Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено с икозианцев )
Перейти к навигации Перейти к поиску
Для использования Гамильтоном икозиана см. Икозианскую игру и икозианское исчисление .

В математике икозианы - это особый набор гамильтоновых кватернионов с той же симметрией, что и 600-ячейка . Этот термин может использоваться для обозначения двух связанных, но различных концепций:

Икозианцы отряда [ править ]

120 единиц икозианцев, которые образуют икозианскую группу, представляют собой четные перестановки:

  • 8 икозианов формы ½ (± 2, 0, 0, 0)
  • 16 икозианов формы ½ (± 1, ± 1, ± 1, ± 1)
  • 96 икозианов вида ½ (0, ± 1, ± 1 / φ , ± φ )

В этом случае вектор ( a ,  b ,  c ,  d ) относится к кватерниону a  +  b i  +  c j  + d k , а φ представляет собой золотое сечение ( √ 5  + 1) / 2. Эти 120 векторов образуют корневую систему H4 с группой Вейля порядка 14400. В дополнение к 120 единичным икозианам, образующим вершины 600-ячеек, 600 икозианов нормы 2 образуют вершины 120-ячеек . Остальные подгруппы икозиан соответствуют тессеракту , 16-клеточному.и 24-яч .

Икозианское кольцо [ править ]

Икозианы лежат в золотом поле ( a  +  b √ 5 ) + ( c  +  d √ 5 ) i  + ( e  +  f √ 5 ) j  + ( g  +  h √ 5 ) k , где восемь переменных являются рациональными числами. . Этот кватернион является икозианом только в том случае, если вектор ( a ,  b ,  c ,  d ,  e ,  f ,  g ,  h) - точка на решетке L , изоморфной решетке E8 .

Точнее, кватернионная норма указанного выше элемента равна ( a  +  b √ 5 ) 2  + ( c  +  d √ 5 ) 2  + ( e  +  f √ 5 ) 2  + ( g  +  h √ 5 ) 2 . Его евклидова норма определяется как u  +  v, если норма кватерниона равна u  +  v √ 5 . Эта евклидова норма определяет квадратичную форму на L, при котором решетка изоморфна решетке E8 .

Эта конструкция показывает, что группа Кокстера вкладывается как подгруппа группы . Действительно, линейный изоморфизм, сохраняющий норму кватернионов, также сохраняет евклидову норму.

Ссылки [ править ]