 27 июня 2015 г.CS1 maint: неподходящий URL ( ссылка )
- ^ Фишер, Роланд Б. (весна 2002 г.), «M-blems: Explaining the logo» (PDF) , Mines: The Magazine of Colorado School of Mines , vol. 92 нет. 2, стр. 29, архивировано 10 июля 2010 г.CS1 maint: неподходящий URL ( ссылка )
- ^ Линдли, Джеффри А. (1 июня 2012 г.), «Информация: MUTCD - Временное одобрение для факультативного использования альтернативной конструкции знака« Велосипедный маршрут (M1-9) в США »(IA-15)» , Руководство по единообразному контролю дорожного движения Устройства для улиц и автомагистралей: ресурсы , Министерство транспорта США, Федеральное управление шоссейных дорог , данные получены 20 августа 2018 г.
- ^ а б Modes, Carl D .; Камиен, Рэндалл Д. (2013), «Сферические пены в плоском пространстве», Soft Matter , 9 (46): 11078–11084, arXiv : 0810.5724 , Bibcode : 2013SMat .... 911078M , doi : 10.1039 / c3sm51585k , S2CID 96591302.
- ^ Ng, CHB; Вентилятор, WY (2014), "треугольник рёло дисков: Новая форма на блоке", журнал Американского химического общества , 136 (37): 12840-12843, DOI : 10.1021 / ja506625y , PMID 25072943.
- ^ Банчофф, Томас; Гиблин, Питер (1994), "О геометрии кусочно круговых кривых", Американского математического в месяц , 101 (5): 403-416, DOI : 10,2307 / 2974900 , JSTOR 2974900 , МР 1272938.
- ^ Вебер, Кристоф (2009), какое отношение это твердое тело имеет к мячу? (PDF)Вебер также имеет фильмы с обоими типами вращения тела Мейснера, а также интерактивные изображения .
- ^ Кампи, Стефано; Колесанти, Андреа; Гронки, Паоло (1996), "Минимальные задачи для объемов выпуклых тел", Уравнения с частными производными и их приложения: Сборник статей в честь Карло Пуччи , Конспекты лекций по чистой и прикладной математике, вып. 177, Марсель Деккер, стр. 43–55..
- ^ Chandru, V .; Венкатараман, Р. (1991), «Круглые корпуса и орбиформы простых многоугольников» , Труды второго ежегодного симпозиума ACM-SIAM по дискретным алгоритмам (SODA '91) , Филадельфия, Пенсильвания, США: Общество промышленной и прикладной математики, стр. 433–440, ISBN 978-0-89791-376-8.
- ^ Петерсон, Брюс Б. (1973), "Пересечение свойства кривых постоянной ширины" , штат Иллинойс Журнал математики , 17 (3): 411-420, DOI : 10,1215 / IJM / 1256051608 , МР 0320885.
- ^ Эрнандеса CIFRE, MA (2000), "Есть ли плоское выпуклое множество с заданной шириной, диаметром и inradius?", American Mathematical Monthly , 107 (10): 893-900, DOI : 10,2307 / 2695582 , JSTOR 2695582 , MR 1806918.
- ^ Линдстрем, Бернт; Zetterstrom, Hans-Улоф (1991), "Борромео круги невозможны", American Mathematical Monthly , 98 (4): 340-341, DOI : 10,2307 / 2323803 , JSTOR 2323803.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. , "Triquetra" , MathWorld
- ^ Хой, Джессика; Миллет, Кеннет С. (2014), «Математический анализ узлов и связывания в картеле Леонардо да Винчи Академии Винчиана» (PDF) , Journal of Mathematics and the Arts.
- ^ Курант, Ричард ; Роббинс, Герберт (1996), Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам (2-е изд.), Oxford University Press, стр. 378–379, ISBN 978-0-19-975487-8.
- ^ Локвуд, EH (1961), "Глава 8: Дельтовидная мышца", Книга кривых , Cambridge University Press
- ^ Mackay, JS (февраль 1884 г.), "нож сапожника", Труды Эдинбургского математического общества , 3 : 2, DOI : 10,1017 / s0013091500037196.
- ^ Брюйнс, Дж. (1998), «Квадратичные треугольники Безье как примитивы рисования», Труды семинара ACM SIGGRAPH / EUROGRAPHICS по графическому оборудованию (HWWS '98) , Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: ACM, стр. 15–24, doi : 10.1145 / 285305.285307 , ISBN 978-1-58113-097-3, S2CID 28967106.
- ^ Веннингер, Магнус Дж. (2014), Сферические модели , Довер, стр. 134, ISBN 978-0-486-14365-1.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. , «Треугольник Рило» , MathWorld