Маятник Капицы или маятник Капицы - это жесткий маятник, в котором точка поворота колеблется в вертикальном направлении, вверх и вниз. Он назван в честь российского лауреата Нобелевской премии по физике Петра Капицы , который в 1951 году разработал теорию, успешно объясняющую некоторые из его необычных свойств. [1] Уникальная особенность маятника Капицы заключается в том, что вибрирующая подвеска может заставить его устойчиво балансировать в перевернутом положении , когда боб находится над точкой подвеса. В обычном маятнике с неподвижным подвесом единственное устойчивое положение равновесия - это то, что боб висит ниже точки подвеса; перевернутое положение - точканеустойчивое равновесие , и малейшее возмущение выводит маятник из состояния равновесия. В теории нелинейного управления маятник Капицы используется как пример параметрического осциллятора , демонстрирующего концепцию «динамической стабилизации».
Маятник был впервые описан А. Стефенсоном в 1908 году, который обнаружил, что верхнее вертикальное положение маятника может быть стабильным при высокой частоте движения. [2] Однако до 1950-х годов этому в высшей степени необычному и противоречивому явлению не существовало объяснения. Петр Капица был первым, кто проанализировал это в 1951 году. [1] Он провел ряд экспериментальных исследований, а также дал аналитическое представление о причинах устойчивости, разделив движение на «быстрые» и «медленные» переменные и введя эффективный потенциал. Эта новаторская работа создала новый предмет в физике - колебательную механику . Метод Капицы используется для описания периодических процессов в атомной физике , физике плазмы и кибернетической физике . Эффективный потенциал , который описывает «медленный» компонент движения описан в «Механике» объем (§30) из Ландау «ы Курс теоретической физики . [3]
Еще одна интересная особенность маятниковой системы Капицы состоит в том, что нижнее положение равновесия, когда маятник свешивается ниже оси поворота, больше не является устойчивым. Любое крошечное отклонение от вертикали со временем увеличивается по амплитуде. [4] Параметрический резонанс также может возникать в этом положении, и в системе могут реализовываться хаотические режимы, когда в сечении Пуанкаре присутствуют странные аттракторы . [ необходима цитата ]
Обозначение
Обозначим вертикальную ось как а горизонтальная ось - как так что движение маятника происходит в (-) самолет. Будем использоваться следующие обозначения
- - частота вертикальных колебаний подвески,
- - амплитуда колебаний подвески,
- - собственная частота математического маятника,
- - ускорение свободного падения,
- - длина жесткого и легкого маятника,
- - масса.
Обозначая угол между маятником и направлением вниз как зависимость положения маятника от времени записывается как
Энергия
Потенциальная энергия маятника под действием силы тяжести и определяется в вертикальном положении , как
Кинетическая энергия в дополнении к стандартному термину, описывающая скорость математического маятника, есть вклад из-за колебаний подвеса
Полная энергия определяется суммой кинетической и потенциальной энергий. и лагранжиан их разностью.
Полная энергия сохраняется в математическом маятнике, поэтому время зависимость потенциала и кинетический энергия симметрична относительно горизонтальной линии. Согласно теореме вириала средняя кинетическая и потенциальная энергии в гармоническом осцилляторе равны. Это означает, что линия симметрии соответствует половине полной энергии.
В случае вибрирующей подвески система больше не является замкнутой, и полная энергия больше не сохраняется. Кинетическая энергия более чувствительна к вибрации по сравнению с потенциальной. Потенциальная энергия связана снизу и сверху а кинетическая энергия ограничена только снизу . Для высокой частоты колебаний кинетическая энергия может быть большой по сравнению с потенциальной энергией.
Уравнения движения
Движение маятника удовлетворяет уравнениям Эйлера – Лагранжа . Зависимость фазыположения маятника удовлетворяет уравнению: [5]
где лагранжиан читает
с точностью до нерелевантных общих производных по времени. Дифференциальное уравнение
описывающая движение маятника, нелинейна из-за фактор.
Положения равновесия
Модель маятника Капицы более общая, чем простой маятник . Модель Капицы сводится к последнему в пределе. В этом пределе вершина маятника описывает круг:. Если энергия в начальный момент больше максимума потенциальной энергиитогда траектория будет замкнутой и циклической. Если начальная энергия меньше тогда маятник будет колебаться вблизи единственной устойчивой точки .
Когда подвеска вибрирует с небольшой амплитудой и с частотой намного выше, чем надлежащая частота , угол можно рассматривать как суперпозицию «медленного» компонента и быстрое колебание с небольшой амплитудой из-за небольших, но быстрых колебаний подвески. Технически мы выполняем пертурбативное разложение по « константам связи ». обрабатывая соотношение как исправлено. Пертурбативная трактовка становится точной в пределе двойного масштабирования . Точнее, быстрое колебание определяется как
Уравнение движения для «медленной» составляющей. становится
Усреднение по порогу -колебания уступает ведущему порядку
«Медленное» уравнение движения становится
путем внедрения эффективного потенциала
Оказывается [1], что эффективный потенциал имеет два минимума, если , или эквивалентно, . Первый минимум находится в той же позиции поскольку математический маятник и другой минимум находятся в верхнем вертикальном положении . В результате верхнее вертикальное положение, неустойчивое в математическом маятнике, может стать устойчивым в маятнике Капицы.
Вращающиеся решения
Вращающиеся решения маятника Капицы возникают, когда маятник вращается вокруг точки поворота с той же частотой, что и точка поворота. Есть два решения для вращения, по одному для вращения в каждом направлении. Мы переходим к вращающейся системе отсчета, используя и уравнение для становится:
Снова учитывая предел, в котором намного выше, чем надлежащая частота , мы находим, что быстрое- медленный- предел приводит к уравнению:
Эффективный потенциал - это просто уравнение маятника. Имеется устойчивое равновесие при и неустойчивое равновесие при .
Фазовый портрет
Интересные фазовые портреты могут быть получены в режимах, недоступных в рамках аналитического описания, например, в случае большой амплитуды подвеса. . [6] [7] Увеличение амплитуды движущих колебаний до половины длины маятника.приводит к фазовому портрету, изображенному на рисунке. [ требуется разъяснение ]
Дальнейшее увеличение амплитуды до приводит к полному заполнению внутренних точек фазового пространства: если раньше некоторые точки фазового пространства были недоступны, то теперь система может достичь любой из внутренних точек. Эта ситуация верна и для больших значений.
Интересные факты
- Капица отмечал, что маятниковые часы с колеблющимся маятниковым подвесом всегда идут быстрее, чем часы с неподвижным подвесом. [8]
- Ходьба определяется походкой «перевернутый маятник», при которой тело перепрыгивает через жесткую конечность или конечности при каждом шаге. Повышенная устойчивость при ходьбе может быть связана с устойчивостью маятника Капицы. Это применимо независимо от количества конечностей - даже у членистоногих с шестью, восемью или более конечностями. [ необходима цитата ]
Литература
- ^ а б в Капица П.Л. (1951). «Динамическая устойчивость маятника при колебании его точки подвеса». Советская физ. ЖЭТФ . 21 : 588–597.; Капица П.Л. (1951). «Маятник с колеблющимся подвесом». Усп. Физ. Наук . 44 : 7–15.
- ^ Стивенсон Эндрю (1908). «XX.О индуцированной устойчивости» (PDF) . Философский журнал . 6. 15 : 233–236. DOI : 10.1080 / 14786440809463763 .
- ^ Ландау Л.Д. , Лифшиц Е.М. (1960). Механика . Vol. 1 (1-е изд.). Pergamon Press. ASIN B0006AWV88 .
|volume=
есть дополнительный текст ( справка ) - ^ Бутиков Е. И. «Маятник с осциллирующим подвесом (к 60-летию маятника Капицы»), учебное пособие .
- ^ В.П. Крайнов (2002). Избранные математические методы теоретической физики (1-е изд.). Тейлор и Фрэнсис . ISBN 978-0-415-27234-6.
- ^ Г.Е. Астрахарчик, Н.А. Астрахарчик «Численное исследование маятника Капицы» arXiv : 1103.5981 (2011)
- ^ Движение маятника Капицы во времени можно смоделировать в онлайн-апплетах Java на следующих сайтах:
- «Архивная копия» . Архивировано из оригинала на 2011-10-01 . Проверено 8 апреля 2011 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
- Могут использоваться произвольные параметры системы и могут быть вставлены вручную
- ^ Бутиков, Евгений И. "Маятник Капицы: физически прозрачное простое объяснение" (PDF) . п. 8 . Проверено 1 сентября 2020 года .
Внешние ссылки
- Демонстрационный ролик у маятника Капицы - YouTube
- Интерактивная демонстрация в Wolfram Demonstrations Project