В математике , то теорема Кларк-Ocone (также известная как теорема Кларк-Ocone-Haussmann или формула ) является теоремой о стохастическом анализе . Он выражает значение некоторой функции F, определенной на классическом винеровском пространстве непрерывных путей, начинающихся в начале координат, как сумму ее среднего значения и интеграла Ито относительно этого пути. Он назван в честь вкладов математиков Дж. М. К. Кларка (1970), Даниэля Оконе (1984) и У. Г. Хауссмана (1978).
Формулировка теоремы
Пусть C 0 ([0, T ]; R ) (или просто C 0 для краткости) - классическое винеровское пространство с винеровской мерой γ . Пусть F : С 0 → R быть КИ 1 функция, т.е. Р является ограниченным и Фреш дифференцируемый с ограниченной производной D F : C 0 → Lin ( С 0 ; R ). потом
В приведенном выше
- F ( σ ) - значение функции F на некотором конкретном интересующем пути, σ ;
- первый интеграл,
- это ожидаемое значение из F над всей Винера пространства C 0 ;
- второй интеграл,
- является интегралом Ито ;
- Σ * является естественной фильтрации из броуновского движения B : [0, T ] × Ω → R : Σ т является наименьшим σ - алгебра , содержащая все В с -1 ( ) в течение времени 0 ≤ s ≤ т и борелевскими A ⊆ R ;
- E [· | Σ t ] обозначает условное математическое ожидание относительно сигма-алгебры Σ t ;
- ∂ / ∂ t обозначает дифференцирование по времени t ; ∇ H обозначает H -градиент ; следовательно, ∂ / ∂ t ∇ H - производная Маллявэна .
В более общем плане , то вывод справедлив для любого F в L 2 ( C 0 ; R ), дифференцируемая в смысле Маллявэном.
Интеграция по частям на винеровском пространстве
Теорема Кларка – Оконе приводит к формуле интегрирования по частям в классическом винеровском пространстве и записи интегралов Ито в виде расходимостей :
Пусть B будет стандартное броуновское движение, и пусть L 0 2,1 быть Камерона-Мартина пространство для C 0 (см абстрактное пространство Винера Пусть. В : С 0 → L 0 2,1 быть векторное поле таким образом, что
в L 2 ( В ) (т.е. является Ито интегрируема , и , следовательно , является согласованным процессом ). Пусть F : C 0 → R - это BC 1, как указано выше. потом
т.е.
или, записав интегралы по C 0 как ожидания:
где «дивергенция» div ( V ): C 0 → R определяется формулой
Интерпретация стохастических интегралов как расходимостей приводит к таким понятиям, как интеграл Скорохода и инструменты исчисления Маллявэна .
Смотрите также
- Теорема об интегральном представлении для классического винеровского пространства , в доказательстве которой используется теорема Кларка – Оконе.
- Интеграция по оператору запчастей
- Исчисление Маллявэна
Рекомендации
- Нуаларт, Дэвид (2006). Исчисление Маллявэна и связанные темы . Вероятность и ее приложения (Нью-Йорк) (второе изд.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-28328-7.
Внешние ссылки
- Фриз, Питер К. (2005-04-10). "Введение в исчисление Маллявэна" (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 17 апреля 2007 года . Проверено 23 июля 2007 .