В теории групп , ветви абстрактной алгебры , экстраспециальные группы являются аналогами группы Гейзенберга над конечными полями , размер которых является простым. Для каждого простого p и натурального n существует ровно две (с точностью до изоморфизма) экстраспециальные группы порядка p 1 + 2 n . В централизаторах инволюций часто встречаются экстрасенсы. Обычная теория характеров экстраспециальных групп хорошо изучена.
Определение
Напомним, что конечная группа называется p -группой, если ее порядок является степенью простого числа p .
Р -группа G называется экстраспециальным , если ее центр Z является циклическим порядка р , а фактор G / Z является нетривиальным элементарным абелевым р -группа.
Экстраспециальные группы порядка p 1 + 2 n часто обозначают символом p 1 + 2 n . Например, 2 1 + 24 означает особую группу порядка 2 25 .
Классификация
Каждая экстраспециальная p -группа имеет порядок p 1 + 2 n для некоторого натурального числа n , и, наоборот, для каждого такого числа существует ровно две экстраспециальные группы с точностью до изоморфизма. Центральное произведение двух экстраспециальных p -групп является экстраспециальным, и каждая экстраспециальная группа может быть записана как центральное произведение экстраспециальных групп порядка p 3 . Это сводит классификацию экстраспециальных групп к экстраспециальным группам порядка p 3 . Классификация часто представляется по-разному в двух случаях p odd и p = 2, но также возможно единообразное представление.
p нечетное
Существуют две экстраспециальные группы порядка p 3 , которые для нечетного p имеют вид
- Группа треугольных матриц 3x3 над полем из p элементов с единицами на диагонали. Эта группа имеет показатель p при нечетном p (но показатель 4, если p = 2).
- Полупрямое произведение циклической группы порядка р 2 с помощью циклической группы порядка р , действующей нетривиально на нем. У этой группы показатель p 2 .
Если n - положительное целое число, существуют две экстраспециальные группы порядка p 1 + 2 n , которые для нечетного p задаются формулой
- Центральное произведение n экстраспециальных групп порядка p 3 , все экспоненты p . Эта экстраспециальная группа также имеет показатель p .
- Центральное произведение n экстраспециальных групп порядка p 3 , по крайней мере, одной степени p 2 . У этой экстраспециальной группы показатель p 2 .
Две экстраспециальные группы порядка p 1 + 2 n легче всего различить по тому факту, что в одной есть все элементы порядка не выше p, а в другой - элементы порядка p 2 .
р = 2
Есть две дополнительные особые группы порядка 8 = 2 3 , которые задаются
- Группа диэдра D 8 порядка 8, которая также может быть задана любой из двух конструкций в предыдущем разделе для p = 2 (для нечетного p они дают разные группы, но для p = 2 они дают одну и ту же группу). В этой группе 2 элемента четвертого порядка.
- Группа кватернионов Q 8 порядка 8, в которой 6 элементов порядка 4.
Если n - положительное целое число, существуют две экстраспециальные группы порядка 2 1 + 2 n , которые задаются формулой
- Центральное произведение n экстраспециальных групп порядка 8, нечетное число которых являются кватернионными группами. Соответствующая квадратичная форма (см. Ниже) имеет Arf-инвариант 1.
- Центральное произведение n экстраспециальных групп порядка 8, четное число которых являются кватернионными группами. Соответствующая квадратичная форма (см. Ниже) имеет Arf-инвариант 0.
Две экстраспециальные группы G порядка 2 1 + 2 n легче всего различить следующим образом. Если Z - центр, то G / Z - векторное пространство над полем с двумя элементами. Он имеет квадратичную форму q , где q равно 1, если подъем элемента имеет порядок 4 в G , и 0 в противном случае. Затем инвариант Arf этой квадратичной формы можно использовать для различения двух экстраспециальных групп. Точно так же можно различать группы, подсчитывая количество элементов порядка 4.
Все п
Равномерное представление экстраспециальных групп порядка p 1 + 2 n может быть дано следующим образом. Определите две группы:
M ( p ) и N ( p ) - неизоморфные экстраспециальные группы порядка p 3 с центром порядка p, порожденным c . Две неизоморфные экстраспециальные группы порядка p 1 + 2 n являются центральными произведениями либо n копий M ( p ), либо n - 1 копии M ( p ) и 1 копии N ( p ). Это частный случай классификации p -групп с циклическими центрами и простыми производными подгруппами, приведенной в ( Newman 1960 ).
Теория характера
Если G - экстраспециальная группа порядка p 1 + 2 n , то ее неприводимые комплексные представления имеют следующий вид:
- Есть в точности р 2 п неприводимых представления размерности 1. Центр Z действует тривиально, и представление только соответствует представлениям абелевой группы G / Z .
- Существует ровно p - 1 неприводимых представлений размерности p n . Для каждого нетривиального характера χ центра существует один из них, на котором центр действует как умножение на χ. Значения символов задаются р п х на Z , и 0 для элементов , не в Z .
- Если неабелева p -группа G имеет менее p 2 - p нелинейных неприводимых характеров минимальной степени, она является экстраспециальной.
Примеры
Часто централизатор инволюции в конечной простой группе содержит нормальную экстраспециальную подгруппу. Например, централизатор инволюции типа 2B в группе монстров имеет структуру 2 1 + 24 .Co 1 , что означает, что он имеет нормальную экстраспециальную подгруппу порядка 2 1 + 24 , а фактор - одна из групп Конвея .
Обобщения
Группы, у которых центр , производная подгруппа и подгруппа Фраттини равны, называются специальными группами . Бесконечные специальные группы, производная подгруппа которых имеет порядок p , также называются экстраспециальными группами. Классификация счетно бесконечных экстраспециальных групп очень похожа на конечный случай ( Newman 1960 ), но для больших мощностей даже основные свойства групп зависят от деликатных вопросов теории множеств, некоторые из которых раскрыты в ( Shelah & Steprãns 1987 ) . В нильпотентных группах , центр которой является циклическим и коммутант имеет порядок р и чьи сопряженно классы являются не более чем счетным бесконечными классифицируются ( Newman 1960 ). Конечные группы, производная подгруппа которых имеет порядок p , классифицированы в ( Blackburn 1999 ).
Рекомендации
- Blackburn, Саймон Р. (1999), "Группы простого порядка мощности с коммутантом простого порядка", журнал алгебры , 219 (2): 625-657, DOI : 10,1006 / jabr.1998.7909 , ISSN 0021-8693 , М.Р. 1706841
- Горенштейн, Д. (1980), Конечные группы , Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 0569209
- Newman, MF (1960), "Об одном классе нильпотентных групп", Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 10 : 365-375, DOI : 10,1112 / ПНИЛ / s3-10.1.365 , ISSN 0024-6115 , MR 0120278
- Шела, Сахарон ; Steprāns, Юрис (1987), "экстраспециальная р-группы", Анналы чистой и прикладной логики , 34 (1): 87-97, DOI : 10,1016 / 0168-0072 (87) 90041-8 , ISSN 0168-0072 , М.Р. 0887554