В алгебре , лемма Гаусса , [1] назван в честь Карла Фридриха Гаусса , является утверждение о полиномами над целыми числами , или, в более общем плане , по области уникальной факторизации (то есть кольцо , которое имеет уникальную факторизационную свойство , аналогичное фундаментальным Теорема арифметики ). Лемма Гаусса лежит в основе всей теории факторизации и наибольших общих делителей таких многочленов.
Лемма Гаусса утверждает, что произведение двух примитивных многочленов является примитивным (многочлен с целыми коэффициентами является примитивным, если он имеет 1 в качестве наибольшего общего делителя его коэффициентов).
Следствие леммы Гаусса, иногда также называемое леммой Гаусса , состоит в том, что примитивный многочлен неприводим над целыми числами тогда и только тогда, когда он неприводим над рациональными числами . В более общем смысле, примитивный многочлен имеет одинаковую полную факторизацию по целым и рациональным числам. В случае коэффициентов в уникальной области факторизации R , «рациональные числа» следует заменить на « поле фракций из R ». Это означает, что если R является либо полем , либо кольцом целых чисел, либо уникальной областью факторизации, то каждое кольцо полиномов (в одном или нескольких неопределенных) над R является уникальной областью факторизации. Другое следствие состоит в том, что факторизация и вычисление наибольшего общего делителя многочленов с целыми числами или рациональными коэффициентами могут быть сведены к аналогичным вычислениям над целыми числами и примитивными многочленами. Это систематически используется (явно или неявно) во всех реализованных алгоритмах (см. Наибольший общий делитель полинома и Факторизация полиномов ).
Лемма Гаусса и все ее следствия, не связанные с существованием полной факторизации, остаются верными для любой области НОД ( области целостности, в которой существуют наибольшие общие делители). В частности, кольцо многочленов над областью НОД также является областью НОД. Если назвать примитивным многочлен такой, что коэффициенты порождают единичный идеал , лемма Гаусса верна для каждого коммутативного кольца . [2] Однако следует проявлять некоторую осторожность при использовании этого определения примитива , поскольку в уникальной области факторизации, которая не является областью главного идеала , есть многочлены, которые являются примитивными в указанном выше смысле и не примитивными в этом новом смысле. .
Лемма о целых числах
Если - многочлен с целыми коэффициентами, то называется примитивным, если наибольший общий делитель всех коэффициентовравно 1; другими словами, никакое простое число не делит все коэффициенты.
Лемма Гаусса (примитивность) - Если P и Q являются примитивными многочленами от целых чисел, то произведение PQ также примитивно.
Доказательство: очевидно, что произведение f ( x ). g ( x ) двух примитивных многочленов имеет целые коэффициенты. Следовательно, если оно не является примитивным, должно быть простое число p, являющееся общим делителем всех его коэффициентов. Но p не может делить все коэффициенты ни f ( x ), ни g ( x ) (иначе они не были бы примитивными). Пусть a r x r будет первым членом f ( x ), не делимым на p, и пусть b s x s будет первым членом g ( x ), не делимым на p . Теперь рассмотрим член x r + s в произведении. Его коэффициент должен иметь вид:
Первый член не делится на p (поскольку p простое число), но все остальные делятся, поэтому вся сумма не может делиться на p . По предположению все коэффициенты в произведении делятся на p , что приводит к противоречию. Следовательно, коэффициенты произведения не могут иметь общего делителя и поэтому являются примитивными.
Лемма Гаусса (Неприводимость) - Непостоянный многочлен от Z [ X ] неприводит в Z [ X ] тогда и только тогда , когда она является как неприводит в Q [ X ] и примитивной в Z [ X ].
Доказательство для более общего случая приводится ниже. Обратите внимание, что неприводимый элемент Z (простое число) по-прежнему неприводим, если рассматривать его как постоянный многочлен от Z [ X ]; это объясняет необходимость использования «непостоянства» в заявлении.
Утверждения для уникальных доменов факторизации
Лемма Гаусса верна в более общем случае для произвольных уникальных областей факторизации . Здесь содержание c ( P ) многочлена P может быть определено как наибольший общий делитель коэффициентов P (как и gcd, содержание фактически является набором ассоциированных элементов ). Тогда многочлен P с коэффициентами в UFD называется примитивным, если единственные элементы R, которые делят все коэффициенты P одновременно, являются обратимыми элементами R ; т.е. НОД коэффициентов равен единице.
Утверждение примитивности: если R - UFD, то множество примитивных многочленов в R [ X ] замкнуто относительно умножения. В более общем плане содержание продукта многочленов - произведение их индивидуального содержания.
Утверждение о неприводимости: пусть R - единственная область факторизации, а F - ее поле дробей . Непостоянный многочлен в неприводимо в тогда и только тогда, когда они оба неприводимы в и примитивный в .
(Доказательства см. Ниже # Общая версия .)
Позволять - уникальная факторизационная область с полем дробей . Если является полиномом над , то для некоторых , имеет коэффициенты в итак, за вычетом gcd коэффициентов можно записать: для некоторого примитивного полинома . Как можно проверить, этот многочленуникален с точностью до умножения на единичный элемент и называется примитивной частью (или примитивным представителем ) и обозначается . Процедура совместима с продуктом:.
Конструкцию можно использовать для отображения оператора:
- Кольцо многочленов над UFD - это UFD.
Действительно, по индукции достаточно показать является УФО, когда это УрФО. Позволятьненулевой многочлен. Сейчас, является уникальной областью факторизации (так как это область главных идеалов) и, следовательно, как многочлен от , можно разложить на множители как:
где неприводимые многочлены от . Теперь мы пишем для gcd коэффициентов (а также это примитивная часть), а затем:
Сейчас, является произведением простых элементов (поскольку является УФД) и простым элементом является основным элементом , в виде является областью целостности. Следовательно,допускает разложение на простые множители (или единственное разложение на неприводимые числа). Затем заметьте, что является единственной факторизацией на неприводимые элементы , поскольку (1) каждый неприводима по утверждению о неприводимости и (2) единственна, поскольку факторизация также можно рассматривать как факторизацию в и факторизация там уникальна. С однозначно определяются , с точностью до единичных элементов, указанная выше факторизация является единственной факторизацией на неприводимые элементы.
Условие, что « R - единственная область факторизации» не является лишним, поскольку оно подразумевает, что каждый неприводимый элемент этого кольца также является простым элементом , что, в свою очередь, означает, что каждый ненулевой элемент R имеет не более одной факторизации в произведение неприводимых элементы и единица до упорядочения и ассоциативной связи. В кольце, где факторизация не уникальна, скажем, pa = qb с p и q неприводимыми элементами, которые не делят ни один из множителей на другой стороне, произведение ( p + qX ) ( a + qX ) = pa + ( p + a ) qX + q 2 X 2 = q ( b + ( p + a ) X + qX 2 ) показывает несостоятельность утверждения о примитивности. В качестве конкретного примера можно взять R = Z [ i √ 5 ] , p = 1 + i √ 5 , a = 1 - i √ 5 , q = 2 , b = 3 . В этом примере многочлен 3 + 2X + 2X 2 (полученный делением правой части на q = 2 ) представляет собой пример отказа утверждения о неприводимости (он неприводим над R , но приводим над своим полем дробей Q [ i √ 5 ] ). Другой хорошо известный пример - многочлен X 2 - X - 1 , корнями которого являются золотое сечение φ = ( 1 + √ 5 ) / 2 и его сопряженное ( 1 - √ 5 ) / 2, показывающее, что он приводим над полем Q [√ 5 ] , хотя это неприводимо над не-UFD Z [√ 5 ], которое имеет Q [√ 5 ] как поле дробей. В последнем примере кольцо можно превратить в UFD, взяв его целое замыкание Z [φ] в Q [√ 5 ] (кольцо целых чисел Дирихле), над которым X 2 - X - 1 становится приводимым, но в первом пример R уже целиком замкнут.
Общая версия
Позволять коммутативное кольцо. Если является многочленом от , то пишем для идеала порождается всеми коэффициентами при ; это называется содержанием. Обратите внимание, что для каждого . Следующее предложение констатирует более существенное свойство.
Предложение [3] - Для каждой пары многочленов в ,
где обозначает радикал идеала . Более того, если является доменом GCD (например, уникальным доменом факторизации), то
где обозначает единственный минимальный главный идеал, содержащий конечно порожденный идеал . [примечание 1]
Многочлен называется примитивным, еслиэто идеальная единица. [4] Когда(или, в более общем смысле, область Безу ), это согласуется с обычным определением примитивного многочлена. (Но еслиявляется только UFD, это определение несовместимо с определением примитивности в #Statements для уникальных доменов факторизации .)
Следствие [2] - Два многочлена. примитивны тогда и только тогда, когда продукт примитивен.
Доказательство: это легко использовать тот факт [5], что подразумевает
Следствие [6] - Пусть является областью НОД (например, уникальной областью факторизации) с полем дробей . Тогда непостоянный многочлен в неприводимо тогда и только тогда, когда оно неприводимо в и НОД коэффициентов при равно 1.
Доказательство: () Прежде всего отметим, что НОД коэффициентов равно 1, поскольку в противном случае мы можем вынести некоторый элемент из коэффициентов написать , что противоречит несводимости . Далее предположим для некоторых непостоянных многочленов в . Тогда для некоторых, многочлен имеет коэффициенты в и поэтому, вычленив gcd коэффициентов запишем . Сделайте то же самое для и мы можем написать для некоторых . Теперь позвольте для некоторых . потом. Отсюда, используя предложение, получаем:
- .
Это, разделяет . Таким образом, а затем факторизация составляет противоречие с несводимостью .
() Если неприводимо над , то либо оно неприводимо над или он содержит в качестве множителя постоянный многочлен, вторая возможность исключается предположением.
Доказательство предложения: Ясно, что. Если простой идеал, содержащий , тогда по модулю . С является кольцом многочленов над областью целостности и, следовательно, является областью целостности, это влечет либо или же по модулю . Следовательно, либо или же содержится в . С является пересечением всех простых идеалов, содержащих и выбор был произвольным, .
Теперь докажем «более того». Вынося за скобки НОД из коэффициентов, мы можем написать а также где НОД коэффициентов оба равны 1. Ясно, что достаточно доказать утверждение, когда заменены на ; таким образом, мы предполагаем, что НОД коэффициентов оба равны 1. Остальная часть доказательства проста и прозрачна, если - уникальная область факторизации; таким образом, мы приводим здесь доказательство для этого случая (и см. [примечание 2] для доказательства для случая НОД). Если, то доказывать нечего. Итак, предположим иначе; то есть неединичный элемент, делящий коэффициенты. Факторизуя этот элемент в произведении простых элементов, мы можем принять этот элемент как простой элемент.. Теперь у нас есть:
- .
Таким образом, либо содержит или же ; что противоречит НОД коэффициентов при оба 1.
- Примечание : в области НОД (например, в области уникальной факторизации) НОД всех коэффициентов многочлена, уникальный с точностью до единичных элементов, также называется содержимым .
Приложения
Из леммы Гаусса следует, что для каждой единственной области факторизации , кольцо многочленов также является уникальным доменом факторизации (см. # Заявления для уникальных доменов факторизации ). Лемма Гаусса также может быть использована для доказательства критерия неприводимости Эйзенштейна . Наконец, его можно использовать, чтобы показать, что циклотомические многочлены (унитарные единицы с целыми коэффициентами) неприводимы.
Из леммы Гаусса следует следующее утверждение:
- Если является моническим многочленом от одной переменной с коэффициентами в единственной области факторизации (или, в более общем смысле, домен GCD), затем корень что находится в области дробей из в . [заметка 3]
Если , то он говорит, что рациональный корень монического многочлена над целыми числами является целым числом (см. теорему о рациональном корне ). Чтобы увидеть заявление, позвольте быть корнем в и предполагать относительно просты. В, мы можем написать с участием для некоторых . потом
- ,
это факторизация в . Но примитивен (в смысле UFD) и, следовательно, делит коэффициенты при по лемме Гаусса, поэтому
- ,
с участием в . С моник, это возможно только когда это единица.
Аналогичный аргумент показывает:
- Позволять - НОД с полем дробей а также . Если для некоторого полинома это примитивно в смысле UFD и , тогда .
Утверждение о неприводимости также означает, что минимальный многочлен по рациональным числам целого алгебраического числа имеет целые коэффициенты.
Примечания и ссылки
- ^ Генератор главного идеала - это НОД некоторых образующих I (и он существует, потому что является доменом GCD).
- ^ Доказательство для случая GCD : здесь доказательство заимствовано из Mines, R .; Richman, F .; Руйтенбург, В. (1988). Курс конструктивной алгебры . Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96640-4. Нам понадобится следующая простая лемма о НОД:
- Если , тогда .
- .
- ^ Другими словами, он говорит, что уникальная область факторизации интегрально замкнута .
- ^ Статья 42 Гаусс «s Disquisitiones Arithmeticae (1801)
- ^ а б Атья и Макдональд , гл. 1., упражнение 2. (iv) и упражнение 3.
- ^ Эйзенбуд , Упражнение 3.4. а)
- Перейти ↑ Atiyah & MacDonald , Ch. 1., упражнение 2. (iv )
- Перейти ↑ Atiyah & MacDonald , Ch. 1., упражнение 1.13.
- ^ Эйзенбад , упражнения 3.4.c; Случай, когда R - УФД.
- Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
- Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике, 150 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1, Руководство по ремонту 1322960 , ISBN 978-0-387-94269-8