Гершель-Балкли жидкости является обобщенной моделью неньютоновской жидкости , в которой штамм испытываемые жидкости связана с напряжением в сложном, нелинейно. Это соотношение характеризуют три параметра: консистенция k , индекс текучести n и напряжение сдвига текучести.. Консистенция - это простая константа пропорциональности, в то время как индекс текучести измеряет степень разжижения или загущения жидкости при сдвиге. Обычная краска является одним из примеров жидкости, разжижающей сдвиг, в то время как oobleck представляет собой одну из реализаций жидкости, разжижающей сдвиг. Наконец, предел текучести определяет количество напряжения, которое жидкость может испытать, прежде чем она подойдет и начнет течь.
Эта модель неньютоновской жидкости была введена Уинслоу Гершелем и Рональдом Балкли в 1926 году. [1] [2]
Определение
Материальное уравнение модели Гершеля-Балкли обычно записывается как
где это напряжение сдвига ,скорость сдвига , предел текучести, индекс согласованности и индекс потока. Еслижидкость Гершеля-Балкли ведет себя как твердое (недеформируемое) твердое тело, в противном случае она ведет себя как жидкость. Для жидкость разжижается при сдвиге, тогда как для жидкость загустевает от сдвига. Если а также , эта модель сводится к ньютоновской жидкости .
Вязкость, связанная с напряжением Гершеля-Бакли, расходится до бесконечности, когда скорость деформации приближается к нулю. Это расхождение затрудняет реализацию модели в численном моделировании, поэтому обычно реализуются регуляризованные модели с верхней предельной вязкостью. Например, жидкость Гершеля-Бакли можно аппроксимировать как обобщенную модель ньютоновской жидкости с эффективной (или кажущейся) вязкостью, которая задается как [3]
Здесь предельная вязкость заменяет расхождение при низких скоростях деформации. Его значение выбирается таким, чтобычтобы вязкость была непрерывной функцией скорости деформации. Большая предельная вязкость означает, что жидкость будет течь только в ответ на большую приложенную силу. Эта функция фиксирует поведение жидкости по типу Бингема .
В несжимаемом потоке тензор вязких напряжений задается как вязкость, умноженная на тензор скорости деформации
где величина скорости сдвига определяется выражением
- .
Величина скорости сдвига является изотропным приближением, и она связана со вторым инвариантом тензора скорости деформации
- .
Канальный поток
Часто встречающаяся ситуация в экспериментах - это течение в канале под давлением [4] (см. Диаграмму). Эта ситуация демонстрирует равновесие, в котором поток существует только в горизонтальном направлении (вдоль направления градиента давления), а градиент давления и вязкие эффекты находятся в равновесии. Затем уравнения Навье-Стокса вместе с реологической моделью сводятся к одному уравнению:
Чтобы решить это уравнение, необходимо обезразмерить вовлеченные величины. Глубина канала H выбрана в качестве шкалы длины, средняя скорость V - шкала скорости, а шкала давления принята равной. Этот анализ вводит безразмерный градиент давления
что отрицательно для потока слева направо и числа Бингема:
Затем область решения разбивается на три части, действительные для отрицательного градиента давления:
- Область у нижней стенки, где ;
- Область в жидком ядре, где ;
- Область у верхней стены, где ,
Решение этого уравнения дает профиль скорости:
Здесь k - константа согласования такая, чтонепрерывно. Профиль соответствует условиям прилипания на границах канала,
Используя те же аргументы непрерывности, показано, что , где
С , для данного пара, существует критический градиент давления
Примените любой градиент давления, меньший по величине, чем это критическое значение, и жидкость не будет течь; таким образом очевидна его бингемская природа. Любой градиент давления, превышающий это критическое значение, приведет к потоку. Поток, связанный с жидкостью, разжижающей сдвиг, замедлен по сравнению с потоком, связанным с жидкостью, разжижающей сдвиг.
Расход трубы
Для ламинарного потока Чилтон и Стейнсби [5] предоставляют следующее уравнение для расчета падения давления. Уравнение требует итеративного решения для извлечения падения давления, поскольку оно присутствует с обеих сторон уравнения.
- Для турбулентного потока авторы предлагают метод, который требует знания напряжения сдвига стенки, но не предоставляет метод расчета напряжения сдвига стенки. Их процедура расширена в Hathoot [6]
- Все единицы - СИ
- Падение давления, Па.
- Длина трубы, м
- Диаметр трубы, м
- Средняя скорость жидкости,
- Чилтон и Стейнсби утверждают, что определение числа Рейнольдса как
позволяет использовать стандартные корреляции ньютоновского коэффициента трения .
Затем можно рассчитать перепад давления с учетом подходящей корреляции коэффициента трения. Требуется итерационная процедура, поскольку падение давления требуется для начала расчетов, а также является их результатом.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Гершель, WH; Балкли, Р. (1926), "Konsistenzmessungen von Gummi-Benzollösungen", Kolloid Zeitschrift , 39 : 291–300, doi : 10.1007 / BF01432034
- ^ Tang, Hansong S .; Кальон, Дилхан М. (2004), «Оценка параметров Гершель-Балокли жидкости под стеной скольжения , используя комбинацию капиллярных и поток отжимают вискозиметры», Rheologica Acta , 43 (1): 80-88, DOI : 10.1007 / s00397 -003-0322-у
- ^ KC Sahu, П. Valluri, ДАЯ полба, и OK Матар (2007) «Линейная неустойчивость давления управляемого канала течения ньютоновского и Гершель-Балокла жидкость» Phys. Жидкости 19, 122101
- ^ DJ Acheson 'Элементарная механика жидкости' (1990), Оксфорд, стр. 51
- ^ Чилтон, Р.А. и Р. Стейнсби, 1998, "Уравнения потери давления для ламинарного и турбулентного неньютоновского потока в трубе", Journal of Hydraulic Engineering 124 (5) pp. 522 ff.
- ^ Hathoot, HM, 2004, "минимальная стоимость конструкции трубопроводовтранспортирующих неньютоновские жидкости", александрийская Engineering Journal , 43 (3) 375 - 382