Статистика Ферми-Дирака является тип квантовой статистики , которая относится к физике одного системы , состоящей из многих одинаковых частиц , которые подчиняются принципу запрета Паули . Результатом является распределение частиц по энергетическим состояниям Ферми – Дирака . Он назван в честь Энрико Ферми и Поля Дирака , каждый из которых независимо вывел это распределение в 1926 году (хотя Ферми вывел его до Дирака). [1] [2] Статистика Ферми – Дирака является частью области статистической механики и использует принципы квантовой механики .
Статистика Ферми – Дирака (F – D) применима к идентичным и неразличимым частицам с полуцелым спином (1/2, 3/2 и т. Д.) В термодинамическом равновесии . В случае пренебрежимо малого взаимодействия между частицами система может быть описана в терминах одночастичных энергетических состояний . В результате получается F – D-распределение частиц по этим состояниям, где никакие две частицы не могут занимать одно и то же состояние, что существенно влияет на свойства системы. Статистика F – D применяется к частицам, которые называются фермионами . Чаще всего он применяется к электронам , типу фермионов со спином 1/2 .
Аналогом статистики F – D является статистика Бозе – Эйнштейна (B – E) , которая применяется к идентичным и неразличимым частицам с целочисленным спином (0, 1, 2 и т. Д.), Называемым бозонами . В классической физике статистика Максвелла – Больцмана (M – B) используется для описания частиц, которые идентичны и рассматриваются как различимые. Как для статистики B – E, так и для статистики M – B, более одной частицы могут занимать одно и то же состояние, в отличие от статистики F – D.
История
До введения статистики Ферми – Дирака в 1926 году понимание некоторых аспектов поведения электронов было затруднено из-за, казалось бы, противоречивых явлений. Например, электронная теплоемкость металла при комнатной температуре, по- видимому, обусловлена в 100 раз меньшим количеством электронов, чем в электрическом токе . [3] Также было трудно понять, почему токи эмиссии, возникающие при приложении сильных электрических полей к металлам при комнатной температуре, почти не зависят от температуры.
Трудность, с которой столкнулась модель Друде , электронная теория металлов того времени, заключалась в том, что считалось, что электроны (согласно классической статистической теории) все эквивалентны. Другими словами, считалось , что каждый электрон вклад в теплоемкость на величину порядка постоянная Больцмана K B . Эта проблема оставалась нерешенной до развития статистики F – D.
Статистика F – D была впервые опубликована в 1926 году Энрико Ферми [1] и Полем Дираком . [2] Согласно Максу Борну , Паскуаль Джордан разработал в 1925 году ту же статистику, которую он назвал статистикой Паули , но она не была своевременно опубликована. [4] [5] [6] Согласно Дираку, он был впервые изучен Ферми, и Дирак назвал его «статистикой Ферми», а соответствующие частицы - «фермионами». [7]
Статистика F – D была применена в 1926 году Ральфом Фаулером для описания коллапса звезды в белый карлик . [8] В 1927 году Арнольд Зоммерфельд применил его к электронам в металлах и разработал модель свободных электронов , [9] и в 1928 году Фаулер и Лотар Нордгейм применил его к полевой эмиссии электронов из металлов. [10] Статистика Ферми – Дирака продолжает оставаться важной частью физики.
Распределение Ферми – Дирака
Для системы одинаковых фермионов в термодинамическом равновесии, среднее число фермионов в состоянии одночастичном я задается логистической функции или сигмовидной функции : в распределении Ферми-Дирака (Ф-Д) , [11] , которая является частный случай полного интеграла Ферми – Дирака ,
где k B - постоянная Больцмана , T - абсолютная температура , ε i - энергия одночастичного состояния i , а μ - полный химический потенциал .
Дисперсия этого распределения вычисляется непосредственно из приведенного выше выражения для среднего числа. [12]
При нулевой абсолютной температуре μ равна энергии Ферми плюс потенциальная энергия на фермион, при условии, что она находится в окрестности положительной спектральной плотности. В случае спектрального зазора, например для электронов в полупроводнике , точка симметрии μ обычно называется уровнем Ферми или - для электронов - электрохимическим потенциалом , и будет расположена в середине зазора. [13] [14]
Распределение F – D справедливо только в том случае, если количество фермионов в системе достаточно велико, так что добавление еще одного фермиона в систему не оказывает незначительного влияния на μ . [15] Поскольку распределение F – D было получено с использованием принципа исключения Паули , который позволяет максимум одному фермиону занимать каждое возможное состояние, результат таков, что. [nb 1]
Энергетическая зависимость. Более постепенный при более высоком Т . когда . Не показано, чтоуменьшается для более высокого Т . [16]
Температурная зависимость для.
Распределение частиц по энергии
Приведенное выше распределение Ферми – Дирака дает распределение идентичных фермионов по одночастичным энергетическим состояниям, в которых не более одного фермиона может занимать состояние. Используя распределение F – D, можно найти распределение одинаковых фермионов по энергиям, при котором более одного фермиона могут иметь одинаковую энергию. [nb 2]
Среднее количество фермионов с энергией можно найти, умножив F – D распределение по вырождению (т.е. количество состояний с энергией ), [17] [nb 3]
Когда , Возможно, что , поскольку существует более одного состояния, в котором могут находиться фермионы с одинаковой энергией .
Когда квазиконтинуум энергий имеет связанную плотность состояний (т.е. число состояний на единицу диапазона энергий на единицу объема [18] ), среднее количество фермионов на единицу диапазона энергий на единицу объема равно
где называется функцией Ферми и является той же функцией, которая используется для распределения F – D, [19]
чтобы
Квантовые и классические режимы
Распределение Ферми – Дирака приближается к распределению Максвелла – Больцмана в пределе высокой температуры и низкой плотности частиц без необходимости каких-либо специальных предположений:
- В пределе низкой плотности частиц , следовательно или эквивалентно . В этом случае,, который является результатом статистики Максвелла-Больцмана.
- В пределе высокой температуры частицы распределены в большом диапазоне значений энергии, поэтому заселенность каждого состояния (особенно высокоэнергетического с ) снова очень мало, . Это снова сводится к статистике Максвелла-Больцмана.
Классический режим, где статистика Максвелла-Больцмана можно использовать в качестве приближения к статистике Ферми-Дирака, обнаруживается, рассматривая ситуацию , которая далека от предела наложенного принципом неопределенности Гейзенберга для положения частица и импульса . Например, в физике полупроводников, когда плотность состояний зоны проводимости намного выше, чем концентрация легирования, энергетическая щель между зоной проводимости и уровнем Ферми может быть рассчитана с использованием статистики Максвелла-Больцмана. В противном случае, если концентрацией легирования нельзя пренебречь по сравнению с плотностью состояний зоны проводимости, для точного расчета следует использовать распределение F – D. Тогда можно показать, что преобладает классическая ситуация, когда концентрация частиц соответствует среднему межчастичному расстоянию что намного больше средней длины волны де Бройля частиц: [20]
где h - постоянная Планка , а m - масса частицы .
Для случая электронов проводимости в типичном металле при Т = 300 К (т.е. примерно комнатной температуре) система далека от классического режима, потому что. Это связано с небольшой массой электрона и высокой концентрацией (т.е.) электронов проводимости в металле. Таким образом, статистика Ферми – Дирака необходима для электронов проводимости в типичном металле. [20]
Другой пример системы, не относящейся к классическому режиму, - это система, состоящая из электронов звезды, которая коллапсировала в белый карлик. Хотя температура белого карлика высока (обычно T =10 000 K на его поверхности [21] ), его высокая концентрация электронов и малая масса каждого электрона не позволяют использовать классическое приближение, и снова требуется статистика Ферми – Дирака. [8]
Производные
Большой канонический ансамбль
Распределение Ферми – Дирака, применимое только к квантовой системе невзаимодействующих фермионов, легко выводится из большого канонического ансамбля . [22] В этом ансамбле система способна обмениваться энергией и обмениваться частицами с резервуаром (температура T и химический потенциал μ, фиксируемые резервуаром).
Из-за качества невзаимодействия каждый доступный одночастичный уровень (с уровнем энергии ϵ ) образует отдельную термодинамическую систему, контактирующую с резервуаром. Другими словами, каждый одночастичный уровень представляет собой отдельный крошечный большой канонический ансамбль. По принципу запрета Паули, существует только два возможных микросостояний для уровня одночастичном: нет частиц (энергии Е = 0), или одна частица (энергия Е = ε ). Таким образом, результирующая статистическая сумма для этого одночастичного уровня состоит всего из двух членов:
и среднее число частиц для этого подсостояния одночастичного уровня дается выражением
Этот результат применим для каждого одночастичного уровня и, таким образом, дает распределение Ферми – Дирака для всего состояния системы. [22]
Также можно вычислить дисперсию числа частиц (из-за тепловых флуктуаций ) (число частиц имеет простое распределение Бернулли ):
Эта величина важна в явлениях переноса, таких как соотношения Мотта для электропроводности и термоэлектрического коэффициента для электронного газа [23], где способность уровня энергии вносить вклад в явления переноса пропорциональна.
Канонический ансамбль
Также возможно получить статистику Ферми – Дирака в каноническом ансамбле . Рассмотрим систему многих частиц, состоящую из N идентичных фермионов, которые имеют незначительное взаимное взаимодействие и находятся в тепловом равновесии. [15] Поскольку взаимодействие между фермионами незначительно, энергия государства системы многих частиц можно выразить как сумму одночастичных энергий,
где называется числом заселенности и является числом частиц в одночастичном состоянии с энергией . Суммирование ведется по всем возможным одночастичным состояниям..
Вероятность того, что система многих частиц находится в состоянии , задается нормированным каноническим распределением , [24]
где , еназывается фактором Больцмана , и суммирование ведется по всем возможным состояниямсистемы многих частиц. Среднее значение количества заполняемостиэто [24]
Обратите внимание, что состояние многочастичной системы может быть задан заселенностью частицами одночастичных состояний, т. е. заданием чтобы
и уравнение для становится
где суммирование ведется по всем комбинациям значений которые подчиняются принципу исключения Паули, и = 0 или 1 для каждого. Кроме того, каждая комбинация значений удовлетворяет ограничению, что общее количество частиц равно ,
Переставляя суммирования,
где на знаке суммы указывает, что сумма не закончилась и подчиняется ограничению, согласно которому общее количество частиц, связанных с суммированием, равно . Обратите внимание, что все еще зависит от сквозь ограничение, так как в одном случае а также оценивается с в то время как в другом случае а также оценивается с Чтобы упростить обозначения и ясно указать, что все еще зависит от через , определять
так что предыдущее выражение для можно переписать и оценить с точки зрения ,
Следующее приближение [25] будет использовано, чтобы найти выражение для замены .
где
Если количество частиц достаточно велико, чтобы изменение химического потенциала очень мала, когда в систему добавляется частица, то [26] Взявантилогарифмпо основанию e [27] с обеих сторон, подставив вместо, и перестановка,
Подставляя указанное выше в уравнение для , и используя предыдущее определение заменить для , приводит к распределению Ферми – Дирака.
Подобно распределению Максвелла-Больцмана и распределение Бозе-Эйнштейна распределение Ферми-Дирака также может быть получена с помощью метода Дарвина-Фаулера средних значений (см Мюллер-Кирстен [28] ).
Микроканонический ансамбль
Результат может быть достигнут путем прямого анализа кратностей системы и использования множителей Лагранжа . [29]
Предположим, у нас есть несколько уровней энергии, обозначенных индексом i , каждый из которых имеет энергию ε i и содержит в общей сложности n i частиц. Предположим, что каждый уровень содержит g i различных подуровней, все из которых имеют одинаковую энергию и различимы. Например, две частицы могут иметь разные импульсы (т.е. их импульсы могут быть в разных направлениях), и в этом случае они отличаются друг от друга, но при этом могут иметь одинаковую энергию. Значение g i, связанное с уровнем i , называется «вырождением» этого уровня энергии. Принцип исключения Паули гласит, что на любом таком подуровне может занимать только один фермион.
Количество способов распределения n i неотличимых частиц по подуровням g i уровня энергии, с максимумом одной частицы на подуровень, задается биномиальным коэффициентом с использованием его комбинаторной интерпретации
Например, распределение двух частиц по трем подуровням даст численность населения 110, 101 или 011, что в сумме составит три способа, что равно 3! / (2! 1!).
Количество способов, которыми может быть реализован набор чисел занятости n i , является продуктом способов, которыми может быть заполнен каждый индивидуальный энергетический уровень:
Следуя той же процедуре, которая использовалась при выводе статистики Максвелла – Больцмана , мы хотим найти набор n i, для которого W является максимальным, при условии, что существует фиксированное количество частиц и фиксированная энергия. Мы ограничиваем наше решение с помощью множителей Лагранжа, образующих функцию:
Используя приближение Стирлинга для факториалов, взяв производную по n i , установив результат равным нулю и решив для n i, получаем числа Ферми-Дирака:
Посредством процесса, аналогичного описанному в статистической статье Максвелла – Больцмана , можно термодинамически показать, что а также , так что, наконец, вероятность того, что государство будет занято, равна:
Смотрите также
- Большой канонический ансамбль
- Принцип исключения Паули
- Полный интеграл Ферми-Дирака
- Уровень Ферми
- Ферми газ
- Статистика Максвелла – Больцмана
- Статистика Бозе – Эйнштейна
- Парастатистика
- Логистическая функция
Заметки
- ^ Обратите внимание, что также вероятность того, что состояние занят, так как не более одного фермиона могут занимать одно и то же состояние одновременно и .
- ^ Эти распределения по энергиям, а не по состояниям, иногда также называют распределением Ферми – Дирака, но эта терминология не будет использоваться в этой статье.
- ^ Обратите внимание, что в формуле. (1), а также соответствуют соответственно а также в этой статье. См. Также уравнение. (32) на стр. 339.
Рекомендации
- ^ а б Ферми, Энрико (1926). "Sulla quantizzazione del gas perfetto monoatomico". Rendiconti Lincei (на итальянском языке). 3 : 145–9., переводится как Заннони, Альберто (1999-12-14). «О квантовании одноатомного идеального газа». arXiv : cond-mat / 9912229 .
- ^ а б Дирак, Поль AM (1926). «К теории квантовой механики» . Труды Королевского общества А . 112 (762): 661–77. Bibcode : 1926RSPSA.112..661D . DOI : 10.1098 / rspa.1926.0133 . JSTOR 94692 .
- ^ ( Киттель 1971 , стр. 249–50)
- ^ "История науки: загадка Копенгагенской встречи Бора и Гейзенберга" . Неделя науки . 4 (20). 2000-05-19. OCLC 43626035 . Архивировано из оригинала на 2009-04-11 . Проверено 20 января 2009 .
- ^ Шюкинг: Джордан, Паули, Политика, Брехт и переменная гравитационная постоянная. В кн . : Физика сегодня. Группа 52, 1999, Heft 10
- ^ Элерса, Schuecking: Aber Джордан войны дер Erste. В кн . : Physik Journal. Группа 1, 2002, Heft 11
- ^ Дирак, Поль AM (1967). Принципы квантовой механики (переработанное 4-е изд.). Лондон: Издательство Оксфордского университета. С. 210–1. ISBN 978-0-19-852011-5.
- ^ а б Фаулер, Ральф Х. (декабрь 1926 г.). «По плотной материи» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 87 (2): 114–22. Bibcode : 1926MNRAS..87..114F . DOI : 10.1093 / MNRAS / 87.2.114 .
- ^ Зоммерфельд, Арнольд (1927-10-14). "Zur Elektronentheorie der Metalle" [Об электронной теории металлов]. Naturwissenschaften (на немецком языке). 15 (41): 824–32. Bibcode : 1927NW ..... 15..825S . DOI : 10.1007 / BF01505083 . S2CID 39403393 .
- ^ Фаулер, Ральф Х .; Нордхейм, Лотар В. (1928-05-01). «Электронная эмиссия в интенсивных электрических полях» . Труды Королевского общества А . 119 (781): 173–81. Bibcode : 1928RSPSA.119..173F . DOI : 10.1098 / RSPA.1928.0091 . JSTOR 95023 .
- ^ ( Рейф 1965 , стр.341)
- ^ Пирсолл, Томас (2020). Квантовая фотоника, 2-е издание . Тексты для выпускников по физике. Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-030-47325-9 . ISBN 978-3-030-47324-2.
- ^ ( Блейкмор 2002 , стр.11 )
- ^ Киттель, Чарльз ; Кремер, Герберт (1980). Теплофизика (2-е изд.). Сан-Франциско: WH Freeman. п. 357. ISBN. 978-0-7167-1088-2.
- ^ a b ( Рейф 1965 , стр. 340–342)
- ^ ( Киттель, 1971 , с. 245, рис. 4 и 5)
- ^ Лейтон, Роберт Б. (1959). Принципы современной физики . Макгроу-Хилл. п. 340 . ISBN 978-0-07-037130-9.
- ^ ( Блейкмор 2002 , стр.8 )
- ^ ( Рейф 1965 , стр. 389)
- ^ a b ( Рейф 1965 , стр. 246–248)
- ^ Мукаи, Кодзи; Джим Лохнер (1997). «Спросите астрофизика» . Представьте себе Вселенную НАСА . Центр космических полетов имени Годдарда НАСА. Архивировано из оригинала на 2009-01-18.
- ^ а б Шривастава, РК; Ашок, Дж. (2005). "Глава 6". Статистическая механика . Нью-Дели : PHI Learning Pvt. ООО ISBN 9788120327825.
- ^ Катлер, М .; Мотт, Н. (1969). «Наблюдение локализации Андерсона в электронном газе». Физический обзор . 181 (3): 1336. Полномочный код : 1969PhRv..181.1336C . DOI : 10.1103 / PhysRev.181.1336 .
- ^ a b ( Рейф, 1965 , стр. 203–6)
- ^ См., Например, Производная - Определение через разностные коэффициенты , которая дает приближение f (a + h) ≈ f (a) + f '(a) h .
- ^ ( Reif 1965 , стр. 341–2) См. Уравнение. 9.3.17 и замечание относительно достоверности приближения .
- ^ По определению, база е антилогарифма А является е .
- ^ HJW Мюллер-Кирстен, Основы статистической физики, 2-е. изд., World Scientific (2013), ISBN 978-981-4449-53-3 .
- ^ ( Блейкмор 2002 , стр. 343–5)
дальнейшее чтение
- Рейф, Ф. (1965). Основы статистической и теплофизики . Макгроу – Хилл. ISBN 978-0-07-051800-1.
- Блейкмор, Дж.С. (2002). Полупроводниковая статистика . Дувр. ISBN 978-0-486-49502-6.
- Киттель, Чарльз (1971). Введение в физику твердого тела (4-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-14286-7. OCLC 300039591 .