Интеграция по запчастям оператором

Эта статья включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Ноябрь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике оператор интегрирования по частям - это линейный оператор, используемый для формулирования формул интегрирования по частям ; Наиболее интересные примеры интеграции с помощью операторов частей встречаются в бесконечномерных параметрах и находят применение в стохастическом анализе и его приложениях.

Определение [ править ]

Пусть E - банахово пространство такое, что E и его непрерывное сопряженное пространство E ^∗ являются сепарабельными пространствами ; пусть μ является мерой Бореля на Е . Пусть S быть любой (фиксированный) подмножество класса функций , определенных на Е . Линейный оператор  :  S  →  L ² ( Е ,  μ ;  R ) называется быть интеграция оператором частей для ц , если

${\ Displaystyle \ int _ {E} \ mathrm {D} \ varphi (x) h (x) \, \ mathrm {d} \ mu (x) = \ int _ {E} \ varphi (x) (Ah) (х) \, \ mathrm {d} \ mu (x)}$

для каждого С ¹ функции ф  :  Е  →  R и все ч  ∈  S , для которых обе стороны от вышеуказанного равенства имеет смысл. Выше D φ ( x ) обозначает производную Фреше функции φ в точке x .

Примеры [ править ]

• Рассмотрим абстрактное винеровское пространство i  :  H  →  E с абстрактной винеровской мерой γ . В качестве S возьмем множество всех C ¹ функций из E в E ^∗ ; E ^∗ можно рассматривать как подпространство E с учетом включений

${\ displaystyle E ^ {*} {\ xrightarrow {i ^ {*}}} H ^ {*} \ cong H {\ xrightarrow {i}} E.}$

Для h  ∈  S определим Ah как

${\ displaystyle (Ah) (x) = h (x) x- \ mathrm {trace} _ {H} \ mathrm {D} h (x).}$

Этот оператор A представляет собой оператор интегрирования по частям, также известный как оператор дивергенции ; доказательство можно найти у Элворти (1974).

• Классический Винер пространство С ₀ из непрерывных путей в R ^п , начиная с нулем и определяются на единичном интервале [0, 1] имеет другую интеграцию оператором части. Пусть S - набор

${\displaystyle S=\left\{\left.h\colon C_{0}\to L_{0}^{2,1}\right|h{\mbox{ is bounded and non-anticipating}}\right\},}$

т.е. все ограниченные , адаптированные процессы с абсолютно непрерывными траекториями выборки. Пусть φ  :  C ₀  →  R - любая функция класса C ¹ такая, что и φ, и D φ ограничены. Для h  ∈  S и λ  ∈  R из теоремы Гирсанова следует, что

${\displaystyle \int _{C_{0}}\varphi (x+\lambda h(x))\,\mathrm {d} \gamma (x)=\int _{C_{0}}\varphi (x)\exp \left(\lambda \int _{0}^{1}{\dot {h}}_{s}\cdot \mathrm {d} x_{s}-{\frac {\lambda ^{2}}{2}}\int _{0}^{1}|{\dot {h}}_{s}|^{2}\,\mathrm {d} s\right)\,\mathrm {d} \gamma (x).}$

Дифференцируя по λ и полагая λ  = 0, получаем

${\displaystyle \int _{C_{0}}\mathrm {D} \varphi (x)h(x)\,\mathrm {d} \gamma (x)=\int _{C_{0}}\varphi (x)(Ah)(x)\,\mathrm {d} \gamma (x),}$

где ( Ah ) ( x ) - интеграл Ито

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\dot {h}}_{s}\cdot \mathrm {d} x_{s}.}$

То же самое соотношение выполняется для более общего φ с точки зрения приближения; таким образом, интеграл Itō представляет собой оператор интегрирования по частям и может рассматриваться как оператор бесконечномерной дивергенции. Это тот же результат, что и формула интегрирования по частям, полученная из теоремы Кларка-Оконе .

Ссылки [ править ]

• Белл, Денис Р. (2006). Исчисление Маллявэна . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications Inc., стр. X + 113. ISBN 0-486-44994-7. MR 2250060 (См. Раздел 5.3)
• Элворти, К. Дэвид (1974). «Гауссовские меры на банаховых пространствах и многообразиях». Глобальный анализ и его приложения (Лекции, Internat. Sem. Course, Internat. Center Theoret. Phys., Trieste, 1972), Vol. II . Вена: Междунар. Агентство по атомной энергии. С. 151–166. Руководство по ремонту 0464297