Представительство Клебша

В физике и математике представление Клебша произвольного трехмерного векторного поля : ^[1]^[2] ${\ displaystyle {\boldsymbol {v}} ({\boldsymbol {x}})}$

где скалярные поля и известны как потенциалы Клебша ^[3] или потенциалы Монжа , ^[4] названы в честь Альфреда Клебша (1833–1872) и Гаспара Монжа (1746–1818), а – оператор градиента . ${\ Displaystyle \ varphi ({\boldsymbol {х}})}$ ${\ Displaystyle, \ фунтов на квадратный дюйм ({\boldsymbol {х}})}$ ${\ Displaystyle \ чи ({\boldsymbol {х}})}$ ${\ Displaystyle {\boldsymbol {\набла}}}$

В гидродинамике и физике плазмы представление Клебша позволяет преодолеть трудности описания невязкого потока с ненулевой завихренностью — в эйлеровой системе отсчета — с использованием лагранжевой механики и гамильтоновой механики . ^[5]^[6]^[7] В критической точке таких функционалов результатом являются уравнения Эйлера , набор уравнений, описывающих течение жидкости. Заметим, что указанные трудности не возникают при описании течения по вариационному принципу вЛагранжева система отсчета . В случае поверхностных гравитационных волн представление Клебша приводит к вращательно-поточной форме вариационного принципа Люка . ^[8]

Чтобы представление Клебша было возможным, векторное поле должно (локально) быть ограниченным , непрерывным и достаточно гладким . Глобальная применимость должна достаточно быстро угасать до бесконечности . ^[9] Разложение Клебша не является уникальным, и (два) дополнительных ограничения необходимы для однозначного определения потенциалов Клебша. ^[1] Так как в общем случае не соленоидальное , представление Клебша в общем случае не удовлетворяет разложению Гельмгольца . ^[10] ${\ Displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\ Displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\ Displaystyle \ psi {\ boldsymbol {\ набла}} \ чи}$

Завихренность равна ^[2] ${\ displaystyle {\boldsymbol {\omega}} ({\boldsymbol {x}})}$

с последним шагом из-за тождества векторного исчисления Таким образом, завихренность перпендикулярна обоим , и в то время как далее завихренность не зависит от ${\boldsymbol {\nabla}}\times (\psi {\boldsymbol {A}})=\psi ({\boldsymbol {\nabla}}\times {\boldsymbol {A}})+{\boldsymbol {\nabla}}\psi \times {\boldsymbol {A}}.$ ${\ displaystyle {\boldsymbol {\omega}}}$ ${\ Displaystyle {\boldsymbol {\набла}}\psi}$ ${\ Displaystyle {\boldsymbol {\набла}}\чи,}$ ${\ Displaystyle \ varphi.}$