В математике , размерность Хаусдорфа является мерой шероховатости , или , более конкретно, фрактальной размерности , которая была впервые введена в 1918 году математик Хаусдорф . [2] Например, размерность Хаусдорфа отдельной точки равна нулю, линейного сегмента - 1, квадрата - 2, а куба - 3. То есть для наборов точек, которые определяют гладкую форму или форма, которая имеет небольшое количество углов - формы традиционной геометрии и науки - измерение Хаусдорфа является целым числомсогласуясь с обычным пониманием размерности, также известной как топологическая размерность . Однако были также разработаны формулы, которые позволяют вычислять размерность других, менее простых объектов, когда исключительно на основе их свойств масштабирования и самоподобия можно сделать вывод, что определенные объекты, включая фракталы , не имеют -целые размерности Хаусдорфа. Из-за значительного технического прогресса, достигнутого Абрамом Самойловичем Безиковичем, позволяющим вычислять размерности для очень нерегулярных или «грубых» множеств, это измерение также обычно называют размерностью Хаусдорфа – Безиковича.
Измерение Хаусдорфа, более конкретно, является дополнительным размерным числом, связанным с данным набором, где определены расстояния между всеми членами этого набора. Такое множество называется метрическим пространством . Размер взят из расширенных действительных чисел ,, в отличие от более интуитивного понятия размерности, которое не связано с общими метрическими пространствами и принимает значения только в неотрицательных целых числах.
С математической точки зрения, размерность Хаусдорфа обобщает понятие размерности реального векторного пространства . То есть размерность Хаусдорфа n- мерного внутреннего пространства продукта равна n . Это лежит в основе более раннего утверждения, что размерность Хаусдорфа точки равна нулю, линии равна единице и т. Д., И что нерегулярные множества могут иметь нецелые хаусдорфовые размерности. Например, изображенная справа снежинка Коха построена из равностороннего треугольника; на каждой итерации его составляющие линейные сегменты делятся на 3 сегмента единичной длины, вновь созданный средний сегмент используется в качестве основы нового равностороннего треугольника, который указывает наружу, и этот базовый сегмент затем удаляется, чтобы оставить последний объект из итерация с единичной длиной 4. [3] То есть после первой итерации каждый исходный отрезок линии был заменен на N = 4, где каждая самоподобная копия имеет длину 1 / S = 1/3 от длины оригинала. [1] Иначе говоря, мы сделали объект с евклидовой размерностью, D, и уменьшить его линейную шкалу на 1/3 в каждом направлении, так что его длина увеличивается до N = S D . [4] Это уравнение легко решается относительно D, давая соотношение логарифмов (или натуральных логарифмов ), фигурирующих на рисунках, и давая - в случае Коха и других фрактальных случаях - нецелочисленные измерения для этих объектов.
Размерность Хаусдорфа является преемником более простой, но обычно эквивалентной размерности с подсчетом ящиков или размерности Минковского – Булиганда .
Интуиция
Интуитивно понятное понятие размера геометрического объекта X - это количество независимых параметров, необходимых для выделения уникальной точки внутри. Тем не менее, любая точка задается двумя параметрами могут быть , вместо указанных на единицу, так как количество элементов в действительной плоскости равна мощности на реальной линии (это можно увидеть с помощью аргумента с участием переплетение цифры двух чисел с получением одного число, кодирующее ту же информацию). Пример кривой, заполняющей пространство, показывает, что можно даже отобразить реальную линию на реальную плоскость сюръективно (преобразование одного действительного числа в пару действительных чисел таким образом, чтобы все пары чисел были покрыты) и непрерывно , так что Одномерный объект полностью заполняет многомерный объект.
Каждая кривая заполнения пространства попадает в некоторые точки несколько раз и не имеет непрерывной обратной линии. Невозможно отобразить два измерения в одно непрерывным и непрерывно обратимым способом. Топологическая размерность, также называемая покрывающей размерностью Лебега , объясняет, почему. Эта размерность равна n, если в каждом покрытии X маленькими открытыми шарами есть хотя бы одна точка, в которой n + 1 мяч перекрывается. Например, когда кто-то покрывает линию с короткими открытыми интервалами, некоторые точки должны быть покрыты дважды, что дает размер n = 1.
Но топологическое измерение - это очень грубая мера локального размера пространства (размер около точки). Кривая, которая почти заполняет пространство, может иметь топологическое измерение один, даже если она заполняет большую часть области области. Фрактальный имеет целое топологической размерность, но с точкой зрения объема пространства он занимает, он ведет себя как многомерное пространство.
Измерение Хаусдорфа измеряет локальный размер пространства с учетом расстояния между точками, метрики . Рассмотрим количество N ( r ) шаров радиуса не больше r, необходимое для полного покрытия X. Когда r очень мало, N ( r ) полиномиально растет с 1 / r . Для достаточно хорошо настроенного X размерность Хаусдорфа - это уникальное число d, такое что N ( r ) растет как 1 / r d, когда r приближается к нулю. Точнее, это определяет размерность подсчета ящиков , которая равна размерности Хаусдорфа, когда значение d является критической границей между темпами роста, которые недостаточны для покрытия пространства, и темпами роста, которые являются избыточными.
Для гладких форм или форм с небольшим количеством углов, форм традиционной геометрии и науки, размерность Хаусдорфа является целым числом, совпадающим с топологическим размером. Но Бенуа Мандельброт заметил, что фракталы , множества с нецелой хаусдорфовой размерностью, встречаются в природе повсюду. Он заметил, что правильная идеализация большинства грубых форм, которые вы видите вокруг себя, не в терминах гладких идеализированных форм, а в терминах фрактальных идеализированных форм:
Облака - это не сферы, горы - не конусы, береговые линии - не круги, кора не гладкая, и молнии не движутся по прямой. [5]
Для фракталов, которые встречаются в природе, измерения Хаусдорфа и подсчета ящиков совпадают. Размер упаковки - еще одно похожее понятие, которое дает одинаковое значение для многих форм, но есть хорошо задокументированные исключения, когда все эти размеры различаются.
Формальные определения
Содержание Хаусдорфа
Пусть X - метрическое пространство . Если S ⊂ X и d ∈ [0, ∞), то д - мерное неограниченное содержание Хаусдорфово из S определяется
Другими словами, это нижняя грань множества чиселтакой, что существует некоторый (индексированный) набор шаров покрытие S с r i > 0 для каждого i ∈ I , удовлетворяющего. (Здесь мы используем стандартное соглашение, согласно которому inf Ø = ∞ .)
Мера Хаусдорфа
Внешняя мера Хаусдорфа отличается от неограниченного содержания Хаусдорфа тем, что вместо рассмотрения всех возможных покрытий S мы видим, что происходит, когда размеры шаров стремятся к нулю. Для, определим d -мерную внешнюю меру Хаусдорфа множества S как
Хаусдорфово измерение
Хаусдорфова из X определяется
Эквивалентно, тусклая Н ( Х ) может быть определен как инфимум множества D ∈ [0, ∞) такое , что d - мерная мера Хаусдорфа из X равна нуль. Это то же самое, что и супремум множества d ∈ [0, ∞) таких, что d- мерная мера Хаусдорфа X бесконечна (за исключением того, что когда этот последний набор чисел d пуст, размерность Хаусдорфа равна нулю).
Примеры
- Счетные множества имеют размерность Хаусдорфа 0. [6]
- Евклидово пространство ℝ п имеет размерность Хаусдорфа п , а окружность S 1 имеет размерность Хаусдорфа 1. [6]
- Фракталы часто представляют собой пространства, хаусдорфова размерность которых строго превышает топологическую размерность . [5] Например, множество Кантора , нульмерное топологическое пространство, представляет собой объединение двух копий самого себя, каждая копия уменьшена в 1/3 раза; следовательно, можно показать, что его размерность Хаусдорфа составляет ln (2) / ln (3) ≈ 0,63. [7] Серпинский треугольник представляет собой объединение трех экземпляров самого по себе, каждой копии сократилась с коэффициентом 1/2; это дает размерность Хаусдорфа ln (3) / ln (2) ≈ 1,58. [1] Эти размерности Хаусдорфа связаны с «критическим показателем» основной теоремы для решения рекуррентных соотношений при анализе алгоритмов .
- Кривые, заполняющие пространство, такие как кривая Пеано, имеют ту же размерность Хаусдорфа, что и заполняемое ими пространство.
- Предполагается, что траектория броуновского движения в размерности 2 и выше является размерностью Хаусдорфа 2. [8]
- Льюис Фрай Ричардсон провел подробные эксперименты, чтобы измерить приблизительную размерность Хаусдорфа для различных береговых линий. Его результаты варьировались от 1,02 для побережья Южной Африки до 1,25 для западного побережья Великобритании . [5]
Свойства размерности Хаусдорфа
Размерность Хаусдорфа и индуктивная размерность
Пусть X - произвольное сепарабельное метрическое пространство. Существует топологическое понятие индуктивной размерности для X, которое определяется рекурсивно. Это всегда целое число (или + ∞) и обозначается dim ind ( X ).
Теорема . Предположим, что X не пусто. потом
Более того,
где Y пробегает метрические пространства гомеоморфных к X . Другими слова, Х и Y имеют тот же основной набор точек и метрика д У из Y топологический эквивалентен д X .
Эти результаты были первоначально установлены Эдвардом Шпилрайном (1907–1976), например, см. Hurewicz and Wallman, Глава VII. [ требуется полная ссылка ]
Размерность Хаусдорфа и размерность Минковского
Размерность Минковского аналогична, и по крайней мере не меньше, размерность Хаусдорфа, и они одинаковы во многих ситуациях. Однако множество рациональных точек в [0, 1] имеет размерность Хаусдорфа ноль и размерность Минковского один. Существуют также компакты, для которых размерность Минковского строго больше размерности Хаусдорфа.
Размерности Хаусдорфа и меры Фростмана
Если существует мера μ, определенная на борелевских подмножествах метрического пространства X такая, что μ ( X )> 0 и μ ( B ( x , r )) ≤ r s выполняется для некоторой константы s > 0 и для любого шара B ( x , r ) в X , то dim Haus ( X ) ≥ s . Частичное обращение дается леммой Фростмана . [ необходима ссылка ] [9]
Поведение под союзами и продуктами
Если - конечное или счетное объединение, то
В этом можно убедиться прямо из определения.
Если X и Y - непустые метрические пространства, то размерность Хаусдорфа их произведения удовлетворяет [10]
Это неравенство может быть строгим. Можно найти два множества размерности 0, произведение которых имеет размерность 1. [11] В противоположном направлении известно, что, когда X и Y являются борелевскими подмножествами R n , размерность Хаусдорфа X × Y ограничена сверху размерность Хаусдорфа X плюс верхней размерностью упаковки из Y . Эти факты обсуждаются в Mattila (1995).
Автомодельные наборы
Многие наборы, определяемые условием самоподобия, имеют размеры, которые можно определить явно. Грубо говоря, множество E самоподобно, если оно является неподвижной точкой многозначного преобразования ψ, т. Е. Ψ ( E ) = E , хотя точное определение дается ниже.
Теорема . Предполагать
являются сжимающими отображениями на R n с константой сжатия r j <1. Тогда существует единственный непустой компакт A такой, что
Теорема следует из теоремы Стефана Банаха о неподвижной точке о сжимающем отображении, примененной к полному метрическому пространству непустых компактных подмножеств R n с расстоянием Хаусдорфа . [12]
Условие открытого набора
Для определения размерности самоподобного множества A (в некоторых случаях) нам понадобится техническое условие, называемое условием открытого множества (OSC) на последовательности сокращений ψ i .
Существует относительно компактное открытое множество V такое, что
где объединенные слева множества попарно не пересекаются .
Условие открытого набора - это условие разделения, которое гарантирует, что изображения ψ i ( V ) не перекрываются "слишком сильно".
Теорема . Предположим, что выполнено условие открытого множества и каждое ψ i является подобием, то есть композицией изометрии и растяжения вокруг некоторой точки. Тогда единственная неподвижная точка ψ - это множество, хаусдорфова размерность которого равна s, где s - единственное решение [13].
Коэффициент сжатия подобия - это величина расширения.
Мы можем использовать эту теорему для вычисления размерности Хаусдорфа треугольника Серпинского (или иногда называемого прокладкой Серпинского). Рассмотрим три неколлинеарные точки 1 , 2 , 3 в плоскости R 2 , и пусть ψ я быть дилатация соотношении 1/2 вокруг в I . Единственная непустая неподвижная точка соответствующего отображения ψ - это прокладка Серпинского, а размерность s - единственное решение
Взяв натуральный логарифм обеих частей приведенного выше уравнения, мы можем решить относительно s , то есть: s = ln (3) / ln (2). Прокладка Серпинского является самоподобной и удовлетворяет требованиям OSC. В общем случае множество E, которое является неподвижной точкой отображения
самоподобен тогда и только тогда, когда пересечения
где s - размерность Хаусдорфа E, а H s обозначает меру Хаусдорфа . Это ясно в случае прокладки Серпинского (пересечения - это просто точки), но также верно и в более общем плане:
Теорема . При тех же условиях, что и в предыдущей теореме, единственная неподвижная точка ψ самоподобна.
Смотрите также
- Список фракталов по размерности Хаусдорфа Примеры детерминированных фракталов, случайных и естественных фракталов.
- Размерность Ассуада , еще одна разновидность фрактальной размерности, которая, как и размерность Хаусдорфа, определяется с помощью покрытий шарами.
- Внутренний размер
- Размер упаковки
- Фрактальное измерение
Рекомендации
- ^ a b c МакГрегор Кэмпбелл, 2013, «5.6 Масштабирование и размерность Хаусдорфа», Annenberg Learner: MATHematics освещенный , см. [1] , доступ осуществлен 5 марта 2015 года.
- ^ Гнейтинг, Тильманн; Шевчикова, Хана; Персиваль, Дональд Б. (2012). «Оценщики фрактальной размерности: оценка грубости временных рядов и пространственных данных». Статистическая наука . 27 (2): 247–277. arXiv : 1101.1444 . DOI : 10.1214 / 11-STS370 . S2CID 88512325 .
- ^ Ларри Риддл, 2014 г., «Классические системы с итерационными функциями: снежинка Коха», Электронная академия колледжа Агнес Скотт (онлайн), см. [2] , по состоянию на 5 марта 2015 г.
- ^ a b Кейт Клейтон, 1996 г., «Фракталы и фрактальное измерение», « Основные концепции нелинейной динамики и хаоса» (семинар), Ежегодное собрание Общества теории хаоса в психологии и естественных наук, 28 июня 1996 г., Беркли, Калифорния, см. [3] , по состоянию на 5 марта 2015 г.
- ^ а б в Мандельброт, Бенуа (1982). Фрактальная геометрия природы . Конспект лекций по математике 1358. WH Freeman. ISBN 0-7167-1186-9.
- ^ а б Шлейхер, Дирк (июнь 2007 г.). «Хаусдорфово измерение, его свойства и его сюрпризы». Американский математический ежемесячник . 114 (6): 509–528. arXiv : math / 0505099 . DOI : 10.1080 / 00029890.2007.11920440 . ISSN 0002-9890 . S2CID 9811750 .
- ^ Фалконер, Кеннет (2003). Фрактальная геометрия: математические основы и приложения (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья .
- ^ Мортерс, Перес (2010). Броуновское движение . Издательство Кембриджского университета .
- ^ В этой статье в Википедии также обсуждаются дальнейшие полезные характеристики измерения Хаусдорфа. [ требуется разъяснение ]
- ^ Марстранд, JM (1954). «Размерность декартовых наборов произведений». Proc. Cambridge Philos. Soc . 50 (3): 198–202. Bibcode : 1954PCPS ... 50..198M . DOI : 10.1017 / S0305004100029236 .
- ^ Фалконер, Кеннет Дж. (2003). Фрактальная геометрия. Математические основы и приложения . John Wiley & Sons, Inc., Хобокен, Нью-Джерси.
- ^ Фалконер, KJ (1985). «Теорема 8.3». Геометрия фрактальных множеств . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-25694-1.
- ^ Хатчинсон, Джон Э. (1981). «Фракталы и самоподобие» . Индиана Univ. Математика. Дж . 30 (5): 713–747. DOI : 10.1512 / iumj.1981.30.30055 .
дальнейшее чтение
- Додсон, М. Морис; Кристенсен, Саймон (12 июня 2003 г.). «Хаусдорфова размерность и диофантово приближение». Фрактальная геометрия и приложения: юбилей Бенуа Мандельброта . Труды симпозиумов по чистой математике. 72 . С. 305–347. arXiv : math / 0305399 . Bibcode : 2003math ...... 5399D . DOI : 10.1090 / pspum / 072.1 / 2112110 . ISBN 9780821836378. S2CID 119613948 .
- Гуревич, Витольд ; Уоллман, Генри (1948). Теория измерений . Издательство Принстонского университета.
- Э. Шпильрайн (1937). «Измерение и измерение». Fundamenta Mathematicae . 28 : 81–9.
- Марстранд, JM (1954). «Размерность декартовых наборов произведений». Proc. Cambridge Philos. Soc . 50 (3): 198–202. Bibcode : 1954PCPS ... 50..198M . DOI : 10.1017 / S0305004100029236 .
- Маттила, Пертти (1995). Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-65595-8.
- А.С. Безикович (1929). «О линейных множествах точек дробной размерности». Mathematische Annalen . 101 (1): 161–193. DOI : 10.1007 / BF01454831 . S2CID 125368661 .
- А.С. Безикович ; HD Урселл (1937). «Наборы дробных размерностей». Журнал Лондонского математического общества . 12 (1): 18–25. DOI : 10,1112 / jlms / s1-12.45.18 .
Некоторые отрывки из этого тома перепечатаны в Эдгар, Джеральд А. (1993). Классика по фракталам . Бостон: Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-58701-7. См. Главы 9,10,11 - Ф. Хаусдорф (март 1919 г.). "Dimension und äußeres Maß" (PDF) . Mathematische Annalen . 79 (1–2): 157–179. DOI : 10.1007 / BF01457179 . hdl : 10338.dmlcz / 100363 . S2CID 122001234 .
- Хатчинсон, Джон Э. (1981). «Фракталы и самоподобие» . Индиана Univ. Математика. Дж . 30 (5): 713–747. DOI : 10.1512 / iumj.1981.30.30055 .
- Фалконер, Кеннет (2003). Фрактальная геометрия: математические основы и приложения (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья .
Внешние ссылки
- Измерение Хаусдорфа в энциклопедии математики
- Мера Хаусдорфа в энциклопедии математики