В оптике , то Эвальд-Озеена экстинкции теорема , иногда называют просто «теоремы» экстинкции, является теорема , которая лежит в основе общего понимания рассеяния (а также преломления, отражения и дифракции). Он назван в честь Пола Питера Эвальда и Карла Вильгельма Озеена , которые доказали теорему в кристаллических и изотропных средах соответственно в 1916 и 1915 годах. [1] Первоначально теорема применялась к рассеянию на изотропных диэлектрических объектах в свободном пространстве. Область применения теоремы была значительно расширена, чтобы охватить широкий спектр бианизотропных сред. [2]
Обзор
Важная часть теории оптической физики начинается с микроскопической физики - поведения атомов и электронов - и используется для вывода знакомых макроскопических законов оптики. В частности, есть вывод о том, как работает показатель преломления и откуда он берется, начиная с микроскопической физики. Теорема об исчезновении Эвальда – Озеена является частью этого вывода (как и уравнение Лоренца – Лоренца и т. Д.).
Когда свет, путешествующий в вакууме, попадает в прозрачную среду, такую как стекло, свет замедляется, что описывается показателем преломления . Хотя этот факт известен и знаком, на самом деле он довольно странный и удивительный, если взглянуть на него под микроскопом. Ведь по принципу суперпозиции свет в стекле - это суперпозиция:
Исходная световая волна, и
Световые волны, излучаемые колеблющимися электронами в стекле.
(Свет - это колеблющееся электромагнитное поле, которое толкает электроны вперед и назад, испуская дипольное излучение .)
По отдельности каждая из этих волн распространяется со скоростью света в вакууме, а не со скоростью (меньшей) скорости света в стекле. Тем не менее, когда волны складываются, они неожиданно создают только волну, которая движется с меньшей скоростью.
Теорема Эвальда – Озеена о экстинкции гласит, что свет, излучаемый атомами, имеет компонент, движущийся со скоростью света в вакууме, который в точности нейтрализует («гасит») исходную световую волну. Кроме того, свет, излучаемый атомами, имеет компонент, который выглядит как волна, движущаяся с меньшей скоростью света в стекле. В целом, единственная волна в стекле - это медленная волна, что соответствует тому, что мы ожидаем от базовой оптики.
Более полное описание можно найти в книге Масуда Мансурипура «Классическая оптика и ее приложения». [3] Доказательство классической теоремы можно найти в « Основополагающих принципах оптики » Борна и Вольфа [1], а доказательство ее расширения было представлено Ахлешем Лахтакиа . [2]
Вывод из уравнений Максвелла
Вступление
Когда электромагнитная волна входит в диэлектрическую среду, она возбуждает (резонирует) электроны материала, независимо от того, свободны они или связаны, переводя их в колебательное состояние с той же частотой, что и волна. Эти электроны, в свою очередь, излучают собственные электромагнитные поля в результате своих колебаний (электромагнитные поля колеблющихся зарядов). Из-за линейности уравнений Максвелла можно ожидать, что полное поле в любой точке пространства будет суммой исходного поля и поля, создаваемого колеблющимися электронами. Этот результат, однако, противоречит практической волне, которую можно наблюдать в диэлектрике, движущемся со скоростью c / n, где n - показатель преломления среды. Теорема Эвальда-Озеена пытается решить проблему разрыва связи, демонстрируя, как суперпозиция этих двух волн воспроизводит знакомый результат волны, движущейся со скоростью c / n.
Вывод
Давайте рассмотрим упрощенную ситуацию, в которой монохроматическая электромагнитная волна обычно падает на среду, заполняющую половину пространства в области z> 0, как показано на рисунке 1.
Рис. 1. Полупространство z> 0 представляет собой диэлектрический материал с восприимчивостью χ. Полупространство z <0 - вакуум.
Электрическое поле в точке пространства - это сумма электрических полей, создаваемых всеми различными источниками. В нашем случае мы разделяем поля на две категории в зависимости от их источников. Обозначим падающее поле
и сумма полей, создаваемых колеблющимися электронами в среде
.
Полное поле в любой точке z пространства тогда определяется суперпозицией двух вкладов:
.
Чтобы соответствовать тому, что мы уже наблюдаем, имеет такую форму. Однако мы уже знаем, что внутри среды, z> 0, мы будем наблюдать только то, что мы называем передаваемым E-полем.который движется через материал со скоростью c / n.
Следовательно, в этом формализме
Это означает, что излучаемое поле нейтрализует падающее поле и создает передаваемое поле, перемещающееся в среде со скоростью c / n. Используя ту же логику, вне среды излучаемое поле создает эффект отраженного поля. движется со скоростью c в направлении, противоположном падающему полю.
Предположим, что длина волны намного больше среднего расстояния между атомами, так что среду можно считать непрерывной. Мы используем обычные макроскопические поля E и B и считаем среду немагнитной и нейтральной, так что уравнения Максвелла имеют вид
как полное электрическое, так и магнитное поля
система уравнений Максвелла внутри диэлектрика
где включает в себя истинный ток и ток поляризации, индуцированный в материале внешним электрическим полем. Мы предполагаем линейную зависимость между током и электрическим полем, поэтому
Система уравнений Максвелла вне диэлектрика не имеет члена плотности тока
Две системы уравнений Максвелла связаны, поскольку электрическое поле вакуума появляется в члене плотности тока.
Для монохроматической волны при нормальном падении электрическое поле вакуума имеет вид
,
с участием .
Теперь решить для , мы берем ротор третьего уравнения из первого набора уравнений Максвелла и объединяем его с четвертым.
Затем подставив от , используя тот факт, что мы получаем,
Понимая, что все поля имеют одинаковую временную зависимость , производные по времени очевидны, и мы получаем следующее неоднородное волновое уравнение
с особым решением
Для полного решения мы добавляем к частному решению общее решение однородного уравнения, которое представляет собой суперпозицию плоских волн, бегущих в произвольных направлениях
Где находится из однородного уравнения как
Обратите внимание, что мы взяли решение как когерентную суперпозицию плоских волн. Из-за симметрии мы ожидаем, что поля будут одинаковыми в плоскости, перпендикулярной плоскостиось. Следовательно где это смещение, перпендикулярное .
Поскольку в регионе нет границ , мы ожидаем, что волна движется вправо. Решение однородного уравнения принимает вид
Добавляя это к частному решению, мы получаем излучаемую волну внутри среды ( )
Общее поле в любой позиции представляет собой сумму падающего и излучаемого полей в этой позиции. Складывая два компонента внутри среды, мы получаем общее поле
Эта волна распространяется внутри диэлектрика со скоростью
Мы можем упростить вышеизложенное к знакомой форме показателя преломления линейного изотропного диэлектрика. Для этого вспомним, что в линейном диэлектрике приложенное электрическое поле вызывает поляризацию пропорционально электрическому полю . Когда электрическое поле изменяется, индуцированные заряды перемещаются и создают плотность тока, определяемую выражением. Поскольку зависимость электрического поля от времени равна, мы получили
Отсюда следует, что проводимость
.
Затем подставляя проводимость в уравнение , дает
что является более знакомой формой. Для региона, накладывается условие бегущей влево волны. Установив проводимость в этой области, получаем отраженную волну
путешествует со скоростью света.
Обратите внимание, что номенклатура коэффициентов, а также , принимаются только в соответствии с нашими ожиданиями.
Векторный подход Герца
Ниже приводится вывод, основанный на работе Вангснесса [4], и аналогичный вывод, найденный в главе 20 текста Зангвилла «Современная электродинамика». [5] Постановка такова, пусть бесконечное полупространство быть вакуумом и бесконечным полупространством быть однородным, изотропным, диэлектрическим материалом с электрической восприимчивостью ,
Электрическое поле в терминах векторов Герца имеет вид
,
но магнитный вектор Герца равно 0, поскольку предполагается, что материал не намагничивается и отсутствует внешнее магнитное поле. Следовательно, электрическое поле упрощается до
.
Чтобы вычислить электрическое поле, мы должны сначала решить неоднородное волновое уравнение для . Для этого разделите в однородных и частных растворах
.
Тогда линейность позволяет нам написать
.
Гомогенный раствор ,, - исходная плоская волна, бегущая с волновым вектором в положительном направление
Нам не нужно явно находить так как мы заинтересованы только в поиске поля.
Конкретное решение, и поэтому, , находится с помощью метода зависящих от времени функций Грина по неоднородному волновому уравнению длячто дает запаздывающий интеграл
.
Поскольку исходное электрическое поле поляризует материал, вектор поляризации должен иметь такую же пространственную и временную зависимость Более подробно это предположение обсуждается Вангснессом. Подставляя это в интеграл и выражая через декартовы координаты, получаем
Сначала рассмотрим только интегрирование по а также и преобразовать это в цилиндрические координаты и позвони
Затем с помощью замены
а также
так что пределы становятся
а также
Затем введем коэффициент сходимости с участием в подынтегральное выражение, поскольку оно не меняет значения интеграла,
потом подразумевает , следовательно . Следовательно,
Теперь, подставляя этот результат обратно в z-интеграл, получаем
Заметь теперь только функция и нет , что и следовало ожидать для данной симметрии.
Эта интеграция должна быть разделена на две части из-за абсолютного значения внутри подынтегрального выражения. Регионы а также . Опять же, необходимо ввести коэффициент сходимости для вычисления обоих интегралов, и результат будет
Вместо того, чтобы затыкать непосредственно в выражение для электрического поля можно сделать несколько упрощений. Начнем с завитка тождества вектора завитка ,
,
следовательно,
Заметь так как не имеет зависимости и всегда перпендикулярна . Также обратите внимание, что второй и третий члены эквивалентны неоднородному волновому уравнению, поэтому
Следовательно, полное поле равно
который становится,
Теперь сосредоточьтесь на поле внутри диэлектрика. Используя тот факт, что сложно, мы можем сразу написать
напомним также, что внутри диэлектрика .
Тогда путем согласования коэффициентов находим,
а также
.
Первое соотношение быстро дает волновой вектор в диэлектрике в терминах падающей волны как
Используя этот результат и определение во втором выражении дает вектор поляризации через падающее электрическое поле как
Оба этих результата можно подставить в выражение для электрического поля, чтобы получить окончательное выражение
Это именно тот результат, который ожидался. Внутри среды есть только одна волна, скорость которой уменьшена на n. Также восстанавливаются ожидаемые коэффициенты отражения и передачи.
Длины экстинкции и тесты специальной теории относительности
Характерная «длина экстинкции» среды - это расстояние, после которого исходная волна может считаться полностью замененной. Для видимого света, распространяющегося в воздухе на уровне моря, это расстояние составляет примерно 1 мм. [6] В межзвездном пространстве длина угасания света составляет 2 световых года. [7] На очень высоких частотах электроны в среде не могут «следовать» за исходной волной в колебания, что позволяет этой волне распространяться намного дальше: для гамма-лучей с энергией 0,5 МэВ длина составляет 19 см воздуха и 0,3 мм толщины. Люцит, а при 4,4 ГэВ - 1,7 м в воздухе и 1,4 мм в углероде. [8]
Специальная теория относительности предсказывает, что скорость света в вакууме не зависит от скорости источника, излучающего его. Это широко распространенное предсказание время от времени проверялось с помощью астрономических наблюдений. [6] [7] Например, в двойной звездной системе две звезды движутся в противоположных направлениях, и можно проверить предсказание, проанализировав их свет. (См., Например, эксперимент с двойной звездой Де Ситтера .) К сожалению, длина поглощения света в космосе сводит на нет результаты любых таких экспериментов с использованием видимого света, особенно с учетом толстого облака неподвижного газа, окружающего такие звезды. [6] Однако эксперименты с использованием рентгеновских лучей, испускаемых двойными пульсарами, с гораздо большей длиной экстинкции, оказались успешными. [7]
^ а бЛахтакия, Ахлеш (2017), «Теорема Эвальда – Озеена о вымирании и метод расширенных граничных условий», Теорема Эвальда-Озеена о вымирании и метод расширенных граничных условий, в: The World of Applied Electromagnetics , Cham, Switzerland: Springer, pp. . 481-513, DOI : 10.1007 / 978-3-319-58403-4_19 , ISBN 978-3-319-58402-7
^Мансурипур, Масуд (2009), «Теорема поглощения Эвальда – Озеена» , Классическая оптика и ее приложения (2-е изд.) , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, с. 209, Arxiv : +1507,05234 , DOI : 10,1017 / CBO9780511803796.019 , ISBN 9780511803796
^Вангснесс, Роальд К. (1981-10-01). «Влияние вещества на фазовую скорость электромагнитной волны». Американский журнал физики . 49 (10): 950–953. Bibcode : 1981AmJPh..49..950W . DOI : 10.1119 / 1.12596 . ISSN 0002-9505 .
^Зангвилл, Эндрю (2013). Современная электродинамика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521896979.
^ а б вФокс, Дж. Г. (1962), «Экспериментальные доказательства второго постулата специальной теории относительности», Американский журнал физики , 30 (1): 297–300, Bibcode : 1962AmJPh..30..297F , doi : 10.1119 / 1.1941992 .
^ а б вБрехер, К. (1977). «Скорость света не зависит от скорости источника». Письма с физической проверкой . 39 (17): 1051–1054. Bibcode : 1977PhRvL..39.1051B . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.39.1051 .
^Filippas, TA; Фокс, Дж. Г. (1964). «Скорость гамма-лучей от движущегося источника». Физический обзор . 135 (4B): B1071–1075. Bibcode : 1964PhRv..135.1071F . DOI : 10.1103 / PhysRev.135.B1071 .