В геометрии , пересечение является точкой, линией или кривым , общая для двух или более объектов (например, линий, кривых, плоскостей и поверхностей). Самый простой случай в евклидовой геометрии - это пересечение двух различных прямых , которое либо является одной точкой, либо не существует, если прямые параллельны .
Определение пересечения квартир - линейных геометрических объектов, встроенных в многомерное пространство - это простая задача линейной алгебры , а именно решение системы линейных уравнений . Как правило, определение пересечения приводит к нелинейным уравнениям , которые можно решить численно , например, используя итерацию Ньютона . Задачи о пересечении прямой и конического сечения (окружность, эллипс, парабола и т. Д.) Или квадрики (сфера, цилиндр, гиперболоид и т. Д.) Приводят к квадратным уравнениям, которые можно легко решить. Пересечения между квадриками приводят к уравнениям четвертой степени, которые можно решить алгебраически .
На плоскости
Две строки
Для определения точки пересечения двух непараллельных прямых
можно получить, из правила Крамера или подставляя переменную, координаты точки пересечения :
(Если линии параллельны, и эти формулы нельзя использовать, потому что они предполагают деление на 0.)
Два отрезка линии
Для двух непараллельных отрезков а также точка пересечения не обязательно должна быть (см. диаграмму), потому что точка пересечения соответствующих линий не обязательно должны содержаться в сегментах линии. Для проверки ситуации используются параметрические представления линий:
Отрезки пересекаются только в общей точке соответствующих строк, если соответствующие параметры выполнить условие . Параметры являются решением линейной системы
Для s и t ее можно решить с помощью правила Крамера (см. Выше ). Если условие выполняется одна вставка или же в соответствующее параметрическое представление и получает точку пересечения .
Пример: для сегментов линии а также получается линейная система
а также . Это означает: линии пересекаются в точке.
Замечание: Рассматривая прямые, а не отрезки, определяемые парами точек, каждое условиеможно отбросить, и метод даст точку пересечения линий (см. выше ).
Линия и круг
Для пересечения
- линия и круг
один решает линейное уравнение для x или y и подставляет его в уравнение круга и получает решение (используя формулу квадратного уравнения) с участием
если Если это условие выполняется при строгом неравенстве, то есть две точки пересечения; в этом случае прямая называется секущей окружности, а отрезок прямой, соединяющий точки пересечения, называется хордой окружности.
Если существует только одна точка пересечения и прямая касается окружности. Если слабое неравенство не выполняется, линия не пересекает окружность.
Если середина круга не является началом координат, см. [1] Пересечение прямой и параболы или гиперболы можно рассматривать аналогично.
Два круга
Определение точек пересечения двух окружностей
сводится к предыдущему случаю пересечения прямой и окружности. Путем вычитания двух данных уравнений получается линейное уравнение:
Эта особая линия является радикальной линией двух окружностей.
Особый случай :
В этом случае начало координат - это центр первого круга, а второй центр лежит на оси x (см. Диаграмму). Уравнение радикальной прямой упрощается до а точки пересечения можно записать как с участием
В случае у кругов нет общих точек.
В случае окружности имеют одну общую точку, а коренная прямая является общей касательной.
Любой общий случай, как написано выше, можно превратить сдвигом и поворотом в частный случай.
Пересечение двух дисков (внутренности двух кругов) образует форму, называемую линзой .
Две конические секции
Проблема пересечения эллипса / гиперболы / параболы с другим коническим сечением приводит к системе квадратных уравнений , которые в частных случаях легко решаются путем исключения одной координаты. Для получения решения можно использовать особые свойства конических сечений . В общем случае точки пересечения могут быть определены путем решения уравнения с помощью итерации Ньютона. Если а) обе коники заданы неявно (посредством уравнения), необходима двумерная итерация Ньютона; б) одна неявно, а другая параметрически задана 1-мерной итерацией Ньютона. См. Следующий раздел.
Две плавные кривые
Две кривые в (двумерное пространство), которые непрерывно дифференцируемы (т. е. нет резкого изгиба), имеют точку пересечения, если у них есть общая точка плоскости, и в этой точке
- a: разные касательные ( поперечное пересечение ), или
- b: касательная линия общая, и они пересекаются друг с другом ( касание пересечения , см. диаграмму).
Если оба кривые имеют точку S и касательную там общее , но не пересекаются друг с другом, они просто трогательные в точке S .
Поскольку касание перекрестков возникает редко и с ними трудно справиться, следующие соображения не учитывают этот случай. В любом случае ниже предполагаются все необходимые дифференциальные условия. Определение точек пересечения всегда приводит к одному или двум нелинейным уравнениям, которые можно решить с помощью итерации Ньютона. Список возникающих случаев следующий:
- Если обе кривые указаны явно :, приравнивая их, получаем уравнение
- Если обе кривые заданы параметрически :
- Приравнивая их, получаем два уравнения с двумя переменными:
- Если одна кривая задана параметрически, а другая задана неявно :
- Это простейший случай помимо явного. Необходимо вставить параметрическое представление в уравнение кривой и получается уравнение:
- Если обе кривые заданы неявно :
- Здесь точка пересечения - это решение системы
Любая итерация Ньютона требует удобных начальных значений, которые можно получить путем визуализации обеих кривых. Параметрически или явно заданная кривая может быть легко визуализирована, потому что для любого параметра t или x, соответственно, легко вычислить соответствующую точку. Для неявно заданных кривых эта задача не так проста. В этом случае необходимо определить точку кривой с помощью начальных значений и итерации. Видеть . [2]
Примеры:
- 1: и круг (см. диаграмму).
- Итерация Ньютона для функции
- должно быть сделано. В качестве начальных значений можно выбрать -1 и 1,5.
- Точки пересечения: (-1,1073, -1,3578), (1,6011, 4,1046)
- Итерация Ньютона для функции
- 2:
- (см. диаграмму).
- Итерация Ньютона
- должен быть выполнен, где является решением линейной системы
- в точке . В качестве начальных значений можно выбрать (-0,5, 1) и (1, -0,5).
- Линейная система может быть решена по правилу Крамера.
- Точки пересечения: (-0,3686, 0,9953) и (0,9953, -0,3686).
Два полигона
Если кто-то хочет определить точки пересечения двух многоугольников , можно проверить пересечение любой пары линейных сегментов многоугольников (см. Выше ). Для многоугольников с большим количеством сегментов этот метод довольно трудоемкий. На практике алгоритм пересечения ускоряется с помощью оконных тестов . В этом случае можно разделить многоугольники на небольшие подполигоны и определить наименьшее окно (прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат) для любого подполигона. Перед началом трудоемкого определения точки пересечения двух отрезков линии любая пара окон проверяется на наличие общих точек. Видеть. [3]
В космосе (три измерения)
В трехмерном пространстве есть точки пересечения (общие точки) между кривыми и поверхностями. В следующих разделах мы рассматриваем только трансверсальное пересечение .
Линия и самолет
Точка пересечения линии и плоскости в общем положении в трех измерениях.
Обычно линия в пространстве представляется параметрически. а самолет - уравнением . Вставка представления параметра в уравнение дает линейное уравнение
для параметра точки пересечения .
Если линейное уравнение не имеет решения, прямая либо лежит на плоскости, либо параллельна ей.
Три самолета
Если линия определяется двумя пересекающимися плоскостями и должен быть пересечен третьей плоскостью необходимо оценить общую точку пересечения трех плоскостей.
Три самолета с линейно независимыми нормальными векторами иметь точку пересечения
Для доказательства следует установить используя правила скалярного тройного произведения . Если скалярное тройное произведение равно 0, то плоскости либо не имеют тройного пересечения, либо это прямая (или плоскость, если все три плоскости одинаковы).
Кривая и поверхность
Аналогично плоскому случаю следующие случаи приводят к нелинейным системам, которые могут быть решены с использованием 1- или 3-мерной итерации Ньютона. [4]
- параметрическая кривая а также
- параметрическая поверхность
- параметрическая кривая а также
- неявная поверхность
Пример:
- параметрическая кривая а также
- неявная поверхность (s. изображение).
- Точки пересечения: (-0,8587, 0,7374, -0,6332), (0,8587, 0,7374, 0,6332).
Линия сфера пересечения представляет собой простой частный случай.
Как и в случае линии и плоскости, пересечение кривой и поверхности в общем положении состоит из дискретных точек, но кривая может частично или полностью содержаться в поверхности.
Линия и многогранник
Две поверхности
Две трансверсально пересекающиеся поверхности образуют кривую пересечения . Самый простой случай - линия пересечения двух непараллельных плоскостей.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Эрих Хартманн: геометрия и алгоритмы для компьютерного проектирования . Конспект лекций, Технический университет Дармштадта, октябрь 2003 г., стр. 17
- ^ Эрих Хартманн: геометрия и алгоритмы для компьютерного проектирования . Конспект лекций, Технический университет Дармштадта, октябрь 2003 г., стр. 33
- ^ Эрих Хартманн: CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie . Конспект лекций, ТУ Дармштадт, 1997, с. 79 (PDF; 3,4 МБ)
- ^ Эрих Хартманн: геометрия и алгоритмы для компьютерного проектирования . Конспект лекций, Технический университет Дармштадта, октябрь 2003 г., стр. 93
дальнейшее чтение
- Николас М. Патрикалакис и Такаши Маэкава, Исследование формы для автоматизированного проектирования и производства , Springer, 2002, ISBN 3540424547 , 9783540424543, стр. 408. [1]