В математике эквивалентные определения используются двумя разными способами. Во-первых, в рамках конкретной математической теории (например, евклидовой геометрии ) понятие (например, эллипс или минимальная поверхность ) может иметь несколько определений. Эти определения эквивалентны в контексте данной математической структуры ( в данном случае евклидова пространства ). Во-вторых, математическая структура может иметь более одного определения (например, топологическое пространство имеет не менее семи определений ; упорядоченное поле имеет не менее двух определений ).
В первом случае эквивалентность двух определений означает, что математический объект (например, геометрическое тело) удовлетворяет одному определению тогда и только тогда, когда он удовлетворяет другому определению.
В последнем случае значение эквивалентности (между двумя определениями структуры) более сложное, поскольку структура более абстрактна, чем объект. Многие разные объекты могут реализовывать одну и ту же структуру.
Изоморфные реализации
Натуральные числа могут быть реализованы как 0 = {}, 1 = {0} = {{}}, 2 = {0, 1} = {{}, {{}}}, 3 = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}} и так далее; или, как вариант, 0 = {}, 1 = {0} = {{}}, 2 = {1} = {{{}}} и так далее. Это две разные, но изоморфные реализации натуральных чисел в теории множеств. Они изоморфны как модели аксиом Пеано , то есть троек ( N , 0, S ), где N - множество, 0 - элемент N , а S (называемая функцией преемника ) - отображение N на себя (удовлетворяющее соответствующим условиям ). В первой реализации S ( n ) = n ∪ { n }; во второй реализации S ( n ) = { n }. Как подчеркивается в проблеме идентификации Бенацеррафа , эти две реализации различаются своим ответом на вопрос, является ли 0 ∈ 2; тем не менее, это не законный вопрос о натуральных числах (поскольку отношение ∈ не оговаривается соответствующей сигнатурой (сигнатурами), см. следующий раздел). [подробности 1] Аналогично, разные, но изоморфные реализации используются для комплексных чисел .
Выведенные структуры и криптоморфизмы
Функция правопреемника S на натуральных числа приводят к арифметической операции , сложению и умножению, и общему порядку, таким образом , наделение N с заказали полукольцо структуры. Это пример выведенной структуры. Упорядоченная структура полукольца ( N , +, ·, ≤) выводится из структуры Пеано ( N , 0, S ) с помощью следующей процедуры: n + 0 = n , m + S ( n ) = S ( m + n ) , m · 0 = 0, m · S ( n ) = m + ( m · n ) и m ≤ n тогда и только тогда, когда существует k ∈ N такое, что m + k = n . И наоборот, структура Пеано выводится из упорядоченной структуры полукольца следующим образом: S ( n ) = n + 1, а 0 определяется как 0 + 0 = 0. Это означает, что две структуры на N эквивалентны посредством две процедуры.
Две изоморфные реализации натуральных чисел, упомянутые в предыдущем разделе, изоморфны как тройки ( N , 0, S ), то есть структуры одной и той же сигнатуры (0, S ), состоящие из постоянного символа 0 и унарной функции S . Упорядоченная полукольцевая структура ( N , +, ·, ≤) имеет другую сигнатуру (+, ·, ≤), состоящую из двух двоичных функций и одного двоичного отношения. Понятие изоморфизма не применяется к структурам с разными сигнатурами. В частности, структура Пеано не может быть изоморфна упорядоченному полукольцу. Однако упорядоченное полукольцо, полученное из структуры Пеано, может быть изоморфно другому упорядоченному полукольцу. Такое отношение между структурами разных сигнатур иногда называют криптоморфизмом .
Эмбиент фреймворки
Структура может быть реализована в рамках теории множеств ZFC или другой теории множеств, такой как NBG , NFU , ETCS . [1] В качестве альтернативы, структура может рассматриваться в рамках логики первого порядка , логики второго порядка , логики более высокого порядка , в теории типов , теории гомотопий типа и т.д. [подробно 2]
Структуры по Бурбаки
- «Математику [...] нельзя полностью объяснить с помощью одного понятия, такого как математическая структура. Тем не менее, структуралистский подход Бурбаки - лучшее из того, что у нас есть». ( Пудлак 2013 , стр. 3)
- «Каким бы очевидным ни казалось понятие математической структуры в наши дни, оно, по крайней мере, не было явным до середины 20-го века. Тогда это было влияние проекта Бурбаки, а затем развитие теории категорий, которое сделало понятие явный "( nLab ).
Согласно Бурбаки , шкала множеств на данном множестве X состоит из всех множеств, возникающих из X путем взятия декартовых произведений и множеств степеней в любой комбинации конечное число раз. Примеры: X ; Х × Х ; P ( X ); Р ( Р ( Х × Х ) × Х × Р ( Р ( Х ))) × X . (Здесь A × B - произведение A и B , а P ( A ) - множество степеней A. ) В частности, пара (0, S ), состоящая из элемента 0 ∈ N и унарной функции S : N → N принадлежит N × P ( N × N ) (поскольку функция является подмножеством декартового произведения ). Тройка (+, ·, ≤), состоящая из двух двоичных функций N × N → N и одного двоичного отношения на N, принадлежит P ( N × N × N ) × P ( N × N × N ) × P ( N × N ). Аналогичным образом , любая алгебраическая структура на множестве принадлежит к соответствующему набору в шкале множеств на X .
Неалгебраические структуры на множестве X часто включают множества подмножеств X (то есть подмножества P ( X ), другими словами, элементы P ( P ( X ))). Например, структура топологического пространства , называемая топологией на X , рассматривается как набор «открытых» множеств ; или структура измеримого пространства, рассматриваемого как σ-алгебра «измеримых» множеств; оба являются элементами P ( P ( X )). Это структуры второго порядка. [2]
Более сложные неалгебраические структуры объединяют алгебраический компонент и неалгебраический компонент. Например, структура топологической группы состоит из топологии и структуры группы. Таким образом, он принадлежит произведению P ( P ( X )) и другого («алгебраического») множества в шкале; этот продукт снова установлен на шкале.
Транспорт конструкций; изоморфизм
Для двух множеств X , Y и биекции f : X → Y строятся соответствующие биекции между масштабными множествами. А именно, биекция X × X → Y × Y переводит ( x 1 , x 2 ) в ( f ( x 1 ), f ( x 2 )); биекция P ( X ) → P ( Y ) переводит подмножество A из X в его образ f ( A ) в Y ; и так далее, рекурсивно: масштабируемый набор является либо произведением масштабных наборов, либо набором степеней масштабного набора, применяется одна из двух конструкций.
Пусть ( X , U ) и ( Y , V ) - две структуры одной сигнатуры. Тогда U принадлежит множеству шкалы S X и V принадлежит к соответствующему набору шкалы S Y . Используя биекцию F : S X → S Y, построенную из биекции f : X → Y , можно определить:
- е является изоморфизмом между ( X , U ) и ( Y , V ) , если F ( U ) = V .
Это общее понятие изоморфизма обобщает многие менее общие понятия, перечисленные ниже.
- Для алгебраических структур: изоморфизм - это биективный гомоморфизм .
- В частности, для векторных пространств : линейная биекция .
- Для частично упорядоченных множеств : изоморфизм порядка .
- Для графов : изоморфизм графов .
- В более общем смысле, для множеств, наделенных бинарным отношением: изоморфизм, сохраняющий отношения .
- Для топологических пространств: гомеоморфизм, топологический изоморфизм или бинепрерывная функция .
- Для равномерных пространств : равномерный изоморфизм .
- Для метрических пространств : биективная изометрия .
- Для топологических групп: изоморфизм групп, который также является гомеоморфизмом лежащих в основе топологических пространств .
- Для топологических векторных пространств : изоморфизм векторных пространств, который также является гомеоморфизмом лежащих в основе топологических пространств.
- Для банаховых пространств : биективная линейная изометрия .
- Для гильбертовых пространств : унитарное преобразование .
- Для групп Ли: биективный гомоморфизм гладких групп, обратный которому также является гомоморфизмом гладких групп .
- Для гладких многообразий : диффеоморфизм .
- Для симплектических многообразий : симплектоморфизм .
- Для римановых многообразий : изометрический диффеоморфизм .
- Для конформных пространств : конформный диффеоморфизм .
- Для вероятностных пространств : биективное измеримое и сохраняющее меру отображение, обратное также измеримое и сохраняющее меру .
- Для аффинных пространств : биективное аффинное преобразование .
- Для проективных пространств : гомография .
Фактически, Бурбаки предусматривает две дополнительные функции. Во- первых, несколько наборов X 1 , ..., Х п (так называемые основные базовые комплекты) могут быть использованы, а не одного множества X . Однако от этой функции мало толку. Все перечисленные выше предметы используют один основной базовый набор. Во-вторых, могут использоваться так называемые вспомогательные базовые наборы E 1 , ..., E m . Эта функция широко используется. Действительно, структура векторного пространства предусматривает не только сложение X × X → X, но и скалярное умножение R × X → X (если R - поле скаляров). Таким образом, R - вспомогательный базовый набор (также называемый «внешним» [3] ). Шкала множеств состоит из всех множеств, возникающих из всех базовых множеств (как главных, так и вспомогательных) путем взятия декартовых произведений и множеств мощности. Тем не менее, отображение f (возможно, изоморфизм) действует только на X ; вспомогательные множества снабжены тождественными картами. (Однако в случае n главных множеств получается n отображений.)
Функциональность
Некоторые утверждения, сформулированные Бурбаки без упоминания категорий, могут быть легко переформулированы на языке теории категорий . Сначала немного терминологии.
- Масштаб множеств индексируется «схемами построения эшелонов» [4], также называемыми «типами». [5] [6] Можно представить, например, множество P ( P ( X × X ) × X × P ( P ( X ))) × X как множество X, подставляемое в формулу « P ( P ( a × a ) × a × P ( P ( a ))) × a "для переменной a ; эта формула и есть соответствующая схема построения эшелона. [подробности 3] (Это понятие, определенное для всех структур, может рассматриваться как обобщение сигнатуры, определенной только для алгебраических структур.) [подробности 4]
- Пусть набор * обозначим группоид множеств и биекций. То есть категория, объектами которой являются (все) множества, а морфизмы (все) биекции.
Предложение. [7] Каждая схема построения эшелона приводит к функтору от Set * к самому себе.
В частности, группа перестановок из множества X действует на каждом множестве шкалы S X .
Для того чтобы сформулировать еще одно положение, необходимо понятие «разновидности сооружений», поскольку схема построения эшелонов дает лишь предварительную информацию о сооружении. Например, коммутативные группы и (произвольные) группы - это два разных вида одной и той же схемы построения эшелона. Другой пример: топологические пространства и измеримые пространства. Они различаются так называемой аксиомой вида. Эта аксиома представляет собой сочетание всех требуемых свойств, таких как «умножение ассоциативно» для групп или «объединение открытых множеств является открытым множеством» для топологических пространств.
- Вид структур состоит из схемы построения эшелона и аксиомы вида.
Предложение. [8] Каждый вид структур ведет к функтору от Set * к самому себе.
Пример. Для видов групп, функтор F отображает множество X на множество F ( X ) все групповые структуры на X . Для видов топологических пространств, функтор F отображает множество X на множество F ( X ) все топологии на X . Морфизм F ( f ): F ( X ) → F ( Y ), соответствующий биекции f : X → Y, является переносом структур. Топологии на Y соответствуют взаимно однозначно топологий на X . То же верно и для групповых структур и т. Д.
В частности, множество всех структур данного вида на данном множестве инвариантно относительно действия группы перестановок на соответствующем масштабном множестве S X и является фиксированной точкой действия группы на другом масштабном множестве P ( S X ). Однако не все фиксированные точки этого действия соответствуют видам структур. [подробнее 5]
Для двух видов Бурбаки определяет понятие «процедура дедукции» (строения второго вида из строения первого вида). [9] Пара взаимно обратных процедур дедукции приводит к понятию «эквивалентные виды». [10]
Пример. Структура топологического пространства может быть определена как топология открытого множества или, альтернативно, топология замкнутого множества . Две соответствующие процедуры дедукции совпадают; каждый заменяет все заданные подмножества X своими дополнениями. В этом смысле это два эквивалентных вида.
В общем определении Бурбаки процедура вычета может включать изменение основного базового набора (ов), но этот случай здесь не рассматривается. На языке теории категорий можно получить следующий результат.
Предложение. [10] Эквивалентность двух видов структур приводит к естественному изоморфизму между соответствующими функторами.
Однако, как правило, не все естественные изоморфизмы между этими функторами соответствуют эквивалентности между видами. [подробнее 6]
Математическая практика
- «Мы часто не различаем изоморфные структуры и часто говорим, что « две структуры одинаковы с точностью до изоморфизма » ». [11]
- «При изучении структур нас интересует только их форма, но когда мы доказываем их существование, нам необходимо их построить». [12]
- «Математики, конечно, привыкли идентифицировать изоморфные структуры на практике, но обычно они делают это путем« злоупотребления обозначениями »или каким-либо другим неформальным приемом, зная, что задействованные объекты« на самом деле »не идентичны». [13] (Ожидается радикально лучший подход; но пока, летом 2014 г., окончательная книга, процитированная выше, не уточняет структуры.)
На практике не делается различия между эквивалентными видами структур. [10]
Обычно текст, основанный на натуральных числах (например, артикль « простое число »), не указывает используемое определение натуральных чисел. Точно так же текст, основанный на топологических пространствах (например, статья « гомотопия » или « индуктивное измерение »), не определяет используемое определение топологического пространства. Таким образом, возможно (и весьма вероятно), что читатель и автор интерпретируют текст по-разному, в соответствии с разными определениями. Тем не менее, коммуникация проходит успешно, а это означает, что такие разные определения можно рассматривать как эквивалентные.
Человек, знакомый с топологическими пространствами, знает основные отношения между окрестностями, сходимостью, непрерывностью, границей, замыканием, внутренними, открытыми множествами, замкнутыми множествами, и ему не нужно знать, что некоторые из этих понятий являются «первичными», предусмотренными в определении топологическое пространство, а другие являются «вторичными», характеризующимися в терминах «первичных» понятий. Более того, зная, что подмножества топологического пространства сами по себе являются топологическими пространствами, а также продуктами топологических пространств, человек может построить некоторые новые топологические пространства независимо от определения.
Таким образом, на практике топология набора рассматривается как абстрактный тип данных, который предоставляет все необходимые понятия (и конструкторы ), но скрывает различие между «первичными» и «вторичными» понятиями. То же самое относится и к другим видам математических структур. «Интересно, что формализация структур в теории множеств - такая же задача, как и формализация структур для компьютеров». [14]
Канонический, а не просто естественный
Как уже упоминалось, эквивалентность между двумя видами структур приводит к естественному изоморфизму между соответствующими функторами. Однако « естественный » не означает « канонический ». Естественное преобразование, как правило, не уникально.
Пример. Снова рассмотрим две эквивалентные структуры для натуральных чисел. Одна - это «структура Пеано» (0, S ), другая - структура (+, ·, ≤) упорядоченного полукольца. Если набор X снабжен обеими структурами, то, с одной стороны, X = { a 0 , a 1 , a 2 , ...}, где S ( a n ) = a n +1 для всех n и 0 = a 0 ; а с другой стороны, X = { b 0 , b 1 , b 2 , ...}, где b m + n = b m + b n , b m · n = b m · b n , и b m ≤ b n тогда и только тогда, когда m ≤ n . Требуя, чтобы a n = b n для всех n, мы получаем каноническую эквивалентность между двумя структурами. Однако можно также потребовать a 0 = b 1 , a 1 = b 0 и a n = b n для всех n > 1, таким образом получая другой, неканонический, естественный изоморфизм. Более того, каждая перестановка набора индексов {0, 1, 2, ...} приводит к естественному изоморфизму; их несчетное количество!
Другой пример. Структура (простого) графа на множестве V = {1, 2, ..., n} вершин может быть описана с помощью его матрицы смежности , (0,1) -матрицы размера n × n ( с нулями по диагонали). В более общем смысле , для любого V функция смежности на V × V может быть использована. Каноническая эквивалентность дается правилом: «1» означает «связанный» (с ребром), «0» означает «не связан». Однако другое правило, «0» означает «подключен», «1» означает «нет», может использоваться и приводит к другой, естественной, но не канонической эквивалентности. В этом примере каноничность - это скорее вопрос условности. Но здесь дело обстоит хуже. Вместо «0» и «1» можно использовать, скажем, две возможные ориентации плоскости R 2 («по часовой стрелке» и «против часовой стрелки»). В этом случае сложно выбрать каноническое правило!
«Естественный» - это хорошо определенное математическое понятие, но оно не гарантирует уникальности. «Канонический» есть, но обычно более или менее условен. Последовательный выбор канонических эквивалентностей - неизбежный компонент эквивалентных определений математических структур.
Смотрите также
- Категория бетона
- Злоупотребление терминологией # Равенство vs. изоморфизм
- Эквивалентность категорий
Заметки
- ^ Технически «0 ∈ 2» является примеромнепереносимогоотношения, см. Bourbaki 1968 , Sect.IV.1.3, Marshall & Chuaqui 1991 .
- ^ Разумный выбор внешней структуры не должен изменять основные свойства структуры, но может изменить доказуемость более тонких свойств. Например, некоторые теоремы о натуральных числах доказуемы в теории множеств (и некоторых других сильных системах), но не доказуемы в логике первого порядка; см теоремы Париж-Харрингтон и теорема Гудстейн . То же самое относится к определимости; см., например , теорему Тарского о неопределенности .
- ^ Чтобы быть более формальным, Бурбаки кодирует такие формулы последовательностями упорядоченных пар натуральных чисел.
- ^ С одной стороны, можно исключить декартовы произведения, рассматривая пару ( x , y ) как просто набор {{ x }, { x , y }}. С другой стороны, можно включить заданную операцию X , Y -> Y X (все функции от X до Y ). «Можно упростить дело, рассматривая операции и функции как особый вид отношений (например, двоичная операция - это троичное отношение). Однако довольно часто иметь операции как примитивную концепцию является преимуществом». Пудлак 2013 , стр.17
- ^ Множество всех возможных аксиом видов счетно , а множество всех фиксированных точек рассматриваемого действия может быть несчетным. « Логические представления высшего порядка »Тарскогоближе к фиксированным точкам, чем к разновидностям структур, см. Feferman 2010 и ссылки оттуда.
- ^ Набор всех возможных процедур вывода является счетным, в то время как набор всех естественных изоморфизмов между рассматриваемыми функторами может быть несчетным (см. Пример в Разделе # Канонический, а не только естественный ).
Сноски
- ^ О ETCS см. Теория типов # Математические основы
- ^ Pudlák 2013 , стр 10-11
- ^ Pudlák 2013 , стр 12
- ^ Бурбаки 1968 , Sect.IV.1.1
- ^ Пудлак 2013 , стр.10
- ^ Marshall & Chuaqui 1991 , § 2
- ^ Бурбаки 1968 , Sect.IV.1.2
- ^ Бурбаки 1968 , Sect.IV.1.5
- ^ Бурбаки 1968 , Sect.IV.1.6
- ^ a b c Бурбаки 1968 , Раздел IV.1.7
- ^ Pudlák 2013 , стр 13
- ^ Pudlák 2013 , страница 22
- ^ Программа Univalent Foundations 2013 , подраздел « Univalent Foundation » введения
- ^ Pudlák 2013 , стр 34
Рекомендации
- Пудлак, Павел (2013), Логические основы математики и вычислительная сложность. Мягкое вступление , Springer.
- Бурбаки, Николас (1968), Элементы математики: Теория множеств , Герман (оригинал), Аддисон-Уэсли (перевод).
дальнейшее чтение
- Феферман, S. (2010), "Set-теоретические критерии инвариантности для логичность", Нотр - Дам Журнал формальной логики , 51 : 3-20, DOI : 10,1215 / 00294527-2010-002.
- Маршалл, М.В.; Chuaqui, R. (1991), "Приговоры теории типа: единственные предложения , сохраняющиеся при изоморфизме", Журнал символической логики , 56 (3): 932-948, DOI : 10,2178 / JSL / 1183743741.
- Программа Univalent Foundations (2013), Теория гомотопического типа: Univalent Foundations of Mathematics , Институт перспективных исследований.
Внешние ссылки
- nLab: структурированный набор «Практически все в современной математике является примером структурированного набора». (цитата из раздела «Примеры»)
- nLab: структура в теории моделей
- nLab: материал, структура, свойство
- MathOverflow: Что означает «канонический»? "практическое правило: существует канонический изоморфизм между X и Y тогда и только тогда, когда вам будет удобно писать X = Y" (Рид Бартон)
- Абстрактная математика: математические структуры «Когда вы думаете о структуре, лучше всего думать о ней как о содержащей всю эту информацию, а не только о том, что указано в определении» (Чарльз Уэллс)
- MathStackExchange: педантичный вопрос об определении новых структур независимым от пути способом `Мы бы продолжали делать утверждения вроде« Топологическое пространство определяется своими открытыми множествами », но никогда не будем делать таких утверждений, как« Топологическое пространство - это упорядоченное пара такой, что ... "'
- MathStackExchange: существует ли другой способ получения топологического пространства из метрического пространства, также заслуживающий термина «канонический»?