В математике, особенно в функциональном анализе и теории гильбертовых пространств , основная теорема о гильбертовых пространствах дает необходимое и достаточное условие того, что хаусдорфово предгильбертово пространство является гильбертовым пространством в терминах канонической изометрии предгильбертова пространства в его анти-дуальный .
Предварительные мероприятия
Антилинейные функционалы и антидвойственные
Предположим, что H - топологическое векторное пространство (TVS). Функция F : H → ℂ называется полулинейная или антилинейный [1] , если для всех х , у ∈ H и все скаляры с ,
- Добавка : f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ;
- Сопряжение однородное : f ( c x ) = c f ( x ) .
Векторное пространство всех непрерывных антилинейных функций на H называется антидвойственным пространством или комплексно сопряженным двойственным пространством к H и обозначается через(напротив, непрерывное двойственное пространство к H обозначается через), Который мы делаем в нормированное пространство наделяя его с канонической нормой (определенной таким же образом , как каноническая норма на непрерывном сопряженном пространстве от H ). [1]
Предгильбертовы пространства и полуторалинейные формы
Полуторалинейная форма представляет собой карту B : H × H → ℂ , что для всех у ∈ H , карты , определяемой Купить ↦ B ( х , у ) является линейным , так и для всех х ∈ H , отображение , определенное у ↦ Б ( х , у ) является антилинейным . [1] Обратите внимание, что в физике принято, что полуторалинейная форма линейна по второй координате и антилинейна по первой координате.
Полуторалинейная форма на H называется положительно определенной, если B ( x , x )> 0 для всех отличных от 0 x ∈ H ; она называется неотрицательным , если В ( х , х ) ≥ 0 для всех х ∈ H . [1] Полуторалинейная форма B на H называется эрмитовой формой, если, кроме того, она обладает тем свойством, чтодля всех х , у ∈ H . [1]
Предгильбертово и гильбертово пространства
Предгильбертово пространством является парой , состоящей из векторного пространства H и неотрицательная формы полуторалинейной B на H ; если вдобавок эта полуторалинейная форма B положительно определена, то ( H , B ) называется хаусдорфовым предгильбертовым пространством . [1] Если B неотрицательна, то она индуцирует каноническую полунорму на H , обозначаемую, определяемый формулой x ↦ B ( x , x ) 1/2 , где, если B также положительно определен, то это отображение является нормой . [1] Эта каноническая полунорма превращает каждое предгильбертово пространство в полунормированное пространство и каждое хаусдорфово предгильбертово пространство в нормированное пространство . Полуторалинейная форма Б : Н × H → ℂ отдельно равномерно непрерывна в каждом из своих двух аргументов и , следовательно , может быть расширена в отдельно непрерывную форму полуторалинейной на завершение из Н ; если Н является Хаусдорфово то это пополнение является гильбертово пространство . [1] Полное хаусдорфово предгильбертово пространство называется гильбертовым пространством .
Каноническая карта в анти-дуальное
Предположим, что ( H , B ) - предгильбертово пространство. Если h ∈ H , определим канонические отображения:
- B ( h , •): H → ℂ, где y ↦ B ( h , y ) , и
- B (•, h ): H → ℂ, где x ↦ B ( x , h )
Каноническое отображение [1] из H в его анти-двойной это карта
- определяется как x ↦ B ( x , •) .
Если ( H , B ) - предгильбертово пространство, то это каноническое отображение линейно и непрерывно; это отображение является изометрией на векторное подпространство анти-двойственного тогда и только тогда, когда ( H , B ) является прегильбертовым по Хаусдорфу. [1]
Конечно, существует каноническая антилинейная сюръективная изометрия. который переводит непрерывный линейный функционал f на H в непрерывный антилинейный функционал, обозначенный f и определенный x ↦ f ( x ) .
Основная теорема
- Основная теорема гильбертовых пространств : [1] Предположим, что ( H , B ) - это хаусдорфово предгильбертово пространство, где B : H × H → ℂ - полуторалинейная форма , линейная по своей первой координате и антилинейная по второй координате. Тогда каноническое линейное отображение из Н в анти-сопряженное пространство из H является сюръективно тогда и только тогда , когда ( Н , В ) является гильбертово пространством, причем в этом случае канонического отображение является сюръективной изометрией из Н на его анти-двойной.
Смотрите также
- Комплексно-сопряженное векторное пространство
- Двойная система
- Гильбертово пространство
- Предгильбертово пространство
- Линейная карта
- Теорема Рисса о представлении
- Полуторалинейная форма
Рекомендации
- ^ Б с д е е г ч я J K Trèves 2006 , стр. 112-123.
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .