Скороход интеграл

В математике , то интеграл Скорохода , часто обозначается δ , является оператором большого значения в теории случайных процессов . Он назван в честь украинского математика Анатолия Скорохода . Отчасти его важность заключается в том, что он объединяет несколько концепций:

• δ - расширение интеграла Ито на неадаптированные процессы ;
• δ является сопряженным из производной Маллявэна , которая является основой для стохастического вариационного исчисления ( Мальявенно исчисление );
• δ - бесконечномерное обобщение оператора дивергенции из классического векторного исчисления .

Определение [ править ]

Предварительные сведения: производная Маллявэна [ править ]

Рассмотрим фиксированное вероятностное пространство (Ω, Σ,  P ) и гильбертово пространство H ; E обозначает математическое ожидание относительно P

${\ displaystyle \ mathbf {E} [X]: = \ int _ {\ Omega} X (\ omega) \, \ mathrm {d} \ mathbf {P} (\ omega).}$

Интуитивно говоря, производная Маллявэна случайной величины F в L ^p (Ω) определяется путем ее расширения в терминах гауссовских случайных величин, которые параметризуются элементами H, и формального дифференцирования разложения; интеграл Скорохода является сопряженной операцией к производной Маллявэна.

Рассмотрим семейство R -значная случайные величины W ( ч ), занумерованы элементами ч гильбертова пространства H . Предположим далее, что каждая W ( h ) является гауссовской ( нормальной ) случайной величиной, что отображение, переводящее h в W ( h ), является линейным отображением , и что структура среднего и ковариационного значения задается формулой

${\ displaystyle \ mathbf {E} [W (h)] = 0,}$

${\ displaystyle \ mathbf {E} [W (g) W (h)] = \ langle g, h \ rangle _ {H},}$

для всех г и ч в H . Можно показать, что для данного H всегда существует вероятностное пространство (Ω, Σ,  P ) и семейство случайных величин с указанными выше свойствами. Производная Маллявэна по существу определяется путем формального определения производной случайной величины W ( h ) равным h , а затем расширения этого определения на « достаточно гладкие » случайные величины. Для случайной величины F вида

${\ Displaystyle F = е (W (h_ {1}), \ ldots, W (h_ {n})),}$

где f  :  R ⁿ  →  R является гладким, производная Маллявэна определяется с использованием более раннего «формального определения» и цепного правила:

${\ displaystyle \ mathrm {D} F: = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (W (h_ {1}), \ ldots, W (h_ {n})) h_ {i}.}$

Другими словами, в то время как F была вещественной случайной величиной, ее производная D F является H -значной случайной величиной, элементом пространства L ^p (Ω; H ). Конечно, эта процедура определяет D F только для «гладких» случайных величин, но можно использовать процедуру аппроксимации, чтобы определить D F для F в большом подпространстве L ^p (Ω); домен из D является замыкание гладких случайных величин в полунорме  :

${\ Displaystyle \ | F \ | _ {1, p}: = {\ big (} \ mathbf {E} [| F | ^ {p}] + \ mathbf {E} [\ | \ mathrm {D} F \ | _ {H} ^ {p}] {\ big)} ^ {1 / p}.}$

Это пространство обозначается D ^{1, p} и называется пространством Ватанабе – Соболева .

Интеграл Скорохода [ править ]

Для простоты рассмотрим теперь только случай р  = 2. Скороход интеграла δ определяется , чтобы быть л ² -adjoint из Маллявэна производной D. Так же , как D не был определен на весь L ² (Ω), δ не определенная на весь L ² (Ω;  H ): область б состоит из тех процессов ¯u в L ² (Ω;  H ) , для которого существует константа C ( U ) такое , что для всех F в D ^{1, 2} ,

${\displaystyle {\big |}\mathbf {E} [\langle \mathrm {D} F,u\rangle _{H}]{\big |}\leq C(u)\|F\|_{L^{2}(\Omega )}.}$

Интеграла Скороход процесса ¯u в L ² (Ω;  Н ) представляет собой вещественный случайная величина Аи в L ² (Ω); если у лежит в области б , то Аи определяется соотношением , что для всех F  ∈  D ^1,2 ,

${\displaystyle \mathbf {E} [F\,\delta u]=\mathbf {E} [\langle \mathrm {D} F,u\rangle _{H}].}$

Подобно тому, как производная Маллявэна D была впервые определена для простых гладких случайных величин, интеграл Скорохода имеет простое выражение для «простых процессов»: если u задается формулой

${\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}F_{j}h_{j}}$

с гладкой F _j и h _j в H , то

${\displaystyle \delta u=\sum _{j=1}^{n}\left(F_{j}W(h_{j})-\langle \mathrm {D} F_{j},h_{j}\rangle _{H}\right).}$

Свойства [ править ]

• Изометрия свойство: для любого процесса ¯u в L ² (Ω;  H ) , которая лежит в области б ,

${\displaystyle \mathbf {E} {\big [}(\delta u)^{2}{\big ]}=\mathbf {E} \int |u_{t}|^{2}dt+\mathbf {E} \int D_{s}u_{t}\,D_{t}u_{s}\,ds\,dt.}$

Если u - адаптированный процесс, то при s> t второе слагаемое в правой части обращается в нуль. В этом случае интегралы Скорохода и Ито совпадают, и приведенное выше уравнение становится изометрией Ито .${\displaystyle D_{s}u_{t}=0}$

• Производная интеграла Скорохода дается формулой

${\displaystyle \mathrm {D} _{h}(\delta u)=\langle u,h\rangle _{H}+\delta (\mathrm {D} _{h}u),}$

где D _ч Й обозначает (Д Х ) ( ч ), случайная величина , которая является значением процесса D X в «время» ч в H .

• Интеграл Скорохода от произведения случайной величины F в D ^1,2 и процесса u в dom ( δ ) дается формулой

${\displaystyle \delta (Fu)=F\,\delta u-\langle \mathrm {D} F,u\rangle _{H}.}$

Ссылки [ править ]

• "Интеграл Скорохода" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Оконе, Дэниел Л. (1988). «Руководство по стохастическому вариационному исчислению». Стохастический анализ и связанные темы (Силиври, 1986) . Конспект лекций по математике. 1316. Берлин: Springer. С. 1–79. Руководство по ремонту 953793
• Санс-Соле, Марта (2008). «Применение исчисления Маллявэна к стохастическим дифференциальным уравнениям с частными производными (лекции, прочитанные в Имперском колледже Лондона, 7–11 июля 2008 г.)» (PDF) . Проверено 9 июля 2008 .