Kriyakramakari ( Kriyā-kramakarī ) - подробный комментарий на санскрите, написанный Шанкарой Вариаром и Нараяной, двумя астрономами-математиками, принадлежащими к керальской школе астрономии и математики , к известному учебнику Бхаскары II по математике Лилавати . [1] Kriyakramakari ( «Оперативные методы» [2] ), наряду с Yuktibhasa из Jyeshthadeva , является одним из основных источников информации о работе и вкладе Sangamagrama Мадхава , основатель Керала школы астрономии и математики .[3] Также цитаты, приведенные в этом трактате, проливают свет на вклад некоторых математиков и астрономов, которые процветали в более раннюю эпоху. Есть несколько цитат, приписываемых Говиндасвами, астроному IX века из Кералы. [4]
Автор | Шанкара Вариар и Нараяна |
---|---|
Страна | Индия |
Язык | санскрит |
Предмет | Астрономия / Математика |
Жанр | Комментарий к Лилавати |
Дата публикации | c. 1560 |
Шанкара Вариар (ок. 1500-1560 ), первый автор Криякрамакари, был учеником Нилакантхи Сомаяджи и храмовым помощником по профессии. Он был видным членом керальской школы астрономии и математики. Его работа включает в себя йукть-дипике обширного комментария на Tantrasangraha по Нилаканту Сомаяджи. Нараяна (ок. 1540–1610), второй автор, был нампутири- брамином из семьи Махишамангалам в Пуруванаграме (Перуванам в современном районе Триссур в Керале ).
Шанкара Вариар написал свой комментарий к Лилавати до строфы 199. Вариар завершил его примерно к 1540 году, когда перестал писать из-за других забот. Иногда после своей смерти Нараяна заканчивал комментарии к оставшимся строфам Лилавати.
О вычислении π
Согласно критическому изданию Лилавати К.В. Сармы [5], основанному на Криякрамакари, строфа 199 Лилавати читается следующим образом [6] ( Гарвардско-Киотская конвенция используется для транскрипции индийских иероглифов):
- вйасе бха-нанда-агни-ненависть вибхакте кха-бана-сурйаис паридхис шас сукшмас /
- двавиМзати-гхне вихрте атха заилаис стхулас атха-ва сйат вйавахАра-йогйас //
Это можно было бы перевести следующим образом:
- «Умножьте диаметр на 3927 и разделите произведение на 1250; это даст более точную длину окружности. Или, умножьте диаметр на 22 и разделите произведение на 7; это даст приблизительную длину окружности, которая отвечает обычным операциям». [7]
Взяв этот стих за отправную точку и комментируя его, Санакара Вариар в своей Криякракари подробно изложил вклад Сангамаграмы Мадхавы в получение точных значений π. Шанкара Вариар прокомментировал это так:
- «Учитель Мадхава также упомянул значение окружности, более близкое [к истинному значению], чем это:« Боги [тридцать три], глаза [два], слоны [восемь], змеи [восемь], огни [три], три ». , качества [три], Веды [четыре], накшатры [двадцать семь], слоны [восемь], руки [два] (2 827 433 388 233) - мудрый сказал, что это мера окружности, когда диаметр круга равен девяти нихарвам [ 10 ^ 11]. «Шанкара Вариар говорит здесь, что значение Мадхавы 2 827 433 388 233/900 000 000 000 является более точным, чем« это », то есть более точным, чем традиционное значение для π». [3]
Санкара Варайар затем приводит набор из четырех стихов Мадхава, предписывающий геометрический метод для вычисления значения окружности в виде окружности . Этот метод включает в себя вычисление периметров последовательных правильных описанных многоугольников , начиная с квадрата .
Бесконечный ряд для π
Затем Шанкара Вариар описывает более простой метод вычисления значения π, который дал Мадхава.
- Он (Мадхава) упоминает более простой способ получить окружность. То есть:
- Поочередно прибавляйте или вычитайте диаметр, умноженный на четыре и разделенный по порядку на нечетные числа, такие как три, пять и т. Д., К диаметру, умноженному на четыре и разделенному на единицу, или из него.
- Предполагая, что деление завершается делением на нечетное число, независимо от того, какое четное число находится выше [рядом с] этим [нечетным числом], половина этого числа является множителем последнего [члена].
- Квадрат этого [четного числа], увеличенный на 1, является делителем диаметра, умноженным на 4, как и раньше. Результат этих двух (множитель и делитель) добавляется, когда [предыдущий член] отрицателен, когда вычитается положительный.
- Результат - точная окружность. Если деление повторяется много раз, оно станет очень точным » [3].
Для того, чтобы перевести эти стихи в современные математические нотации, пусть С окружности и D диаметра из круга . Тогда более простой метод Мадхавы найти C сводится к следующему выражению для C:
- C = 4D / 1 - 4D / 3 + 4D / 5 - 4D / 7 + ...
По сути, это ряд, известный как ряд Грегори-Лейбница для π. Изложив эту серию, Шанкара Вариар продолжает ее описанием сложного геометрического обоснования происхождения этой серии. [3]
Бесконечный ряд для арктангенса
Теория получила дальнейшее развитие в Криякрамакари. Он поднимает проблему вывода аналогичного ряда для вычисления произвольной дуги окружности. Это дает разложение функции арктангенса в бесконечный ряд . Этот результат также приписывают Мадхаве.
- "Теперь, используя тот же аргумент, можно [сделать] определение дуги искомого синуса. Это [следующее]:
- Первый результат - это произведение желаемого синуса и радиуса, разделенного на косинус. Когда квадрат синуса стал множителем, а квадрат косинуса - делителем,
- теперь группа результатов должна быть определена из [предыдущих] результатов, начиная с первого. Когда они разделены по порядку нечетными числами 1, 3 и т. Д.,
- и когда вы вычли сумму четных [результатов с числами] из суммы нечетных, [получится] дуга. Здесь требуется, чтобы меньший из синуса и косинуса считался желаемым [синусом].
- В противном случае не было бы прекращения результатов даже при повторном [вычислении] " [3]
Выше формулы утверждают , что если для произвольной дуги & thetas в виде окружности с радиусом R синуса и косинуса , как известно , и если мы предположим , что грех θ <θ сов, то мы имеем:
- θ = (R sin θ) / (1 cos θ) - (R sin 3 θ) / (3 cos 3 θ) + (R sin 5 θ) / (5 cos 5 θ) - (R sin 7 θ) / ( 7 cos 7 θ) +. . .
Смотрите также
- Керальская школа астрономии и математики
- Лилавати
- Шанкара Вариар
Рекомендации
- ^ Штернбах, Людвик. «Обзор Лилавати Бхаскарачарьи с Криякрамакари» (PDF) . Журнал Американского восточного общества. Архивировано из оригинального (PDF) 27 июля 2011 года . Проверено 5 марта 2011 года .
- ^ Джозеф, Джордж Гевергезе. «Развитие бесконечных рядов в трех культурах - фон и внутреннее достижение» . Проверено 5 марта 2011 года .
- ^ а б в г д Плофкер, Ким (18 января 2009 г.). Математика в Индии . Принстон: Издательство Принстонского университета . С. 221–248. ISBN 978-0-691-12067-6.
- ^ Хаяси, Такао (2000). «Арифметические правила Говиндасвами, цитируемые в Криякрамакари Шанкары и Нараяны» (PDF) . Индийский журнал истории науки . 35 (3): 189–231. Архивировано из оригинального (PDF) 21 июля 2011 года . Проверено 5 марта 2011 года .
- ^ Сарма, К.В. (1975). Лилавати отредактировал с комментарием «Криякрамакари Шанкары и Нараяны» . Хошиарпур: Институт Ведических исследований Вишвешварана.
- ^ Хаяси, Такао. «Электронный текст Лилавати Бхаскары II» . Проверено 5 марта 2011 года .
- ^ Джон, Тейлор (1816). Лилавати или трактат по арифметике и геометрии . п. 94.