Геометрия (от древнегреческого γεωμετρία ( geōmetría ) «измерение земли»; от γῆ ( gê ) «земля, земля» и μέτρον ( métron ) «мера») [ необходима цитата ] вместе с арифметикой является одной из древнейших ветвей математика . Он связан со свойствами пространства, такими как расстояние, форма, размер и взаимное расположение фигур. [1] Математик, работающий в области геометрии, называется геометром .
До 19 века геометрия была почти исключительно посвящена евклидовой геометрии , [а] которая включает в себя понятия точки , линии , плоскости , расстояния , угла , поверхности и кривой как фундаментальные понятия. [2]
В течение 19 века несколько открытий резко расширили возможности геометрии. Одним из старейших таких открытий является « Теорема Эгрегиум » Гаусса («замечательная теорема»), которая грубо утверждает, что гауссова кривизна поверхности не зависит от какого-либо конкретного вложения в евклидово пространство . Это означает, что поверхности могут быть изучены внутренне , то есть как автономные пространства, и были расширены до теории многообразий и римановой геометрии .
Позже, в 19 веке, оказалось, что геометрии без постулата параллельности ( неевклидовы геометрии ) могут быть разработаны без внесения каких-либо противоречий. Геометрия, лежащая в основе общей теории относительности , является известным приложением неевклидовой геометрии.
С тех пор область геометрии значительно расширилась, и эта область была разделена на множество подполей, которые зависят от лежащих в основе методов — дифференциальная геометрия , алгебраическая геометрия , вычислительная геометрия , алгебраическая топология , дискретная геометрия (также известная как комбинаторная геометрия ), и т. д. — или о неучтенных свойствах евклидовых пространств — проективная геометрия , учитывающая только выравнивание точек, но не расстояние и параллелизм, аффинная геометрия , опускающая понятия угла и расстояния, конечная геометрия , опускающая непрерывность , и другие.
Первоначально разработанная для моделирования физического мира, геометрия нашла применение почти во всех науках , а также в искусстве , архитектуре и других видах деятельности, связанных с графикой . [3] Геометрия также имеет приложения в областях математики, которые явно не связаны. Например, методы алгебраической геометрии являются фундаментальными в доказательстве Уайлса Великой теоремы Ферма , проблемы, которая была сформулирована в терминах элементарной арифметики и оставалась нерешенной в течение нескольких столетий.