Исчисление Маллявэна

В теории вероятностей и связанных областях исчисление Маллявэна представляет собой набор математических методов и идей, которые расширяют математическое поле вариационного исчисления от детерминированных функций до случайных процессов . В частности, это позволяет вычисление производных от случайных величин . Мальявен исчисление также называется стохастическое исчисление вариаций . П. Маллявин первым начал исчисление в бесконечномерном пространстве. Затем такие важные участники, как С. Кусуока, Д. Строок, Бисмут, С. Ватанабэ, И. Сигекава и др., Наконец, завершили фундамент.

Исчисление Маллявэна названо в честь Поля Маллявена , идеи которого привели к доказательству того, что условие Хёрмандера подразумевает существование и гладкость плотности для решения стохастического дифференциального уравнения ; Первоначальное доказательство Хёрмандера было основано на теории дифференциальных уравнений в частных производных . Исчисление применялось также к стохастическим уравнениям в частных производных .

Исчисление позволяет интегрировать по частям со случайными величинами ; эта операция используется в финансовой математике для вычисления чувствительности производных финансовых инструментов . У исчисления есть приложения, например, в стохастической фильтрации .

Обзор и история [ править ]

Маллявэн ввел исчисление Маллявэна, чтобы обеспечить стохастическое доказательство того, что условие Хёрмандера подразумевает существование плотности для решения стохастического дифференциального уравнения ; Первоначальное доказательство Хёрмандера было основано на теории дифференциальных уравнений в частных производных . Его исчисление позволило Маллявэну доказать оценки регулярности плотности решения. Исчисление применялось к стохастическим уравнениям в частных производных .

Принцип инвариантности [ править ]

Обычный принцип инвариантности для интегрирования Лебега по всей действительной прямой состоит в том, что для любого действительного числа ε и интегрируемой функции f выполняется следующее

{\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} е (х) \, d \ лямбда (х) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} е (х + \ varepsilon) \, d \ lambda (x)}

и поэтому

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f '(x) \, d \ lambda (x) = 0.}

Это можно использовать для вывода формулы интегрирования по частям, поскольку, установив f = gh , это означает, что

{\ displaystyle 0 = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f '\, d \ lambda = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} (gh)' \, d \ lambda = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} gh '\, d \ lambda + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g'h \, d \ lambda.}

Похожая идея может быть применена в стохастическом анализе для дифференцирования по направлению Камерона-Мартина-Гирсанова. В самом деле, пусть - квадратично интегрируемый предсказуемый процесс и положим ${\ displaystyle h_ {s}}$

{\ displaystyle \ varphi (t) = \ int _ {0} ^ {t} h_ {s} \, ds.}

Если - винеровский процесс , то теорема Гирсанова дает следующий аналог принципа инвариантности: ${\ displaystyle X}$

{\ Displaystyle E (F (X + \ varepsilon \ varphi)) = E \ left [F (X) \ exp \ left (\ varepsilon \ int _ {0} ^ {1} h_ {s} \, dX_ {s}) - {\ frac {1} {2}} \ varepsilon ^ {2} \ int _ {0} ^ {1} h_ {s} ^ {2} \, ds \ right) \ right].}

Дифференцируя по ε с обеих сторон и оценивая при ε = 0, получаем следующую формулу интегрирования по частям:

E(\langle DF(X),\varphi \rangle )=E{\Bigl [}F(X)\int _{0}^{1}h_{s}\,dX_{s}{\Bigr ]}.

Здесь левая часть представляет собой производную Маллявэна случайной величины по направлению, а интеграл, появляющийся в правой части, следует интерпретировать как интеграл Ито . Это выражение также остается верным (по определению), если оно не адаптировано, при условии, что правая часть интерпретируется как интеграл Скорохода . ^[^{необходима цитата}^] $F$ $\varphi$ $h$

Формула Кларка-Оконе [ править ]

Одним из наиболее полезных результатов исчисления Маллявэна является теорема Кларка-Оконе , которая позволяет явно идентифицировать процесс в теореме мартингального представления . Упрощенная версия этой теоремы выглядит следующим образом:

Для удовлетворения липшицевости и такой, что F имеет сильное производное ядро в том смысле, что for in C [0,1] $F:C[0,1]\to \mathbb {R}$ $E(F(X)^{2})<\infty$ $\varphi$

\lim _{\varepsilon \to 0}(1/\varepsilon )(F(X+\varepsilon \varphi )-F(X))=\int _{0}^{1}F'(X,dt)\varphi (t)\ \mathrm {a.e.} \ X

тогда

F(X)=E(F(X))+\int _{0}^{1}H_{t}\,dX_{t},

где H - предполагаемая проекция F '( x , ( t , 1]), которую можно рассматривать как производную функции F относительно подходящего параллельного сдвига процесса X по части ( t , 1] его домен.

Более кратко это можно выразить следующим образом:

F(X)=E(F(X))+\int _{0}^{1}E(D_{t}F|{\mathcal {F}}_{t})\,dX_{t}.

Большая часть работы по формальному развитию исчисления Маллявэна включает расширение этого результата на максимально возможный класс функционалов F путем замены производного ядра, использованного выше, на « производную Маллявэна », обозначенную в приведенной выше формулировке результата. ^[^{необходима цитата}^] $D_{t}$

Скороход интеграл [ править ]

Интеграла Скороход оператор , который обычно обозначается б определяется как сопряженная производная Маллявэна , таким образом , для и в области оператора , который является подмножеством , для F в области производной Маллявэна, мы требуем $L^{2}([0,\infty )\times \Omega )$

E(\langle DF,u\rangle )=E(F\delta (u)),

где внутренний продукт - это то, что на а именно $L^{2}[0,\infty )$

\langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(s)g(s)\,ds.

Существование этого сопряженного следует из теоремы Рисса о представлении линейных операторов в гильбертовых пространствах .

Можно показать, что если u адаптировано, то

\delta (u)=\int _{0}^{\infty }u_{t}\,dW_{t},

где интеграл следует понимать в смысле Ито. Таким образом, это обеспечивает метод расширения интеграла Ито на неадаптированные подынтегральные выражения.

Приложения [ править ]

Исчисление позволяет интегрировать по частям со случайными величинами ; эта операция используется в финансовой математике для вычисления чувствительности производных финансовых инструментов . У исчисления есть приложения, например, в стохастической фильтрации .

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июнь 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Ссылки [ править ]

Кусуока, С. и Строок, Д. (1981) «Приложения исчисления Маллявэна I», Стохастический анализ, Труды Международного симпозиума Танигучи, Катата и Киото, 1982, стр. 271–306.
Кусуока, С. и Строок, Д. (1985) "Применение исчисления Маллявэна II", J. Faculty Sci. Uni. Tokyo Sect. 1A Math. , 32 с. 1–76
Кусуока, С. и Строок, Д. (1987) "Применение исчисления Маллявэна III", J. Faculty Sci. Univ. Tokyo Sect. 1A Math. , 34 с. 391–442
Маллявин, Поль и Талмайер, Антон. Стохастическое исчисление вариаций в математических финансах , Springer 2005, ISBN 3-540-43431-3
Нуаларт, Дэвид (2006). Исчисление Маллявэна и связанные с ним темы (Второе изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-28328-7.
Белл, Денис. (2007) Исчисление Маллявэна , Дувр. ISBN 0-486-44994-7 ; электронная книга
Шиллер, Алекс (2009) Исчисление Маллявэна для моделирования Монте-Карло с финансовыми приложениями . Диссертация, факультет математики, Принстонский университет
Эксендал, Бернт К. (1997) Введение в исчисление Маллявэна с приложениями к экономике . Конспект лекций, факультет математики, Университет Осло (Zip-файл, содержащий диссертацию и приложение)
Ди Нунно, Джулия , Эксендал, Бернт, Проске, Франк (2009) «Исчисление Маллявэна для процессов Леви с приложениями к финансам», Universitext, Springer. ISBN 978-3-540-78571-2

Внешние ссылки [ править ]

Цитаты, связанные с исчислением Маллявэна в Wikiquote
Фриз, Питер К. (2005-04-10). "Введение в исчисление Маллявэна" (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 17 апреля 2007 года . Проверено 23 июля 2007 . Конспект лекций, 43 страницы

Чжан, Х. (11 ноября 2004 г.). "Исчисление Маллявэна" (PDF) . Проверено 11 ноября 2004 . Диссертация, 100 стр.