Поскольку у безвихревого векторного поля есть скалярный потенциал, а у соленоидального векторного поля есть векторный потенциал , разложение Гельмгольца утверждает, что векторное поле (удовлетворяющее соответствующим условиям гладкости и затухания) может быть разложено как сумма вида, где - это скалярное поле, называемое «скалярным потенциалом», а A - векторное поле, называемое векторным потенциалом.
Формулировка теоремы
Позволять - векторное поле в ограниченной области , дважды непрерывно дифференцируемую, и пусть - поверхность, ограничивающая область . потомможно разложить на компонент без завитков и компонент без дивергенции: [11]
где
а также - оператор набла относительно , нет .
Если и поэтому неограничен, и исчезает быстрее, чем в виде , то [12]
Вывод
Предположим, у нас есть векторная функция из которых мы знаем завиток, , а расхождение , в области и полей на границе. Написание функции с использованием дельта-функции в форме
является функцией Грина для лапласиана , и в более общих условиях ее следует заменить соответствующей функцией Грина - например, в двух измерениях ее следует заменить на. Для более высокомерного обобщения см. Обсуждение разложения Ходжа ниже .
Другой вывод из преобразования Фурье
Отметим, что в сформулированной здесь теореме мы наложили условие, что если не определена в ограниченной области, то распадется быстрее, чем . Таким образом, преобразование Фурье, обозначаемый как , существует гарантированно. Мы применяем конвенцию
Преобразование Фурье скалярного поля - это скалярное поле, а преобразование Фурье векторного поля - это векторное поле той же размерности.
Теперь рассмотрим следующие скалярные и векторные поля:
Следовательно
Поля с заданной расходимостью и завитком
Термин «теорема Гельмгольца» может также относиться к следующему. Пусть C - соленоидальное векторное поле, а d - скалярное поле на R 3, которые достаточно гладкие и обращаются в нуль быстрее, чем 1 / r 2 на бесконечности. Тогда существует векторное поле F такое, что
если дополнительно векторное поле F обращается в нуль при r → ∞ , то F единственно. [12]
Другими словами, векторное поле может быть построено как с заданной дивергенцией, так и с заданным ротором, и если оно также обращается в нуль на бесконечности, оно однозначно определяется своей дивергенцией и ротором. Эта теорема имеет большое значение в электростатике , поскольку уравнения Максвелла для электрического и магнитного полей в статическом случае относятся именно к этому типу. [12] Доказательство проводится с помощью конструкции, обобщающей приведенную выше: положим
где представляет собой оператор потенциала Ньютона . (При воздействии на векторное поле, такое как ∇ × F , определено, что оно действует на каждый компонент.)
Дифференциальные формы
Разложение Ходжа тесно связано с разложением Гельмгольца, обобщения векторных полей на R 3 до дифференциальных форм на риманова многообразия М . Большинство формулировок разложения Ходжа требует, чтобы M была компактной . [13] Поскольку это неверно для R 3 , теорема о разложении Ходжа не является строго обобщением теоремы Гельмгольца. Однако ограничение компактности в обычной формулировке разложения Ходжа можно заменить подходящими предположениями о убывании на бесконечности задействованных дифференциальных форм, что дает надлежащее обобщение теоремы Гельмгольца.
Слабая формулировка
Разложение Гельмгольца также можно обобщить, уменьшив предположения регулярности (необходимость существования сильных производных). Предположим, что Ω - ограниченная односвязная липшицева область . Каждое квадратично интегрируемое векторное поле u ∈ ( L 2 (Ω)) 3 имеет ортогональное разложение:
где φ находится в пространстве Соболева H 1 (Ω) суммируемых с квадратом функций на Ω , частные производные которых, определенные в смысле распределения , интегрируемы с квадратом, а A ∈ H (rot, Ω) - пространство векторных полей Соболева, состоящее из квадратов интегрируемые векторные поля с квадратично интегрируемым ротором.
Для чуть более гладкого векторного поля u ∈ H (curl, Ω) справедливо аналогичное разложение:
где φ ∈ H 1 (Ω), v ∈ ( H 1 (Ω)) d .
Продольные и поперечные поля
Терминология, часто используемая в физике, относится к безвихревой составляющей векторного поля как к продольной составляющей и к бездивергентной составляющей как к поперечной составляющей . [14] Эта терминология происходит от следующей конструкции: Вычислить трехмерное преобразование Фурье. векторного поля . Затем разложите это поле в каждой точке k на две составляющие, одна из которых указывает продольно, т. Е. Параллельно k , а другая - в поперечном направлении, т. Е. Перпендикулярно k . Пока у нас есть
Теперь применим обратное преобразование Фурье к каждой из этих компонент. Используя свойства преобразований Фурье, получаем:
С а также ,
мы можем получить
так что это действительно разложение Гельмгольца. [15]
Полоидально-тороидальное разложение для дальнейшего разложения бездивергентной компоненты.
Скалярно-векторно-тензорное разложение
Заметки
^ О теореме Гельмгольца в конечных областях. Автор Жан Блейдель . Ассоциация исследований университетов Среднего Запада, 1958.
^ Герман фон Гельмгольц. Clarendon Press, 1906. Лео Кенигсбергер . p357
^ Элементарный курс интегрального исчисления. По Даниель Александр Мюррей . Американская книжная компания, 1898. С. 8.
^ JW Гиббс и Эдвин Бидвелл Вильсон (1901) Векторный анализ , страница 237, ссылка из Интернет-архива
^ Электромагнитная теория, Том 1. Оливер Хевисайд . Типография и издательство "Электрик", с ограниченной ответственностью, 1893 г.
^ Элементы дифференциального исчисления. По Уэсли Стокер Баркер Woolhouse . Уил, 1854 г.
^ Элементарный трактат по интегральному исчислению: основанный на методе скоростей или потоков. По Уильям Вулси Джонсон . John Wiley & Sons, 1881. См. Также: Метод флюксий .
^ Векторное исчисление: с приложениями к физике. По Джеймс Byrnie Шоу . Д. Ван Ностранд, 1922. С. 205. См. Также: Теорема Грина .
^ Трактат по интегральному исчислению, том 2. Джозеф Эдвардс . Chelsea Publishing Company, 1922 год.
^ См .:
Х. Гельмгольц (1858) "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welcher der Wirbelbewegungen entsprechen" (Об интегралах уравнений гидродинамики, которые соответствуют вихревым движениям), Journal für die reine und angewandte Mathematik , 55 : 25–55. На странице 38 компоненты скорости жидкости ( u , v , w ) выражены в терминах градиента скалярного потенциала P и ротора векторного потенциала ( L , M , N ).
Однако Гельмгольца в значительной степени предвосхитил Джордж Стоукс в своей статье: GG Stokes (представлен: 1849; опубликован: 1856) «О динамической теории дифракции», Transactions of the Cambridge Philosophical Society , vol. 9, часть I, страницы 1–62; см. страницы 9–10.
^ "Теорема Гельмгольца" (PDF) . Университет Вермонта. Архивировано из оригинального (PDF) 13 августа 2012 года . Проверено 11 марта 2011 .
^ a b c Дэвид Дж. Гриффитс , Введение в электродинамику , Прентис-Холл, 1999, стр. 556.
^Кантарелла, Джейсон; ДеТерк, Деннис; Глюк, Герман (2002). "Векторное исчисление и топология областей в трехмерном пространстве". Американский математический ежемесячник . 109 (5): 409–442. DOI : 10.2307 / 2695643 . JSTOR 2695643 .
^ Стюарт, AM; Продольные и поперечные компоненты векторного поля, Sri Lankan Journal of Physics 12, 33–42 (2011).
^ Интернет-записи лекций Роберта Литтлджона
Рекомендации
Общие ссылки
Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков , 4-е издание, Academic Press: San Diego (1995), стр. 92–93
Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков - международное издание , 6-е издание, Academic Press: San Diego (2005), стр. 95–101
Резерфорд Арис , Векторы, тензоры и основные уравнения механики жидкости , Прентис-Холл (1962), OCLC 299650765 , стр. 70–72
Ссылки на слабую формулировку
Amrouche, C .; Бернарди, К .; Дауге, М .; Жиро, В. (1998). «Векторные потенциалы в трехмерных негладких областях». Математические методы в прикладных науках . 21 : 823–864. Bibcode : 1998MMAS ... 21..823A . DOI : 10.1002 / (sici) 1099-1476 (199806) 21: 9 <823 :: aid-mma976> 3.0.co; 2-b .
Р. Даутрей и Ж.-Л. Львы. Спектральная теория и приложения, том 3 математического анализа и численных методов в науке и технике. Springer-Verlag, 1990.
В. Жиро и П.А. Равьяр. Методы конечных элементов для уравнений Навье – Стокса: теория и алгоритмы. Серия Спрингера в вычислительной математике. Спрингер-Верлаг, 1986.