Функтор Ext

В математике , то Ext функторы являются производные функторы по функторе Хом . Наряду с функтором Tor , Ext является одной из основных концепций гомологической алгебры , в которой идеи алгебраической топологии используются для определения инвариантов алгебраических структур. Когомологий групп , алгебр Ли и ассоциативных алгебр все они могут быть определены в терминах Ext. Название происходит от того факта, что первая группа Ext Ext ¹ классифицирует расширения одного модуля другим.

В частном случае абелевых групп Ext было введено Рейнхольдом Бэром (1934). Он был назван Самуэлем Эйленбергом и Сондерсом Маклейном (1942) и применялся к топологии ( теорема об универсальных коэффициентах для когомологий ). Для модулей над любым кольцом Ext была определена Анри Картаном и Эйленбергом в их книге 1956 г. « Гомологическая алгебра» . ^[1]

Определение [ править ]

Пусть R быть кольцо , и пусть R -Mod быть категория модулей над R . (Можно понимать это как левые R -модули или правые R -модули.) Для фиксированного R -модуля A пусть T ( B ) = Hom _R ( A , B ) для B в R -Mod. (Здесь Hom _R ( A , B ) - абелева группа R -линейных отображений из A в B ; это R-модуль , если R является коммутативным .) Это оставил точный функтор из R -Mod к категории абелевых групп Ab, и поэтому он имеет право производные функторы R ^я Т . Группы Ext - это абелевы группы, определенные формулой

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (A, B) = (R ^ {i} T) (B),}$

для целого числа i . По определению это означает: взять любое инъективное разрешение

${\ displaystyle 0 \ к B \ to I ^ {0} \ to I ^ {1} \ to \ cdots,}$

удалите член B и сформируйте комплекс коцепей :

${\ displaystyle 0 \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (A, I ^ {0}) \ to \ operatorname {Hom} _ {R} (A, I ^ {1}) \ to \ cdots.}$

Для каждого целого числа i Ext^я
_R( A , B ) - когомологии этого комплекса в позиции i . Это ноль для отрицательного значения i . Например, Ext⁰
_R( A , B ) - ядро отображения Hom _R ( A , I ⁰ ) → Hom _R ( A , I ¹ ), которое изоморфно Hom _R ( A , B ).

Альтернативное определение использует функтор G ( A ) = Хомы _R ( , В ), при фиксированном R - модуле B . Это контравариантный функтор, который можно рассматривать как точный слева функтор из противоположной категории ( R -Mod) ^op в Ab. Группы Ext определяются как правые производные функторы R ⁱ G :

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (A, B) = (R ^ {i} G) (A).}$

То есть выбрать любую проективную разрешающую способность

${\displaystyle \cdots \to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,}$

удалите член A и сформируйте комплекс коцепей:

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{0},B)\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{1},B)\to \cdots .}$

Следующий^я
_R( A , B ) - когомологии этого комплекса в позиции i .

Картан и Эйленберг показали, что эти конструкции не зависят от выбора проективной или инъективной резольвенты, и что обе конструкции дают одни и те же группы Ext. ^[2] Более того, для фиксированного кольца R Ext является функтором по каждой переменной (контравариантным в A , ковариантным в B ).

Для коммутативного кольца R и R -модулей A и B Ext^я
_R( A , B ) является R -модулем ( в этом случае Hom _R ( A , B ) является R -модулем). Для некоммутативного кольца R Ext^я
_R( A , B ), вообще говоря, только абелева группа. Если R - алгебра над кольцом S (что, в частности, означает коммутативность S ), то Ext^я
_R( A , B ) - по крайней мере, S -модуль.

Свойства Ext [ править ]

Вот некоторые из основных свойств и вычислений групп Ext. ^[3]

• Ext⁰
  _R( , Б ) ≅ Хомы _R ( , В ) для любого R - модули A и B .

• Ext^я
  _R( , B ) = 0 для всех I > 0 , если R - модуля A является проективным (например, свободным ) , или если Б является инъективен .

• • Если Ext¹
    _р( A , B ) = 0 для всех B , то A проективен (и, следовательно, Ext^я
    _R( A , B ) = 0 для всех i > 0).
  • Если Ext¹
    _р( A , B ) = 0 для всех A , то B инъективен (а значит, Ext^я
    _R( A , B ) = 0 для всех i > 0).

• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{i}(A,B)=0}$для всех I ≥ 2 и всех абелевых групп A и B . ^[4]

• Если R - коммутативное кольцо и u в R не является делителем нуля , то

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B[u]&i=0\\B/uB&i=1\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$

для любого R - модуля B . Здесь B [ u ] обозначает подгруппу u -кручения группы B , { x ∈ B : ux = 0}. Принимая R , чтобы кольцо целых чисел, это вычисление может быть использовано для вычисления для любой конечно порожденной абелевой группы A .${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)}$

• Обобщая предыдущий пример, можно вычислить группы Ext, когда первый модуль является фактором коммутативного кольца по любой регулярной последовательности , используя комплекс Кошуля . ^[5] Например, если R - кольцо многочленов k [ x ₁ , ..., x _n ] над полем k , то Ext^*
  _R( k , k ) - внешняя алгебра S над k на n образующих в Ext ¹ . Кроме того, Ext^*
  _S( k , k ) - кольцо многочленов R ; это пример двойственности Кошуля .

• По общим свойствам производных функторов существует две основные точные последовательности для Ext. ^[6] Во-первых, короткая точная последовательность 0 → K → L → M → 0 R -модулей индуцирует длинную точную последовательность вида

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(A,K)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,L)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,M)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,K)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,L)\to \cdots ,}$

для любого R - модуля A . Кроме того, короткая точная последовательность 0 → K → L → M → 0 индуцирует длинную точную последовательность вида

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(M,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(L,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(K,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(L,B)\to \cdots ,}$

для любого R - модуля B .

• Ext принимает прямые суммы (возможно, бесконечные) в первой переменной и произведения во второй переменной в произведения. ^[7] То есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(M,\prod _{\alpha }N_{\alpha }\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N_{\alpha })\end{aligned}}}$

• Пусть конечно порожденный модуль над коммутативным нётеровым кольцом R . Тогда Ext коммутирует с локализацией в том смысле, что для любого мультипликативно замкнутого множества S в R , каждого R -модуля B и любого целого числа i , ^[8]

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)\cong \operatorname {Ext} _{S^{-1}R}^{i}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$

Ext и расширения [ править ]

Эквивалентность расширений [ править ]

Группы Ext получили свое название от их отношения к расширениям модулей. Учитывая , R -модулей А и В , расширение A с помощью B является короткая точная последовательность R - модулей

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0.}$

Два расширения

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0}$

${\displaystyle 0\to B\to E'\to A\to 0}$

называются эквивалентными (как расширение A посредством B ), если существует коммутативная диаграмма :

Обратите внимание, что из леммы Five следует, что средняя стрелка является изоморфизмом. Расширение A с помощью B называется расщепленным, если оно эквивалентно тривиальному расширению

${\displaystyle 0\to B\to A\oplus B\to A\to 0.}$

Существует взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентности расширений A посредством B и элементами Ext¹
_р( А , Б ). ^[9] Тривиальное расширение соответствует нулевому элементу Ext¹
_р( А , Б ).

Сумма расширений Бэра [ править ]

Сумма Бэра является явным описанием структуры абелевой группы на Ext¹
_р( , Б ), рассматривается как множество классов эквивалентности расширений А с помощью B . ^[10] А именно с учетом двух продлений

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f}]{}}E{\xrightarrow[{g}]{}}A\to 0}$

и

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f'}]{}}E'{\xrightarrow[{g'}]{}}A\to 0,}$

формируют первый откат над ,${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.}$

Затем сформируйте фактор-модуль

${\displaystyle Y=\Gamma /\{(f(b),-f'(b))\;|\;b\in B\}.}$

Сумма Бэра E и E ′ - это расширение

${\displaystyle 0\to B\to Y\to A\to 0,}$

где первая карта и вторая .${\displaystyle b\mapsto [(f(b),0)]=[(0,f'(b))]}$${\displaystyle (e,e')\mapsto g(e)=g'(e')}$

С точностью до эквивалентности расширений сумма Бэра коммутативна и имеет тривиальное расширение как единичный элемент. Негатив расширения 0 → B → E → A → 0 - это расширение, включающее тот же модуль E , но с заменой гомоморфизма E → A его отрицательным.

Построение Ext в абелевых категориях [ править ]

Нобуо Йонеда определил абелевы группы Ext^п
_С( A , B ) для объектов A и B в любой абелевой категории C ; это согласуется с определением в терминах резольвент, если C имеет достаточно проективных или инъективных . Во-первых, Ext⁰
_С( A , B ) = Hom _C ( A , B ). Далее Ext¹
_К( A , B ) - это множество классов эквивалентности расширений A посредством B , образующих абелеву группу относительно суммы Бэра. Наконец, высшие Ext группы Ext^п
_С( A , B ) определяются как классы эквивалентности n-расширений , которые являются точными последовательностями

${\displaystyle 0\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0,}$

при отношении эквивалентности, порожденном отношением, которое идентифицирует два расширения

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi :0&\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0\\\xi ':0&\to B\to X'_{n}\to \cdots \to X'_{1}\to A\to 0\end{aligned}}}$

если есть карты для все т в {1, 2, ..., п } , так что каждый полученный квадратный коммутирует , то есть, если существует цепное отображение ξ → ξ», тождественные на А и B .${\displaystyle X_{m}\to X'_{m}}$

Сумма Бер из двух п -расширений как выше , формируется, позволяя быть в откате от и над А , и быть в Кодекартов Квадрат из и под B . ^[11] Тогда сумма Бэра расширений равна${\displaystyle X''_{1}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X'_{1}}$${\displaystyle X''_{n}}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X'_{n}}$

${\displaystyle 0\to B\to X''_{n}\to X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\to \cdots \to X_{2}\oplus X'_{2}\to X''_{1}\to A\to 0.}$

Производная категория и продукт Yoneda [ править ]

Важным моментом является то, что Ext-группы в абелевой категории C можно рассматривать как наборы морфизмов в категории, связанной с C , производной категорией D ( C ). ^[12] В качестве объектов производной категории представляют собой комплексы объектов в C . В частности, есть

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)=\operatorname {Hom} _{D({\mathbf {C} })}(A,B[i]),}$

где объект C рассматривается как комплекс, сконцентрированный в нулевой степени, а [ i ] означает сдвиг комплекса на i шагов влево. Исходя из этой интерпретации, существует билинейная карта , иногда называемая произведением Йонеды :

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)\times \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{j}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i+j}(A,C),}$

Продукт Йонеда можно описать и более элементарно. Для я = J = 0, продукт представляет собой композицию карт в категории C . В общем, продукт можно определить путем объединения двух расширений Yoneda.

В качестве альтернативы продукт Yoneda может быть определен с точки зрения разрешения. (Это близко к определению производной категории). Например, пусть R некоторое кольцо с R -модулей A , B , C , и пусть P , Q и Т проективные решениями A , B , C . Следующий^я
_R( A , B ) можно отождествить с группой цепных гомотопических классов цепных отображений P → Q [ i ]. Продукт Yoneda дается путем составления цепных карт:

${\displaystyle P\to Q[i]\to T[i+j].}$

Согласно любой из этих интерпретаций, продукт Йонеды ассоциативен. В результате, это градуированное кольцо , для любого R - модуля A . Например, это дает кольцевую структуру на групповых когомологиях, поскольку ее можно рассматривать как . Кроме того, с помощью ассоциативности продукта Йонедов: для любого R -модулей и Б , является модулем над .${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$ ${\displaystyle H^{*}(G,\mathbb {Z} ),}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,B)}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$

Важные особые случаи [ править ]

• Группа когомологий определяется , где G представляет собой группу, М представляет собой представление из G над целыми числами, и это групповое кольцо из G .${\displaystyle H^{*}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,M)}$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

• Для алгебры А над полем к и А - бимодулю М , Хохшильд когомологий определяются

${\displaystyle HH^{*}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}^{*}(A,M).}$

• Когомологии алгебры Ли определяются как , где - алгебра Ли над коммутативным кольцом k , M - a -модуль, а - универсальная обертывающая алгебра .${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{*}(k,M)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$

• Для топологического пространства X , пучок когомологий можно определить как здесь Ext берется в абелевой категории пучков абелевых групп на X и есть пучок локально постоянных значных функций.${\displaystyle H^{*}(X,A)=\operatorname {Ext} ^{*}(\mathbb {Z} _{X},A).}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Для коммутативной нётеровой локального кольца R с полем вычетов к , является универсальной обертывающей алгебра градуированной алгебры Ли я * ( R ) над к , известной как гомотопическому алгебры Ли из R . (Точнее, когда k имеет характеристику 2, π * ( R ) следует рассматривать как «настроенную алгебру Ли». ^[13] ) Существует естественный гомоморфизм градуированных алгебр Ли из когомологий Андре – Квиллена D * ( k / R , k ) в π * ( R${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(k,k)}$ ), который является изоморфизмом, если k имеет нулевую характеристику. ^[14]

См. Также [ править ]

• глобальное измерение
• разрешение бара
• Группа Гротендик
• Локальная двойственность Гротендика

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Аврамов, Лучезар (2010), «Бесконечные свободные разрешения», Шесть лекций по коммутативной алгебре , Биркхойзер , стр. 1–108, DOI : 10.1007 / 978-3-0346-0329-4_1 , ISBN 978-3-7643-5951-5, MR  2641236
• Бер, Рейнхольд (1934), "Erweiterung фон Gruppen унд Ihren Isomorphismen", Mathematische Zeitschrift , 38 (1): 375-416, DOI : 10.1007 / BF01170643 , Zbl  +0009,01101
• Картан, Анри ; Эйленберг, Самуэль (1999) [1956], Гомологическая алгебра , Принстон: Princeton University Press , ISBN 0-691-04991-2, Руководство по ремонту  0077480
• Эйленберг, Сэмюэл ; Маклеен, Сондерс (1942), "Расширение групп и гомология", Анналы математики , 43 (4): 757-931, DOI : 10,2307 / 1968966 , JSTOR  1968966 , МР  0007108
• Гельфанд, Сергей I .; Манин, Юрий Иванович (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-662-12492-5 , ISBN 978-3-540-43583-9, MR  1950475
• Sjödin, Гуннар (1980), "Хопф алгебра и дифференцирование", журнал алгебра , 64 : 218-229, DOI : 10.1016 / 0021-8693 (80) 90143-X , МР  0575792
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования в области высшей математики. 38 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. Руководство по ремонту  1269324 . OCLC  36131259 .
• Вейбель, Чарльз А. (1999), «История гомологической алгебры» (PDF) , История топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 797–836, ISBN 9780444823755, MR  1721123