ка · Tā · Па · йа · ди ( деванагари : कटपयादि) система (также известная как Paralppēru , Малайялам: പരല്പ്പേര് ) числовых обозначений является древней индийской alphasyllabic системы счисления для изображения букв на цифры для легкого памяти чисел как слова или стихи . Присваивая более одной буквы одной цифре и обнуляя некоторые другие буквы как не имеющие значения, эта система обеспечивает гибкость в формировании значимых слов из чисел, которые можно легко запомнить.
История
Старейшие имеющиеся доказательства использования Kaṭapayādi (санскрит: कटपयादि) система из Grahacāraṇibandhana по Харидатту в 683 CE . [1] Он использовался в Лагху · бхаскарийа · виварана, написанном Шанкарой · нараяной в 869 году нашей эры . [2]
Некоторые утверждают, что система возникла из Вараручи . [3] В некоторых астрономических текстах, популярных в Керале, положения планет были закодированы в системе Канапаяди. Первая такая работа считается Чандра-vakyani из Vararuci , который традиционно присвоенного четвертого века н.э. . Таким образом, время в начале первого тысячелетия является разумной оценкой происхождения системы Канапаяди . [4]
Арьябхата в своем трактате Ārya · bhaĀīya , как известно, использовал похожую, более сложную систему для представления астрономических чисел . Нет никаких окончательных доказательств того, что система Ка-Ша-па-я-ди произошла от нумерации Арьябхана . [5]
Географическое распространение использования
Почти все свидетельства использования системы Ka-ṭa-pa-yā-di происходят из южной Индии , особенно из Кералы . О его использовании на севере Индии известно немного. Однако на санскритской астролябии, обнаруженной в северной Индии , градусы высоты отмечены в системе Канапаяди . Он сохраняется в Sarasvathy Баван библиотеке Sampurnanand санскрите университета , Варанаси . [6]
Система Ka-a-pa-yā-di не ограничивается Индией. Некоторые палийские хронограммы, основанные на системе Ka-a-pa-yā-di , были обнаружены в Бирме . [7]
Правила и практика
Следующий стих из « Садратнамала» Шанкаравармана объясняет механизм системы. [8] [9]
नञावचश्च शून्यानि संख्या: कटपयादय :।
मिश्रे तूपान्त्यहल् संख्या न च चिन्त्यो हलस्वर :॥
Переход:
нанйавачашча шуньяни санкхйам каṭапаядайам
мишре тупанйахал санкхйа на ча чинтйо халасварах
Перевод: на (न), нйа (ञ) и (अ) - s, т.е. гласные представляют собой нуль . Девять целых чисел представлены группой согласных, начинающейся с ka , ṭa , pa , ya . В конъюнктивном согласном учитывается только последний согласный. Согласные без гласных следует игнорировать.
Пояснение: Буквы присваиваются цифрам в соответствии со следующей схемой (на деванагари, каннаде, телугу и малаялам соответственно).
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
ка क ಕ క ക | кха ख ಖ ఖ ഖ | га ग ಗ గ ഗ | гха घ ಘ ఘ ഘ | нга ङ ಙ జ్ఞ ങ | ca च ಚ చ ച | ча छ ಛ ఛ ഛ | ja ज ಜ జ ജ | джха झ ಝ ఝ ഝ | ня ञ ಞ ఞ ഞ |
ṭa ट ಟ ట ട | ṭha ठ ಠ ఠ ഠ | dá ड ಡ డ ഡ | DHA ढ ಢ ఢ ഢ | ṇa ण ಣ ణ ണ | та त ತ త ത | та थ ಥ థ ഥ | да द ದ ద ദ | дха ध ಧ ధ ധ | на न ನ న ന |
па प ಪ ప പ | пха फ ಫ ఫ ഫ | ба ब బ ബ | бха भ ಭ భ ഭ | ма म ಮ మ മ | - | - | - | - | - |
я य ಯ య യ | ра र ರ ర ര | ля ल ల ల ല | ва व ವ వ വ | śha श ಶ శ ശ | ша ष ಷ ష ഷ | са स ಸ స സ | ха ह ಹ హ ഹ | - | - |
- Согласные имеют цифры, присвоенные согласно приведенной выше таблице. Например, ba (ब) всегда равно 3, тогда как 5 может быть представлено либо nga (ङ), либо ṇa (ण), либо ma (म) или śha (श).
- Все отдельные гласные, такие как a (अ) и ṛ (ऋ), присваиваются нулю.
- В случае конъюнкта согласные, присоединенные к негласной, не имеют значения. Например, kya (क्या) состоит из k (क्) + ya (य) + a (अ). Единственная согласная, стоящая рядом с гласной, - это ya (य). Таким образом, соответствующая цифра для kya (क्या) будет 1.
- В системе нет способа представить десятичный разделитель .
- Индийцы использовали индуистско-арабскую систему счисления для нумерации, которая традиционно писалась с возрастающим разрядами слева направо. Это соответствует правилу «अङ्कानां वामतो गतिः», которое означает, что числа идут справа налево.
Вариации
- Согласные , ˘L ( малаяла : ള, деванагари : ळ, каннада : ಳ) используются в работах с использованием акшара-санкхьи, как таблица синусов Мадхава в .
- Сторонники позднего средневековья не ставят отдельные гласные в ноль. Но иногда это считается бесполезным.
Применение
Математика и астрономия
- Таблица синусов Мадхавы, составленная математиком из Кералы 14 века - астрономом Мадхавой из Сангама-грамы, использует систему Канапаяди для включения тригонометрических синусов углов.
- Карана-паддхати , написанное в 15 веке, имеет следующую шлоку, обозначающую значение числа пи (π)
- അനൂനനൂന്നാനനനുന്നനിത്യൈ-
- സ്സമാഹതാശ്ചക്രകലാവിഭക്താഃ
- ചണ്ഡാംശുചന്ദ്രാധമകുംഭിപാലൈർ-
- വ്യാസസ്തദർദ്ധം ത്രിഭമൗർവിക സ്യാത്
- Транслитерация
- анунануннананануннанитяи
- ssmāhatāścakra kalāvibhaktoḥ
- caāṃśucandrādhamakuṃbhipālair
вйасастадарддхах трибхамаурвика сйат
- Он дает окружность круга диаметром, anūnanūnnānananunnanityai (10 000 000 000) как caṇḍāṃśucandrādhamakuṃbhipālair (31415926536).
- Садхатнамала Шанкары вармана использует систему Канапаяди. Первый стих 4-й главы Сад-ратна-малы заканчивается строкой: [10]
- (स्याद्) भद्राम्बुधिसिद्धजन्मगणितश्रद्धा स्म यद् भूपगी:
- Транслитерация
- (сйад) бхадрамбудхисиддхаджанмагашиташраддха сма йад бхупагих
- Разделение согласных в соответствующей фразе дает:
भ бха | द् г | रा ра | म् ṃ | बु бу | द् г | धि дхи | सि си | द् г | ध дха | ज ja | न् п | म ма | ग га | णि ṇi | त та | श् ṣ | र ра | द् г | धा дха | स् с | म ма | य я | द् г | भू бху | प pa | गि ги |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
4 | - | 2 | - | 3 | - | 9 | 7 | - | 9 | 8 | - | 5 | 3 | 5 | 6 | - | 2 | - | 9 | - | 5 | 1 | - | 4 | 1 | 3 |
- Возвращая цифры к современному использованию нисходящего порядка десятичных знаков, мы получаем 314159265358979324, что является значением числа пи (π) с точностью до 17 знаков после запятой, за исключением того, что последняя цифра может быть округлена до 4.
- Этот стих зашифровывает значение числа пи (π) до 31 знака после запятой.
गोपीभाग्यमधुव्रात-शृङ्गिशोदधिसन्धिग॥ खलजीवितखाताव गलहालारसंधर॥
ಗೋಪೀಭಾಗ್ಯಮಧುವ್ರಾತ-ಶೃಂಗಿಶೋದಧಿಸಂಧಿಗ || ಖಲಜೀವಿತಖಾತಾವ ಗಲಹಾಲಾರಸಂಧರ ||
Этот стих дает десятичный эквивалент числа Пи, разделенного на 10: Пи / 10 = 0,31415926535897932384626433832792.
గోపీభాగ్యమధువ్రాత-శృంగిశోదధిసంధిగ | ఖలజీవితఖాతావ గలహాలారసంధర ||
Традиционно в системе катапаяди порядок цифр меняется на обратный, чтобы сформировать число. В этой шлоке это правило нарушается.
Карнатическая музыка
- В мелакарты раги Карнатика музыки назван так , что первые два слога имени передаст его номер. Эту систему иногда называют санкхья Ка-та-па-я-ди . Свары «Sa» и «Pa» фиксированы, а вот как получить другие свары из числа мелакарты.
- Мелакарты с 1 по 36 имеют Ma1, а у мелакарт с 37 по 72 - Ma2.
- Остальные примечания получаются путем учета (неотъемлемой части) частного и остатка при делении единицы меньше числа мелакарты на 6. Если число мелакарты больше 36, перед выполнением этого шага вычтите 36 из числа мелакарты.
- Позиции «Ри» и «Га»: рага будет иметь:
- Ri1 и Ga1, если частное равно 0
- Ri1 и Ga2, если частное равно 1
- Ri1 и Ga3, если частное равно 2
- Ri2 и Ga2, если частное равно 3
- Ri2 и Ga3, если частное равно 4
- Ri3 и Ga3, если частное равно 5
- Позиции «Да» и «Ни»: рага будет иметь:
- Da1 и Ni1, если остаток равен 0
- Da1 и Ni2, если остаток равен 1
- Da1 и Ni3, если остаток равен 2
- Da2 и Ni2, если остаток равен 3
- Da2 и Ni3, если остаток 4
- Da3 и Ni3, если остаток 5
- См. Свары в музыке Карнатика для получения подробной информации о приведенных выше обозначениях.
Рага Дхирасанкарабхаранам
Схема катапаяди связывает дха9 и ра2, следовательно, число мелакарты раги - 29 (92 перевернутое). Сейчас 2936, следовательно, Дхирасанкарабхаранам имеет Ма1. Разделите 28 (1 меньше 29) на 6, получится 4, а остаток 4. Следовательно, в этой раге Ri2, Ga3 (частное 4) и Da2, Ni3 (остаток 4). Следовательно, масштаб этой раги - Sa Ri2 Ga3 Ma1 Pa Da2 Ni3 SA .
Рага МехаКаляни
Из схемы кодирования Ma 5, Ча 6. Следовательно, число мелакарта раги - 65 (56 в обратном порядке). 65 больше 36. Итак, у МехаКаляни Ma2. Поскольку число раги больше 36, вычтите из него 36. 65–36 = 29. 28 (1 меньше 29) разделить на 6: частное = 4, остаток = 4. Встречается Ri2 Ga3. Встречается Da2 Ni3. Итак, у MechaKalyani есть ноты Sa Ri2 Ga3 Ma2 Pa Da2 Ni3 SA .
Исключение для Симхендрамадхьямама
Согласно вышеприведенному расчету, мы должны получить Sa 7, га 8 дает номер 87 вместо 57 для Симхендрамадхьямама. В идеале это должно быть Sa 7, млн лет 5 дает число 57. Таким образом , считается , что имя должно быть записано в виде Sihmendramadhyamam (как в случае Бюстгальтер гм ана на санскрите).
Представление дат
Важные даты запомнились путем их преобразования с помощью системы Канапаяди . Эти даты обычно представлены как количество дней с начала Кали-юги . Иногда это называют калидина санкхья .
- Календарь Malayalam известный как kollavarsham (малаяла: കൊല്ലവര്ഷം) был принят в штате Керала , начиная с 825 CE , реконструкцией некоторых календарей. Эту дату помнят как ачарья вагбхада , преобразованную с помощью Канапаяди в 1434160 дней с начала Кали-юги . [11]
- Нараяниям , написанный Мелпатур Нарейана Бхэттатери , концы с линией, āyurārogyasaukhyam (ആയുരാരോഗ്യസൌഖ്യം) , что означает долгий срок службы, здоровье и счастье. [12]
На малаялам | ആയുരാരോഗ്യസൌഖ്യം |
---|---|
В Деванагари | आयुरारोग्यसौख्यम् |
В ИАСТ | āyurārogyasaukhyam |
Стоимость согласно Kaṭapayādi | 1712210 |
- Это число - время, когда работа была завершена, представленная как количество дней с начала Кали-юги по календарю малаялам .
Другие
- Некоторые люди используют систему Канапаяди для именования новорожденных. [13] [14]
- Следующий стих, составленный на малаялам Кодуналлуром Кунньиккуаном Тахпураном с использованием Kaṭapayādi, показывает количество дней в месяцах по григорианскому календарю .
- പലഹാരേ പാലു നല്ലൂ, പുലർന്നാലോ കലക്കിലാം
- ഇല്ലാ പാലെന്നു ഗോപാലൻ - ആംഗ്ലമാസദിനം ക്രമാൽ
- Переход
- palahāre pālu nallū, pularnnālo kalakkilāṃ
- илла паленну гопалан - ангшамасадинах крамал
- Перевод: Молоко лучше всего на завтрак, утром его следует помешивать. Но Гопалан говорит, что молока нет - количество дней в английских месяцах в порядке.
- Преобразование пары букв с использованием Kaṭapayādi выходов - Pala (പല) 31, Hare (ഹാരേ) 28, Palù പാലു = 31, nallū (നല്ലൂ) 30, pular (പുലര്) 31, nnālo (ന്നാലോ) 30, кал ( കല) 31, kkilāṃ (ക്കിലാം) 31, Illa (ഇല്ലാ) 30, Pale (പാലെ) 31, NNU идут (ന്നു ഗോ) 30, Palan (പാലന്) 31.
Смотрите также
- Числа Абджад
- Акшарапалли
- Нумерация арьябхаты
- Система бхутасамкхьи
- Гематрия
- Греческие цифры
- Керальская школа астрономии и математики
- Таблица синусов Мадхавы
- Мнемоническая мажорная система
- Нотарикон
- Темура (Каббала)
- Алфавитно-слоговая система счисления
Рекомендации
- ^ Sreeramamula Rajeswara Сарма, KATAPAYADI СИСТЕМА КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И ЕГО РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВНЕ KERALA, Rev. d'Histoire де Mathmatique 18 (2012) [1]
- ^ JJ О'Коннор; Э. Ф. Робертсон (ноябрь 2000 г.). «Шанкара Нараяна» . Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия . Проверено 1 января 2010 года .
- ^ Обсуждение Usenet. «Цифровая кодировка Арьябхатты» . Архивировано из оригинала 17 июля 2011 года . Проверено 1 января 2010 года .
- ^ Плофкер, Ким (2009). Математика в Индии . Издательство Принстонского университета . п. 384. ISBN 978-0-691-12067-6.
- ^ JF Fleet (апрель 1912 г.). «Обозначение Ка-та-па-я-ди Второй Арья-Сиддханты». Журнал Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии . Королевское азиатское общество Великобритании и Ирландии : 459–462. JSTOR 25190035 .
- ^ Sreeramamula Rajeswara Сарма (1999), Kaṭapayādi нотация на санскрите Астролябия. Ind. J. Hist. Sc.34 (4) (1999) [2]
- ^ JF Fleet (июль 1911 г.). «Система выражения чисел Катапаяди». Журнал Королевского азиатского общества Великобритании и Ирландии . Королевское азиатское общество Великобритании и Ирландии : 788–794. JSTOR 25189917 .
- Перейти ↑ Sarma, KV (2001). «Садратнамала Шанкары Вармана». Индийский журнал истории науки (Индийская национальная академия наук, Нью-Дели) 36 (3–4 (Приложение)): 1–58. «Архивная копия» (PDF) . Архивировано 2 апреля 2015 года из оригинального (PDF) . Проверено 17 декабря 2009 года .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
- ^ Ананд Раман. «Древняя формула Катапаяди и современный метод хеширования» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 16 июня 2011 года. Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Сарма (2001), стр. 26 год
- ↑ Фрэнсис Циммерман, 1989, Лилавати, любезная дама арифметики - Индия - Математический загадочный тур «Архивная копия» . Архивировано из оригинального 6 -го сентября 2009 года . Проверено 3 января 2010 года .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
- ^ Др C Кришнан Namboodiri, Chekrakal Illam, Каликут, Namboothiti.com Д-р К. Кришнан Намбудири. " " Katapayaadi "или "Paralpperu " " . Namboothiri Websites Trust . Проверено 1 января 2010 года .
- ^ Visti Larsen, Выбор благоприятного имени
- ^ [3]
дальнейшее чтение
- А.А. Хаттангади, Исследования в области математики, Universities Press (India) Pvt. Ltd., Хайдарабад (2001 г.) ISBN 81-7371-387-1 [4]