Строение линейки и компаса
Построение линейки и компаса , также известное как построение линейки и циркуля или классическое построение , представляет собой построение длин, углов и других геометрических фигур с использованием только идеализированной линейки и циркуля .
Предполагается, что идеализированная линейка, известная как линейка , имеет бесконечную длину, имеет только одно ребро и не содержит отметок на нем. Предполагается, что у компаса нет максимального или минимального радиуса, и предполагается, что он «схлопывается» при отрыве от страницы, поэтому его нельзя напрямую использовать для передачи расстояний. (Это неважное ограничение, поскольку при использовании многоэтапной процедуры расстояние может быть передано даже с помощью складывающегося компаса; см . теорему об эквивалентности компаса . Однако обратите внимание, что, хотя не складывающийся компас, приложенный к линейке, может показаться эквивалентным маркируя его, конструкция neusis по-прежнему недопустима, и это то, что на самом деле означает немаркированный: см. Маркируемые линейки .ниже.) Говоря более формально, единственными допустимыми конструкциями являются те, которые предоставлены первыми тремя постулатами Евклида .
Оказывается, что каждую точку, которую можно построить с помощью линейки и циркуля , можно также построить с помощью одного циркуля или только с помощью одной линейки, если задана одна окружность и ее центр.
Древнегреческие математики первыми придумали конструкции линейки и компаса, и ряд древних задач плоской геометрии налагает это ограничение. Древние греки разработали множество конструкций, но в некоторых случаях не смогли этого сделать. Гаусс показал, что некоторые многоугольники можно построить, но большинство — нет. Некоторые из самых известных задач линейки и компаса были доказаны невозможными Пьером Ванцелем в 1837 году с использованием математической теории поля .
Несмотря на существующие доказательства невозможности , некоторые упорно пытаются решить эти проблемы. [1] Многие из этих задач легко разрешимы при условии, что разрешены другие геометрические преобразования: например, удвоение куба возможно с помощью геометрических построений, но невозможно с использованием только линейки и циркуля.
С точки зрения алгебры длина конструируема тогда и только тогда , когда она представляет конструктивное число , а угол конструируем тогда и только тогда, когда его косинус является конструктивным числом. Число можно построить тогда и только тогда, когда оно может быть записано с использованием четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней , но не корней более высокого порядка.
