В прикладной математике , то преобразование Жуковского, названное в честь Николая Жуковского (который опубликовал его в 1910 г.), [1] является конформным отображением исторически используется , чтобы понять некоторые принципы аэродинамического дизайна.
Преобразование
где - комплексная переменная в новом пространстве и- комплексная переменная в исходном пространстве. Это преобразование также называется преобразованием Жуковского , то преобразование Жуковского , то преобразование Жуковского и другие вариации.
В аэродинамике преобразование используется для решения двумерного потенциального обтекания класса аэродинамических поверхностей, известных как крыловые профили Жуковского. Жуковского аэродинамической поверхности генерируется в комплексной плоскости (-плоскость), применив преобразование Жуковского к кругу в -самолет. Координаты центра круга являются переменными, и их изменение изменяет форму полученного профиля. Круг охватывает точку (где производная равна нулю) и пересекает точку Этого можно добиться при любом допустимом центральном положении. изменяя радиус круга.
Крылья Жуковского имеют острие на задней кромке . Тесно связанное конформное отображение, преобразование Кармана – Треффца , генерирует гораздо более широкий класс профилей Кармана – Треффца, управляя углом задней кромки. Если задан нулевой угол задней кромки, преобразование Кармана – Треффца сводится к преобразованию Жуковского.
Преобразование генерала Жуковского
Преобразование Жуковского любого комплексного числа к составляет:
Так что настоящий () и мнимой () компоненты:
Образец профиля Жуковского
Преобразование всех комплексных чисел на единичной окружности - частный случай.
Таким образом, реальный компонент становится и мнимая составляющая становится .
Таким образом, комплексный единичный круг отображается на плоскую пластину на прямой от -2 до +2.
Преобразования из других кругов создают широкий диапазон форм крыловых профилей.
Поле скоростей и циркуляция для профиля Жуковского
Решение потенциального обтекания кругового цилиндра является аналитическим и хорошо известно. Это суперпозиция равномерного потока , дублета и вихря .
Комплексно сопряженная скорость по кругу в -самолет
где
- - комплексная координата центра круга,
- - скорость набегающего потока жидкости,
- - угол атаки профиля относительно набегающего потока,
- - радиус круга, рассчитанный с использованием ,
- - циркуляция , найденная с помощью условия Кутты , которая в данном случае сводится к
Комплексная скорость вокруг профиля в -плоскость согласно правилам конформного отображения и с использованием преобразования Жуковского,
Здесь с участием а также компоненты скорости в а также направления соответственно ( с участием а также с реальной стоимостью). По этой скорости можно рассчитать другие интересующие свойства потока, такие как коэффициент давления и подъемной силы на единицу пролета.
Профиль Жуковского имеет острие на задней кромке.
Преобразование названо в честь русского ученого Николая Жуковского . Его имя исторически было латинизировано несколькими способами, отсюда и вариация в написании преобразования.
Преобразование Кармана – Треффца
Преобразование Кармана – Треффца - это конформное отображение, тесно связанное с преобразованием Жуковского. В то время как крыловой профиль Жуковского имеет заостренную заднюю кромку, крыловой профиль Кармана – Треффца, который является результатом преобразования круга в-самолет на физический -самолет, аналогичный определению профиля Жуковского, имеет ненулевой угол на задней кромке между верхней и нижней поверхностью профиля. Поэтому преобразование Кармана – Треффца требует дополнительного параметра: угла задней кромкиЭто преобразование [2] [3]
( А )
где - действительная константа, определяющая позиции, в которых , а также немного меньше 2. Угол между касательными верхней и нижней поверхностей профиля на задней кромке относится ккак [2]
Производная , необходимая для вычисления поля скорости, равна
Задний план
Сначала добавьте и вычтите 2 из преобразования Жуковского, как указано выше:
Разделение левой и правой частей дает
Правая часть содержит (как фактор) простой закон второй мощности от потенциального потока теории, применяемый на задней кромке вблизи Из теории конформных отображений известно, что это квадратичное отображение изменяет полуплоскость в -пространство в потенциальное обтекание полубесконечной прямой. Кроме того, значения мощности меньше 2 приведут к обтеканию конечного угла. Итак, изменив степень в преобразовании Жуковского на значение чуть меньше 2, результатом будет конечный угол вместо острого выступа. Замена 2 нав предыдущем уравнении дает [2]
которое является преобразованием Кармана – Треффца. Решение длядает его в виде уравнения А .
Симметричные крылья Жуковского
В 1943 году Сюэ-шэнь Цзянь опубликовал преобразование окружности радиуса. в симметричный профиль, зависящий от параметра и угол наклона : [4]
Параметр дает плоскую пластину при нуле и круг при бесконечности; таким образом, это соответствует толщине профиля.
Заметки
- ^ Жуковского, NE (1910). "Über die Konturen der Tragflächen der Drachenflieger". Zeitschrift für Flugtechnik und Motorluftschiffahrt (на немецком языке). 1 : 281–284 и (1912) 3 : 81–86.
- ^ а б в Милн-Томсон, Луи М. (1973). Теоретическая аэродинамика (4-е изд.). Dover Publ. стр. 128 -131. ISBN 0-486-61980-X.
- ^ Блом, JJH (1981). «Некоторые характерные величины профилей Кармана-Треффца». Технический меморандум НАСА TM-77013. Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Цзянь, Сюэ-шэнь (1943). "Симметричные крылья Жуковского в сдвиговом потоке". Квартал прикладной математики . 1 : 130–248.
Рекомендации
- Андерсон, Джон (1991). Основы аэродинамики (2-е изд.). Торонто: Макгроу – Хилл. С. 195–208. ISBN 0-07-001679-8.
- Зингг, DW (1989). «Вычисления Эйлера с малым числом Маха» . НАСА TM-102205.
Внешние ссылки
- Апплет Joukowski Transform NASA
- Интерактивное веб-приложение Joukowsky Transform