В математике и информатике , то функция пола является функцией , которая принимает в качестве входного вещественного числа х , и дает в качестве вывода наибольшего целого числа меньше или равно х , обозначат этаж ( х ) или ⌊ х ⌋ . Аналогично, функция потолка отображает x в наименьшее целое число, большее или равное x , обозначаемое ceil ( x ) или ⌈ x ⌉ . [1]
Например, 2.4⌋ = 2 , ⌊ − 2.4⌋ = −3 , ⌈2.4⌉ = 3 и ⌈ − 2.4⌉ = −2 .
Неотъемлемая часть или целая часть от х , часто обозначается [ х ] , как правило , определяются как ⌊ х ⌋ , если х является неотрицательным, а ⌈ х ⌉ иначе. Например, [2,4] = 2 и [−2,4] = −2 . Операция усечения обобщает это до указанного числа цифр: усечение до нуля значащих цифр такое же, как и целая часть.
Некоторые авторы определяют целую часть как пол независимо от знака x , используя для этого различные обозначения. [2]
Если n является целым числом, ⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = [ n ] = n .
Обозначение
Неотъемлемая часть или целая часть числа ( партии Специального entière в оригинале) была впервые определена в 1798 годом Лежандра в своем доказательстве формулы Лежандра .
Карл Фридрих Гаусс ввел обозначение квадратных скобок.в своем третьем доказательстве квадратичной взаимности (1808). [3] Это оставалось стандартом [4] в математике до тех пор, пока Кеннет Э. Айверсон не представил в своей книге «Язык программирования» 1962 года названия «пол» и «потолок» и соответствующие обозначения. а также . [5] [6] Оба обозначения теперь используются в математике, [7] хотя обозначения Айверсона будут использоваться в этой статье.
В некоторых источниках жирный шрифт или двойные скобки используются для пола и перевернутые скобки или] x [для потолка. [8] [9] Иногдапод функцией округления до нуля. [ необходима цитата ]
Дробная часть является функцией пилообразной , обозначаетсядля действительного x и определяется формулой [10]
Для всех х ,
Примеры
Икс | Пол | Потолок | Дробная часть |
---|---|---|---|
2 | 2 | 2 | 0 |
2,4 | 2 | 3 | 0,4 |
2,9 | 2 | 3 | 0,9 |
−2,7 | −3 | −2 | 0,3 |
−2 | −2 | −2 | 0 |
Верстка
Функции пола и потолка обычно набираются с помощью левой и правой квадратных скобок, где отсутствуют верхние (для функции пола) или нижние (для функции потолка) горизонтальные полосы ( для пола и для потолка). Эти символы представлены в Юникоде:
- U + 2308 ⌈ ЛЕВЫЙ ПОТОЛОК (HTML
⌈
·⌈, &LeftCeiling
) - U + 2309 ⌉ ПОТОЛОК ПРАВЫЙ (HTML
⌉
·⌉, &RightCeiling
) - U + 230A ⌊ ЛЕВЫЙ ЭТАЖ (HTML
⌊
·&LeftFloor, ⌊
) - U + 230B ⌋ ПРАВЫЙ ЭТАЖ (HTML
⌋
·⌋, &RightFloor
)
В Латекс системе наборной, эти символы могут быть определены с и команд в математическом режиме, и расширены по размеру с использованием и по мере необходимости.\lfloor, \rfloor, \lceil
\rceil
\left\lfloor, \right\rfloor, \left\lceil
\right\rceil
Определение и свойства
Даны действительные числа x и y , целые числа k , m , n и набор целых чисел , пол и потолок можно определить уравнениями
Поскольку в полуоткрытом интервале длины один находится ровно одно целое число , для любого действительного числа x существуют уникальные целые числа m и n, удовлетворяющие уравнению
где а также также можно принять за определение пола и потолка.
Эквивалентности
Эти формулы можно использовать для упрощения выражений, связанных с полом и потолком. [11]
На языке теории порядка нижняя функция - это остаточное отображение , то есть часть связности Галуа : это верхнее сопряжение функции, которая вкладывает целые числа в действительные числа.
Эти формулы показывают, как добавление целых чисел к аргументам влияет на функции:
Вышеупомянутое никогда не бывает верным, если n не является целым числом; однако для любых x и y выполняются следующие неравенства:
Отношения между функциями
Из определений ясно, что
- с равенством тогда и только тогда, когда x является целым числом, т. е.
Фактически, для целых n функции пола и потолка идентичны :
Отрицание аргумента меняет пол и потолок и меняет знак:
а также:
Отрицание аргумента дополняет дробную часть:
Функции пола, потолка и дробной части идемпотентны :
Результатом вложенных функций пола или потолка является самая внутренняя функция:
из-за свойства идентичности для целых чисел.
Коэффициенты
Если m и n - целые числа и n 0,
Если n - целое положительное число [12]
Если m положительно [13]
Для m = 2 это означает
В более общем смысле, [14] для положительного m (см . Тождество Эрмита )
Следующее можно использовать для преобразования полов в потолки и наоборот ( m положительное) [15]
Для всех m и n строго положительных целых чисел: [16] [ необходим лучший источник ]
которая при положительных и взаимно простых m и n сводится к
Поскольку правая часть общего случая симметрична по m и n , отсюда следует, что
В более общем смысле, если m и n положительны,
Иногда это называют законом взаимности . [17]
Вложенные подразделения
Для положительного целого числа n и произвольных действительных чисел m , x : [18]
Продолжение и расширение серий
Ни одна из функций, обсуждаемых в этой статье, не является непрерывной , но все они кусочно линейны : функции, , а также имеют разрывы в целых числах.
является полунепрерывно сверху и а также полунепрерывны снизу.
Поскольку ни одна из функций, обсуждаемых в этой статье, не является непрерывной, ни одна из них не имеет разложения в степенной ряд . Поскольку пол и потолок не периодичны, они не имеют равномерно сходящихся разложений в ряд Фурье . Функция дробной части имеет разложение в ряд Фурье [19]
для x не целое число.
В точках разрыва ряд Фурье сходится к значению, которое является средним его пределов слева и справа, в отличие от функций пола, потолка и дробной части: для фиксированного y и кратного x y данный ряд Фурье сходится к y / 2, а не к x mod y = 0. В точках непрерывности ряд сходится к истинному значению.
Используя формулу floor (x) = x - {x}, получаем
для x не целое число.
Приложения
Оператор мода
Для целого х и положительного целого числа у , в операции по модулю , обозначенном х мод у , дает значение остатка , когда х делится на у . Это определение может быть расширено до вещественных x и y , y 0, по формуле
Тогда из определения функции пола следует, что эта расширенная операция удовлетворяет многим естественным свойствам. Примечательно, что x mod y всегда находится между 0 и y , т. Е.
если y положительно,
и если y отрицательно,
Квадратичная взаимность
Третье доказательство квадратичной взаимности Гаусса , модифицированное Эйзенштейном, состоит из двух основных шагов. [20] [21]
Пусть p и q - различные положительные нечетные простые числа, и пусть
Во-первых, лемма Гаусса используется, чтобы показать, что символы Лежандра задаются формулами
а также
Второй шаг - использовать геометрический аргумент, чтобы показать, что
Объединение этих формул дает квадратичную взаимность в виде
Существуют формулы, в которых используется floor для выражения квадратичного характера малых чисел по модулю нечетных простых чисел p : [22]
Округление
Для произвольного действительного числа , округление к ближайшему целому числу с разрывом связи в сторону положительной бесконечности дается выражением; округление в сторону отрицательной бесконечности дается как.
Если разрыв связи отличен от 0, тогда функция округления равна , а округление в сторону даже можно выразить более громоздкими, которое является приведенным выше выражением для округления в сторону положительной бесконечности минус целочисленность индикатор для.
Количество цифр
Количество цифр в базе b положительного целого числа k равно
Факторы факториалов
Пусть n - натуральное число, а p - положительное простое число. Показатель наибольшей степени числа p , делящего n ! дается версией формулы Лежандра [23]
где это способ записи n в базе p . Это конечная сумма, поскольку этажи равны нулю при p k > n .
Битти последовательность
Последовательность Битти показывает, как каждое положительное иррациональное число приводит к разделению натуральных чисел на две последовательности с помощью функции пола. [24]
Постоянная Эйлера (γ)
Существуют формулы для постоянной Эйлера γ = 0,57721 56649 ..., которые включают пол и потолок, например [25]
а также
Дзета-функция Римана (ζ)
Функция дробной части также появляется в интегральных представлениях дзета-функции Римана . Несложно доказать (с помощью интегрирования по частям) [26], что если- любая функция с непрерывной производной на отрезке [ a , b ],
Сдача для реальной части в ы больше 1 и выпускающей и Ь целые числа, и выпускающего б к бесконечности дает
Эта формула действительна для всех s с действительной частью больше -1 (кроме s = 1, где есть полюс) и в сочетании с разложением Фурье для { x } может использоваться для расширения дзета-функции на всю комплексную плоскость. и доказать его функциональное уравнение. [27]
При s = σ + it в критической полосе 0 < σ <1,
В 1947 году ван дер Поль использовал это представление для создания аналогового компьютера для поиска корней дзета-функции. [28]
Формулы для простых чисел
Функция пола присутствует в нескольких формулах, характеризующих простые числа. Например, посколькуравно 1, если m делит n , и 0 в противном случае, следует, что положительное целое число n является простым тогда и только тогда, когда [29]
Можно также дать формулы для получения простых чисел. Например, пусть p n будет n -м простым числом, и для любого целого числа r > 1 определите действительное число α суммой
Тогда [30]
Аналогичный результат состоит в том, что существует число θ = 1,3064 ... ( постоянная Миллса ) со свойством, что
все простые. [31]
Также существует число ω = 1,9287800 ... со свойством, что
все простые. [31]
Пусть π ( x ) будет количеством простых чисел, меньших или равных x . Из теоремы Вильсона легко следует, что [32]
Также, если n ≥ 2, [33]
Ни одна из формул в этом разделе не имеет практического применения. [34] [35]
Решенные проблемы
Рамануджан представил эти задачи в Журнал Индийского математического общества . [36]
Если n - натуральное число, докажите, что
Нерешенная проблема
Изучение проблемы Варинга привело к нерешенной проблеме:
Существуют ли такие натуральные числа k ≥ 6, что [37]
- ?
Малер [38] доказал, что таких k может быть только конечное число ; никто не известен.
Компьютерные реализации
В большинстве языков программирования простейший метод преобразования числа с плавающей запятой в целое - это не пол или потолок, а усечение . Причина этого историческая, так как первые машины использовали дополнение до единиц, а усечение было проще реализовать (пол проще в дополнении до двух ). FORTRAN был определен так, чтобы требовать такого поведения, и поэтому почти все процессоры реализуют преобразование таким образом. Некоторые считают это неудачным историческим дизайнерским решением, которое привело к ошибкам при обработке отрицательных смещений и графики на отрицательной стороне источника. [ необходима цитата ]
Побитового сдвига вправо целого знакового от такой же как . Деление на степень 2 часто записывается как сдвиг вправо, но не для оптимизации, как можно было бы предположить, а потому, что требуется минимум отрицательных результатов. Если предположить, что такие сдвиги являются «преждевременной оптимизацией», и замена их разделением может сломать программное обеспечение. [ необходима цитата ]
Многие языки программирования (включая C , C ++ , [39] [40] C # , [41] [42] Java , [43] [44] PHP , [45] [46] R , [47] и Python [48] ) предоставляют стандартные функции для пола и потолка, обычно называемые floor
и ceil
, или реже ceiling
. [49] Язык, который APL использует ⌊x
для обозначения пола. Язык программирования J , продолжение APL, предназначенный для использования стандартных символов клавиатуры, используется <.
для пола и >.
потолка. [50] АЛГОЛ использует entier
для пола.
Программное обеспечение для работы с электронными таблицами
Большинство программ для работы с электронными таблицами поддерживают те или иные ceiling
функции. Хотя детали в разных программах различаются, большинство реализаций поддерживают второй параметр - кратное, до которого необходимо округлить данное число. Например, ceiling(2, 3)
округление 2 до ближайшего кратного 3 дает 3. Однако определение того, что означает «округление», различается от программы к программе.
В Microsoft Excel использовалась почти полная противоположность стандартной нотации: INT
для пола, что FLOOR
означает «округление к нулю» и « CEILING
округление от нуля». [51] Это продолжилось до формата файла Office Open XML . Excel 2010 теперь следует стандартному определению. [52]
Формат файла OpenDocument , используемый OpenOffice.org , Libreoffice и другими, следует математическому определению потолка для своей ceiling
функции с дополнительным параметром для совместимости с Excel. Например, CEILING(-4.5)
возвращает −4.
Смотрите также
- Кронштейн (математика)
- Целочисленная функция
- Ступенчатая функция
Заметки
- Перейти ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, Ch. 3.1
- ^ 1) Люк Хитон, Краткая история математической мысли , 2015, ISBN 1472117158 ( NP )
2) Альберт А. Бланк и др. , Исчисление: дифференциальное исчисление , 1968, стр. 259
3) Джон У. Уоррис, Хорст Стокер, Справочник по математике и вычислительным наукам , 1998 г., ISBN 0387947469 , стр. 151 - ^ Lemmermeyer, стр. 10, 23.
- ^ например, Касселс, Харди и Райт и Рибенбойм используют обозначения Гаусса, Грэм, Кнут и Паташник, а Крэндалл и Померанс используют обозначения Айверсона.
- ^ Айверсон, стр. 12.
- ^ Хайэм, стр. 25.
- ^ См. Статью Wolfram MathWorld.
- ^ Математические слова: функция пола .
- ^ Mathwords: функция потолка
- Перейти ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 70.
- ^ Грэхем, Кнут и Patashink, гл. 3
- Перейти ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 73
- Перейти ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85
- Перейти ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 85 и Исх. 3,15
- Перейти ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, Ex. 3,12
- ^ JEblazek, Combinatoire de N-modules de Catalan , магистерская диссертация, стр.17 .
- Перейти ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 94
- Перейти ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, p. 71, примените теорему 3.10 с x / m в качестве входных данных и делением на n как функцией
- ^ Титчмарш, стр. 15, уравнение. 2.1.7
- ^ Lemmermeyer, § 1.4, пример. 1,32–1,33
- ^ Hardy & Wright, §§ 6.11-6.13
- ^ Lemmermeyer, стр. 25
- ^ Харди и Райт, Th. 416
- Перейти ↑ Graham, Knuth, & Patashnik, pp. 77–78
- ^ Эти формулы взяты из статьи в Википедии о константе Эйлера , в которой есть еще много других.
- ^ Титчмарш, стр. 13
- ^ Titchmarsh, pp.14-15
- ^ Crandall & Pomerance, стр. 391
- ^ Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, п. 46. Бесконечный верхний предел суммы можно заменить на n . Эквивалентное условие: n > 1 является простым тогда и только тогда, когда .
- ^ Харди и Райт, § 22.3
- ^ а б Рибенбойм, стр. 186
- ^ Рибенбойм, стр. 181
- ^ Crandall & Pomerance, Ex. 1.4, п. 46
- ^ Рибенбойм, стр.180 говорит, что «Несмотря на нулевую практическую ценность формул ... [они] могут иметь некоторое отношение к логикам, которые хотят ясно понять, как различные части арифметики могут быть выведены из различных аксиоматизаций ...»
- ^ Харди и Райт, стр. 344-345 «Любая из этих формул (или любая подобная) достигла бы другого статуса, если бы точное значение числа α ... могло быть выражено независимо от простых чисел. этого, но нельзя исключать, что это совершенно невозможно ».
- ↑ Рамануджан, Вопрос 723, Документы, стр. 332
- ^ Харди и Райт, стр. 337
- ↑ Mahler, K. О дробных частях степеней рационального числа II , 1957, Mathematika, 4 , страницы 122–124
- ^ «Справочник floorфункции C ++ » . Проверено 5 декабря 2010 года .
- ^ «Справочник ceilфункции C ++ » . Проверено 5 декабря 2010 года .
- ^ дотнет-бот. «Метод Математического Пола (Система)» . docs.microsoft.com . Проверено 28 ноября 2019 .
- ^ дотнет-бот. "Math.Ceiling Method (System)" . docs.microsoft.com . Проверено 28 ноября 2019 .
- ^ «Математика (Java SE 9 и JDK 9)» . docs.oracle.com . Проверено 20 ноября 2018 года .
- ^ «Математика (Java SE 9 и JDK 9)» . docs.oracle.com . Проверено 20 ноября 2018 года .
- ^ «Руководство по PHP для ceilфункций» . Проверено 18 июля 2013 года .
- ^ «Руководство по PHP для floorфункций» . Проверено 18 июля 2013 года .
- ^ «R: округление чисел» .
- ^ «Руководство Python для mathмодуля» . Проверено 18 июля 2013 года .
- ^ Салливан, стр. 86.
- ^ «Словарь» . J Язык . Проверено 6 сентября 2011 года .
- ^ «Обзор функций округления Excel» .
- ^ Но интерактивная справка, представленная в 2010 году, не отражает этого поведения.
Рекомендации
- JWS Cassels (1957), Введение в диофантово приближение , Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, 45 , Cambridge University Press
- Крэндалл, Ричард; Померанс, Карл (2001), Простые числа: вычислительная перспектива , Нью-Йорк: Springer , ISBN 0-387-94777-9
- Грэм, Рональд Л .; Knuth, Donald E .; Паташник, Орен (1994), Concrete Mathematics , Reading Ma .: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5
- Харди, GH; Райт, EM (1980), Введение в теорию чисел (пятое издание) , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853171-5
- Николас Дж. Хайэм, Справочник по математическим наукам , SIAM. ISBN 0-89871-420-6 , стр. 25
- ИСО / МЭК . ISO / IEC 9899 :: 1999 (E): Языки программирования - C (2-е изд.), 1999; Раздел 6.3.1.4, с. 43.
- Айверсон, Кеннет Э. (1962), язык программирования , Wiley
- Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Берлин: Springer , ISBN 3-540-66957-4
- Рамануджан, Шриниваса (2000), Сборник статей , Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0-8218-2076-6
- Рибенбойм, Пауло (1996), Новая книга рекордов простых чисел , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-94457-5
- Майкл Салливан. Precalculus , 8-е издание, стр. 86
- Титчмарш, Эдвард Чарльз; Хит-Браун, Дэвид Родни («Роджер») (1986), Теория дзета-функции Римана (2-е изд.), Оксфорд: Oxford UP, ISBN 0-19-853369-1
Внешние ссылки
- «Этажная функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Штефан Порубски, «Целочисленные функции округления» , Интерактивный информационный портал по алгоритмической математике , Институт компьютерных наук Чешской академии наук, Прага, Чешская Республика, дата обращения 24 октября 2008 г.
- Вайсштейн, Эрик В. «Функция пола» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. "Функция потолка" . MathWorld .